Examen assurance et gestion des risques

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1 Examen assurance et gestion des risques Mickaël Clévenot 4 avril 2016 Préparation à l'examen terminal Rappel types d'exercices 1. Détermination d'une fonction Von Neumann Morgenstern 2. Détermination du prix d'achat et de vent d'une loterie 3. Détermination de l'équivalent certain 4. Détermination de la prime d'assurance 5. Détermination de l'espérance variance de la richesse 6. Reformulation de Markowitz pour l'assurance 7. Détermination du seuil de sécurité et probabilité de ruine 8. Détermination de la duration et de la sensibilité d'une obligation 9. Détermination d'un prime d'assurance vie Exercice 1 La courbe d'espérance d'utilité Une assurance souhaite connaître l'attitude de ces clients face au risque. Pour simuler une situation de risque, l'assurance propose virtuellement la commercialisation d'un produit nancier avec les caractéristiques suivantes. Le montant de placement initial vaut euros. Au bout d'une année, le placement peut être entièrement perdu, ou il peut conduire à un gains de euros. En terme de loterie, on a la situation suivante : L=(-20000,35000). Les probabilités sont inconnues puisque c'est le prospect qui va les déterminer en fonction de sommes intermédiaires sures qui lui seraient proposées en échange de cette loterie. Les réponses de l'individu sont les suivantes : En cas d'absence de pertes ou de gains loterie 1 : (1 π) = 0.45 Avec un gain de loterie 2 : (1 π) = 0.75 Avec un gains loterie 3 : (1 π) = 0.85 Avec un gains loterie 3 : (1 π) = 0.95

2 A partir des informations ci-dessus vous établirez la fonction d'espérance d'utilité de l'agent. Vous déterminerez également son attitude face au risque. Réciproquement, vous tracerez la courbe d'un agent dont le comportement face au risque serait opposé au précédant. Vous donner la structure des probabilités de cet agent. Vous tenterez une généralisation à partir de ces 2 exemples Exercice 2 Gestion du risque W U(W) Tracer la fonction d'espérence d'utilité : Que peut-on en déduire? Quel montant serait-il justié d'investir dans un projet Figure 1 Tracé de la courbe d'espérance d'utilité qui pourrait rapporter avec une chance sur 3, 5000 ; avec 2 chance sur ? 2

3 Si nécessaire vous réaliserez une interpolation linéaire. L'utilité de 5000 =210, l'utilité de = 350. L'espérance d'utilité vaudra : = 303, 33 A la lecture du tableau on se trouve entre un investissement de et euros. On peut donc investir un peu plus de mais 3 3 nettement moins que Pour obtenir un résultat plus précis, on peut réaliser une interpolation linéaire. : ( ) ( ) = ( ) Doit-on investir 2000 euros dans un projet où on 1 chance de gagner 10000, 1 de 3 3 perdre 2000 et de 3000 avec Calcul de l'espérance d'utilité : = A la lecture du tableau, on sais que l'on devra investir moins de 3000 et plus de 10. A ce stade on ne peut pas trancher la question. On doit réaliser une interpolation linéaire : ( ) ( ) + 0 = (150 10) Exercice 3 L'équivalent certain Si un agent possède un fonction d'utilité du type racine carrée U = W, apriori que peut-on dire de cet agent? Cet agent dispose d'une richesse personnelle qu'il s'élève à euros. Il possède également une loterie qui pourrait rapporter avec 1/3 et avec 2/3 chance. Calculer le niveau de l'équivalent certain de cet agent? Vous préciserez avant vos calculs ce que l'on entend par équivalent certain? L'équivalent certain est le montant w sûr et certain qui procure la même utilité que la richesse nale risquée (c-à-d la richesse initiale w 0 et la loterie x ). L'équivalent certain est donc le montant w sûr et certain qui procure la même utilité que la richesse nale risquée x correspond à l'espérance de gains d'une loterie, tandis x correspond à la loterie où le résultat est incertain. u(x P ) = E(u( x)) L'agent sera au maximum prêt à payer la prime P qui égalise son niveau d'utilité de la richesse certaine, avec le niveau de l'espérance d'utilité de la richesse incertaine. Calculons l'équivalent certain qui correspond à w tel que : u(w ) = Eu( w f ) = Eu(w 0 + x) (w ) = = soit : w = = euros. Pour quel prix cet agent serait-il prêt à vendre sa loterie. Vendre une loterie x revient à se priver de l'écart entre l'équivalent certain et la richesse initiale w w 0. Le prix de la loterie s'obtient donc comme l'écart entre l'équivalent certain (w ) et le niveau de la richesses initiale w 0, P v (w 0, x) = w w 0 Ici w 0 = 74827, =24827,12 Quelle est la prime de risque dans ce cas? La prime de risque indique la quantité de risque qu'un individu perçoit dans la loterie x. Il s'agit donc de la diérence entre l'espérance de la loterie et le prix de vente de la loterie. On compare se résultat à l'espérance de gain de la loterie : = L'équivalent certain de est inférieur à l'espérance de gain. 3

4 On se trouve bien face à un agent risquophobe. La prime de risque est positive. Elle vaut Π(w 0, x) = E( x) P v (w 0, x) ici : ,42 = 172,87. Exercice : Prix d'achat des loteries : L'agent achètera le billet si et seulement si l'utilité procurée par le montant de l'équivalent certain est supérieur ou égal à l'utilité procurer par sa richesse initiale Le billet vaut 10 euros, sa richesse initiale est de et la probabilité de gagner est de 1 /10000 le gain est de euros L'équivalent certain vaudra : u(w ) = Eu( w f ) = Eu(w 0 + x) u(w ) = ( 1 /10000) Ln( )+(1 1 /10000) Ln( ) = 10095, 31 u(w ) = ( 1 /10000) Ln(89990) + (1 1 /10000) Ln(9990) = 9992, 19euros Dénition formelle : U( x P ) = Eu(U( x)) Comme l'équivalent certain est inférieur à sa richesse initiale, il n'achètera pas le billet Complément :Prime de risque La prime correspond un montant qu'est prêt à payer un agent adverse au risque pour limiter ce risque. Analytiquement, la prime de risque correspond au montant qui va équilibrer l'utilité de la richesse nale aléatoire à la richesse nale certaine moins cette prime de risque. Dit autrement, l'utilité procurée par le montant de richesse certaine moins la prime de risque doit être juste égale à l'utilité de la richesse nale aléatoire. On peut également noter qu'un agent adverse au risque aura une prime de risque positive. Dans le cadre de ce cours, l'assurance est supposée neutre au risque. On peut considérer que les marchés nanciers constituent un marché du risque sans lesquels le fonctionnement de l'assurance serait plus compliqué. Les marchés nanciers jouent le rôle de contrepartie avec une attitude au risque spécique. Ils sont risquophiles. Mais cette appétence pour le risque peut conduire à une dissémination des risques voire à leur multiplication si les marchés nanciers sont mal régulés. C'est tout la question des fonds propres des niveaux liquidités à respecter. Exercice 1 pour juristes et économistes Exercice de tarication en assurance vie Une assurance propose un contrat d'assurance vie. Le client, un homme de 50 ans, souhaiterait recevoir dans 20 ans un capital de euros si il est toujours en vie, avec une sortie unique, en capital Question 21) Calculer le probabilité de survie de l'assuré à partir de la table cidessous? 0.5 point 4

5 Une prime unique est versée en début de contrat. Elle sera placée au taux de 4 %. Vous utiliserez le principe de la prime réciproque pour calculer la prime pure? Question 22) Quel est le montant de la prime pure? Si 200 hommes ont contracté ce contrat, quel est le montant capitalisé par l'assurance? 0.5 point Si au bout des 20 années, seuls 156 ont survécu que ce passe-t-il pour l'assurance? 0.5 point Si ces hommes avaient été des femmes, avec le montant de prime des hommes que serait-il advenu des comptes de l'assurance? 1.5 point Avec cette prime, quel aurait été le taux qui aurait permis l'équilibre des comptes de l'assurance? Exercice 2 pour les juristes uniquement Application de la méthode de Markowitz Question 31) Vous rappellerez le principe qui guide la politique d'investissement selon Markowitz? Question 31) Un agent économique possède une maison sur la côté Bretonne dont la valeur est estimée à euros. Avec le réchauement climatique la probabilité d'inondation est estimée à 0.2, pour un montant de dégâts équivalents à 50 % de la valeur du bien. L'agent pour se prémunir de ce risque décide de prendre une assurance. L'assurance lui propose un contrat qui couvre 1/4 des dégâts moyennant une prime de 5000 euros. Vous calculerez l'espérance et la variance de la richesse immobilière de l'agent avec et sans assurance? L'agent pour tenter de réduire le montant de sa prime d'assurance décide de mettre en place un dispositif qui devrait réduire de moitié la probabilité d'occurrence du risque. Ce dispositif coût 500 euros. Dans ce cas, l'assurance veut bien accorder une réduction de la prime qui s'établirait alors à 2000 euros. Vous calculerez l'espérance et la variance de la richesse immobilière de l'agent dans ce cas? Vous discuterez de l'intérêt de la mise en uvre d'un tel dispositif? 5

6 Exercice 3 Uniquement pour les économistes Déntion du taux de protection optimal Question 41) Vous rappellerez le concept de co-assurance? Question 42) Un particulier possède une maison de maître du XV III me siècle rue Berbisey. La demeure est splendide, la poutraison à la française en bois massif est connue pour les risques incendies. Le bien immobilier a été évalué à 3 millions d'euros. Le déclenchement d'un incendie pourrait détruire les 2/3 de sa valeur. La probabilité d'un tel risque est de 10 % On raisonne en K, la richesse initiale représente donc 3000 K. On précise que le futur assuré possède une fonction d'utilité de la forme suivante : U(W) = ln(w) An d'éviter le pire, il décide d'assurer le bien A cette n, il contacte 2 assureurs Voilà les contrats { qui lui sont proposés : { P = 100 α P = 150 α ContratA = I = 1500 α ContratB = I = 1800 α En fonction des 2 contrats et des situations avec où sans sinistre, vous dresserez un tableau le niveau de la richesse de l'agent? Pour les 2 contrats vous établirez la proportion α qu'il compte assurer en fonction des 2 contrats de manière à maximiser son utilité? Question 43) Vous rappellerez la dénition de la prime de risque et établirez son montant dans le cas présent? Risque de Ruine Les formules doivent être connues. On doit pouvoir les utiliser et les interpréter en terme de dérivée partielle. On doit pouvoir identier l'ensemble de ses élements. Duration, sensibilité On doit savoir calculer ces deux éléments. La sensibilité depend à travers la duration de la maturité des titres détenus. Un exercice portera vraisemblablement sur l'eet d'une variation du taux d'intérêt sur les fonds propres de l'assurance et son impact sur le seuil de sécurité et d'éventuels besoins de recapitalisation. Compléments Markowitz Vous rappellerez la théorie Markowitz et les conditions de son application dans le domaine de l'assurance. En particulier ce qui rend compatible Markowitq et l'axiomatique de Von Neumann Morgenstern? 6

7 Table 1 Mortalité INSEE 7