Estimation de la fonction de distribution conditionnelle à partir de données censurées par intervalle, cas I

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Estimation de la fonction de distribution conditionnelle à partir de données censurées par intervalle, cas I"

Catherine Marceau
il y a 8 ans
Total affichages :

1 Estimation de la fonction de distribution conditionnelle à partir de données censurées par intervalle, cas I Sandra Plancade MAP5 Université Paris 5 5 mai 2010

2 Plan de l'exposé I) Introduction II) Dénition de l'estimateur III) Résultats

3 I) Introduction Données censurées par intervalle, cas I (ou current status data) Y R + = temps de survie X R = covariable T R + = temps d'observation δ = 1I Y T avec Y T X.

4 I) Introduction Données censurées par intervalle, cas I (ou current status data) Y R + = temps de survie X R = covariable T R + = temps d'observation δ = 1I Y T avec Y T X. On observe un échantillon i.i.d. (X i, T i, δ i = 1I Yi T i ) i=1,...,n avec Y i T i X i, i = 1,..., n.

d'observation δ = 1I Y T avec Y T X. On observe un échantillon i.i.d. (X i, T i, δ i = 1I Yi T i ) i=1,.

5 But : estimer la fonction de distribution conditionnelle F (x, y) = P[Y y X = x] sur un compact A 1 A 2 R R + par sélection de modèle.

6 But : estimer la fonction de distribution conditionnelle F (x, y) = P[Y y X = x] sur un compact A 1 A 2 R R + par sélection de modèle. On considère deux risques pour l'estimateur F de F, E[ F F 2 f (X,T ) ] où g 2 f (X,T ) = g 2 (x)f (X,T ) (x)dx, E[ F F 2 n (X i, T i ) i=1,...,n ] où g 2 n = 1 n n g 2 (X i, T i ). i=1

On considère deux risques pour l'estimateur F de F, E[ F F 2 f (X,T ) ] où g 2

7 But : estimer la fonction de distribution conditionnelle F (x, y) = P[Y y X = x] sur un compact A 1 A 2 R R + par sélection de modèle. On considère deux risques pour l'estimateur F de F, E[ F F 2 f (X,T ) ] où g 2 f (X,T ) = g 2 (x)f (X,T ) (x)dx, E[ F F 2 n (X i, T i ) i=1,...,n ] où g 2 n = 1 n n g 2 (X i, T i ). i=1 Notre estimateur converge à la vitesse n β/(β+1) sur les espaces de Besov anisotropes B (β1,β2) 2,..

On considère deux risques pour l'estimateur F de F, E[ F F 2 f (X,T ) ] où g 2 f (X,T ) = g 2 (x)f (X,T )

8 II) Dénition de l'estimateur Construction d'un contraste empirique déterminé par les observations. γ n : L 2 (A 1 A 2 ) R g γ n (g) F = arg min g? γ n(g). Collection de modèles (= sev de L 2 (A 1 A 2 )). Sélection de modèles.

9 Construction du contraste E[δ (X, T ) = (x, t)] = E[1I Y T (X, T ) = (x, t)] = E[1I Y t X = x] = P[Y t X = x] = F (x, t)

10 Construction du contraste E[δ (X, T ) = (x, t)] = E[1I Y T (X, T ) = (x, t)] = E[1I Y t X = x] = P[Y t X = x] = F (x, t) δ = F (X, T ) + ɛ avec E[ɛ X, T ] = 0.

11 Construction du contraste E[δ (X, T ) = (x, t)] = E[1I Y T (X, T ) = (x, t)] = E[1I Y t X = x] = P[Y t X = x] = F (x, t) δ = F (X, T ) + ɛ avec E[ɛ X, T ] = 0. Contraste des moindres carrés γ n (g) = 1 n ( δ i g(x i, T i ) n } {{ } )2 i=1 E[ X, T ] = F (X, T ) g(x, T )

12 Estimateurs non adaptatifs La collection de modèles : les modèles sur A 1 A 2 sont construits comme produits tensoriels de modèles sur A 1 et A 2.

13 Estimateurs non adaptatifs La collection de modèles : les modèles sur A 1 A 2 sont construits comme produits tensoriels de modèles sur A 1 et A 2. On considère deux collections de modèles M (j) n ) S (j) m ( = Vect φ (j) k,m est un sev de L 2 (A j ), pour j = 1, 2., k = 1,..., D(j) m = {S (j) m, m J (j) n } où, m J (j) n

On considère deux collections de modèles M (j) n ) S (j) m ( = Vect φ (j) k,m

14 Estimateurs non adaptatifs La collection de modèles : les modèles sur A 1 A 2 sont construits comme produits tensoriels de modèles sur A 1 et A 2. On considère deux collections de modèles M (j) n ) S (j) m ( = Vect φ (j) k,m est un sev de L 2 (A j ), pour j = 1, 2., k = 1,..., D(j) m = {S (j) m, m J (j) n } où, m J (j) n Pour tout m = (m 1, m 2 ) J n = J (1) n J (2) n, soit ( ) S m = Vect (x, y) φ (1) k 1,m 1 (x)φ (2) k 2,m 2 (y), k 1 = 1,..., D (1) m 1, k 2 = 1,..., D (2) m 2 et M n = {S m, m = (m 1, m 2 ) J n }.

On considère deux collections de modèles M (j) n ) S (j) m ( = Vect φ (j) k,m est un sev de L 2 (A j ), pour j = 1, 2., k = 1,.

15 Estimateurs non adaptatifs La collection de modèles : les modèles sur A 1 A 2 sont construits comme produits tensoriels de modèles sur A 1 et A 2. On considère deux collections de modèles M (j) n ) S (j) m ( = Vect φ (j) k,m est un sev de L 2 (A j ), pour j = 1, 2., k = 1,..., D(j) m = {S (j) m, m J (j) n } où, m J (j) n Pour tout m = (m 1, m 2 ) J n = J (1) n J (2) n, soit ( ) S m = Vect (x, y) φ (1) k 1,m 1 (x)φ (2) k 2,m 2 (y), k 1 = 1,..., D (1) m 1, k 2 = 1,..., D (2) m 2 et M n = {S m, m = (m 1, m 2 ) J n }. Pour tout m J n, F m = arg min g S m γ n (g)

.., D(j) m = {S (j) m, m J (j) n } où, m J (j) n Pour tout m = (m 1, m 2 ) J n = J (1) n J (2) n, soit ( ) S m = Vect (x, y) φ (1) k 1,m 1

16 Sélection de modèle Pour tout m J n, presque surement, E [ F m F 2n (X ] i, T i ) i=1,...,n inf F g 2 n g S m } {{ } estimé par γ n ( F m ) + Dm n

17 Sélection de modèle Pour tout m J n, presque surement, E [ F m F 2n (X ] i, T i ) i=1,...,n inf F g 2 n g S m } {{ } estimé par γ n ( F m ) m = arg min m J n { γ n ( F m ) + A D } m n + Dm n

18 Récapitulatif Nous avons contruit un contraste empirique γ n. Nous avons déni une collection {S m, m J n }, et F m = arg min g S m γ n (g). Nous avons sélectionné un modèle m.

19 Récapitulatif Nous avons contruit un contraste empirique γ n. Nous avons déni une collection {S m, m J n }, et F m = arg min g S m γ n (g). Nous avons sélectionné un modèle m. Notre estimateur est F m.

20 Inégalités oracle Théorème E [ F m F 2n (X ] i, T i ) i=1,...,n C inf m J n { inf F g 2 n + A D } m + C g S n m n } {{ } E [ F m F 2n (X ] i, T i ) i=1,...,n

21 Inégalités oracle Théorème E [ F m F 2n (X ] i, T i ) i=1,...,n C inf m J n { inf F g 2 n + A D } m + C g S n m n } {{ } E [ F m F 2n (X ] i, T i ) i=1,...,n Théorème Supposons que pour tout m J n, D m n/ log n, ] { E [ F m F 2f(X,T ) C inf inf F g 2 f m J n g S (X,T ) + A D } m m n } {{ } ] E [ F m F 2f(X,T ) + C n

22 Vitesse de convergence sur les espaces de Besov Soit B (β1,β2) 2, (L) la boule de rayon L d'un espace de Besov anisotrope.

23 Vitesse de convergence sur les espaces de Besov Soit B (β1,β2) 2, (L) la boule de rayon L d'un espace de Besov anisotrope. Proposition Si F B (β1,β2) 2, (L), avec β 1, ] E [ F m F 2f(X,T ) Cn 2β/(2β+2) où 2 β = 1 β β 2. De plus, l'estimateur F m atteint la vitesse minimax.

24 Bibliographie P. Groeneboom and J.A. Wellner, Information bounds and nonparametric maximum likelihood estimation, DMV seminar (1992) S. Van de Geer, Hellinger consistency of certain nonparametric maximum likelihood estimators, Ann. Statist. (1993) M. Hudgens et al, Nonparametric estimation of the joint distribution of a survival time subject to interval censoring and a continuous times variable, Harmon. Anal., (2007) M. J. Van der Laan and A. Van der Vaart, Estimating a survival distribution with current status data and high dimensionnal covariates, Int. J. Biostat. (2006) E. Brunel and F. Comte, Cumulative distribution function under interval censoring case 1, Electro. J. Stat., (2009) S. Ma and M. R. Kosorok, Adaptive penalised M-estimation with current status data, Ann. Instit. Statist. Math. (2006)

25 Conclusion Etude minimax sur des espaces de régularité Généralisable à X R 2, R 3,... Problème pour généraliser à des covariables de grande dimension Autre méthode d'estimation de fonction de régression

Documents pareils

Modèle de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes

Modèle de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes Zohra Guessoum 1 & Farida Hamrani 2 1 Lab. MSTD, Faculté de mathématique, USTHB, BP n 32, El Alia, Alger, Algérie,zguessoum@usthb.dz