Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS)

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1 Groupe de travail SDH (GdR MACS) Exposé pour la réunion du 20 septembre 2007 Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS) et leur équation de Fokker-Planck-Kolmogorov Julien Bect Département Signaux et Systèmes Électroniques 20 septembre 2007

2 1 Plan de l exposé 2 Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique / 23

3 Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique 1 Plan de l exposé 2 Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique / 23

4 Généralités sur les SHS Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique modélisation probabiliste de l incertitude système hybrides stochastiques vs modélisation non-déterministe automates hybrides 99% de la littérature porte sur des systèmes markoviens on s y ramène (souvent) par augmentation de l état processus de Markov à temps continu sujet de recherche assez ancien depuis les 70 s : modèles à sauts de paramètres markoviens introduction de modèles «à sauts forcés» processus déterministes par morceaux (Davis, 1984) formalisme GSHS (Bujorianu & Lygeros, 2004) 4 / 23

5 Dynamique hybride & probabilités (1) Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique saut spontané X τ1 K(X τ 1, ) E 2 X 0 E 1 X τ 1 λ(x t ) 0 X τ 2 saut forcé X τ2 K(X τ 2, ) E 3 (Librement inspiré d un schéma de J. Lygeros, CTS-HYCON, 2006) 5 / 23

6 Dynamique hybride & probabilités (2) Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique Résumé des éléments définissant un GSHS : Espace d état «hybride» : E = q Q {q} E q Dynamique continue : EDS Deux types de sauts : sauts spontanés, intensité stochastique λ(x t ) 0 sauts forcés, déclenché par la garde G E Réinitialisation : noyau de transition K(x, dx ) «Domaine invariant» : E 0 = E \ G (par déf. on a toujours E 0 G =!) 6 / 23

7 Comparaison avec les automates hybrides Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique Automate hybride inclusion différentielle E 0 G en général GSHS équation différentielle stoch. E 0 G = (par déf.) sauts possibles dans E 0 G sauts spontanés dans E 0 (non déterminisme) (probabiliste, intensité λ 0) sauts forcés dans G \ E 0 sauts forcés dans G réinit. non-déterministe réinit. stochastique x τk Reset(xτ k ) X τk K(Xτ k, ) x 0 détermine un ensemble de trajectoires admissibles x 0 détermine une loi de proba. sur l ensemble des trajectoires 7 / 23

8 Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique On trouve des GSHS dans des domaines très variés! ateliers de fabrication : machines avec pannes consommation optimale de resources renouvelables systèmes embarqués (projet Columbus) gestion du trafic aérien (projet Hybridge) biologie : réseaux de régulation génétique énergie : consommation électrique, éolienne à vitesse variable... 8 / 23

9 Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique Généralisation à 2d du modèle de Malhamé et Chong (1985) pièce n 1 (temp. Z 1 t ) pièce n 2 (temp. Z 2 t ) thermostat Q t {0, 1} «vecteur» d état : X t = (Q t, Z t ) 9 / 23

10 Modélisation par un GSHS à sauts forcés Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique Q t = 0 dz t = f(0, Z t ) dt + σ db t > z min Z 1 t Z 1 t = z min Z 1 t = z max Q t = 1 dz t = f(1, Z t ) dt + σ db t < z max Z 1 t f(q, z) = Az + z extf ext + qf chauff σ = ( σ σ 2 ) Z t 1 Qt Z t temps (minutes) 10 / 23

11 Espace d état hybride du modèle Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d application Un modèle de consommation électrique E = {0} E 0 {1} E 1 z 2 mode on (q = 1) E 1 = ] ; z max ] R z 2 z min z max z 1 mode off (q = 0) E 0 = [ z min ; + [ R z min z max z 1 11 / 23

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13 l état X t est une variable aléatoire... mais quelle est sa loi de probabilité µ t? X t n est (presque) jamais une V.A. gaussienne, donc pour caractériser µ t, il ne suffit pas de s intéresser à la moyenne et à la variance! deux situations où la question se pose : propagation de l incertitude µ 0 est connue : évolution t µ t? GSHS stable (en loi) comment trouver la loi stationnaire µ st? 13 / 23

14 systèmes dynamiques «classiques» : tps continu, E = R n on suppose l existence d une ddp : µ t (dx) = p t (x) dx deux cas particuliers en l absence de bruit : évolution déterministe (EDO) X 0 p 0 (x) dx X t = f(x t ) en présence de bruit : processus de diffusion (EDS) X 0 dx t p 0 (x) dx = f(x t ) dt + k g k (X t ) db k t 14 / 23

15 Équations de Liouville et de Fokker-Planck-Kolmogorov cas déterministe (EDO) : l équation de Liouville p t t + div (fp j t = fp t t) = 0 p t t + div j t = 0 cas diffusif (EDS) : l équation de FPK j t = fp t 1 g 2 k div (g k p t ) lorsque la dynamique est hybride : k équation de FPK généralisée! 15 / 23

16 Quelques références Processus de diffusion & équation de FPK Kolmogorov (1931), Itô (1950), Stratonovich (1966) Généralisation aux processus diffusifs par morceaux sauts spontanés (assez bien connu) Kolmogorov (1931), Gardiner (1985), Krystul, Bagchi & Blom (2003), Hespanha (2005) sauts forcés (seulement en dimension 1!) Feller (1952, 1954), Malhamé & Chong (1985) 16 / 23

17 Prendre en comptes les sauts : la notion d intensité moyenne de sauts Soit R (A) = E µ0 k 1 1 A ( X τk, τ k ). On dit que X admet une intensité moyenne de sauts, pour la mesure initiale µ 0, s il existe une application t r t, à valeurs dans l ensemble des mesures positives sur E, telle que : 1 pour tout Γ E, la fonction t r t (Γ) est mesurable ; 2 pour tous Γ E et t > 0, R (Γ ]0; t]) = t 0 r s(γ) ds. Que vaut r t (dx)? sauts spontanés : r 0 t (dx) = λ(x)µ t (dx) sauts forcés : r G t (dx) =??? 17 / 23

18 L équation de FPK généralisée notations µ t (dx) loi de X t (mesure de probabilité) L opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. r t (dx) intensité moyenne de sauts K(x, dy) noyau de réinitialisation t µ t obéit à l équation d évolution µ t = L µ t + r t (K I) 18 / 23

19 L équation de FPK généralisée notations µ t (dx) loi de X t (mesure de probabilité) L opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. r t (dx) intensité moyenne de sauts K(x, dy) noyau de réinitialisation t µ t obéit à l équation d évolution µ t = L µ t + r t (K I) dérivée par rapport au temps 18 / 23

20 L équation de FPK généralisée notations µ t (dx) loi de X t (mesure de probabilité) L opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. r t (dx) intensité moyenne de sauts K(x, dy) noyau de réinitialisation t µ t obéit à l équation d évolution µ t = L µ t + r t (K I) dérivée par rapport au temps effet de la diffusion 18 / 23

21 L équation de FPK généralisée notations µ t (dx) loi de X t (mesure de probabilité) L opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. r t (dx) intensité moyenne de sauts K(x, dy) noyau de réinitialisation t µ t obéit à l équation d évolution µ t = L µ t + r t (K I) dérivée par rapport au temps effet de la diffusion effet des sauts r t K = E r t(dx)k(x, ) 18 / 23

22 Corollaire important On en déduit l expression de l intensité moyenne de sauts forcés. Si µ t (dx) = p t (x) dx au voisinage de G, avec p de classe C 2,1, rt G (Γ) = j t, n ds, Γ G avec n la normale sortante sur G. 19 / 23

23 Retour sur l exemple du thermostat Une vidéo a été projetée à ce stade de la présentation. Cette vidéo ( 2.3 Mo) est disponible sur la page «réunions» du site web du groupe SDH, à l adresse suivante : http ://

24 Considérations numériques Discrétisation spatiale : méthode des volumes finis conservation de la masse garantie matrices «très creuses» (densité : ) Efficace pour le calcul du régime stationnaire calcul «direct» (recherche d un vecteur propre) compris précision / temps de calcul comparable à une méthode de type Monte-Carlo intérêt de résoudre FPK : construction d une approximation de µ st, stockable donc réutilisable 21 / 23

25 GSHS : classe très générale de modèle stochastiques hybrides formalisme unifié, proposé par Bujorianu & Lygeros (2004) besoin d outils unifiés également! Caractérisation de l incertitude une équation de FPK généralisée a été établie unification + prise en compte de sauts forcés concept d intensité moyenne de sauts Directions de recherche phénomène de Zénon, différentes formes de stabilité, etc. fonctions de Lyapunov multiples? méthodes numériques 22 / 23

26 en lien avec le travail présenté J. Bect, Processus de Markov diffusifs par morceaux : outils analytiques et numériques. Thèse de doctorat, Univ. Paris-Sud 11, http ://tel.archives-ouvertes.fr/tel /fr J. Bect, H. Baili et G. Fleury, Generalized Fokker-Planck equation for piecewise-diffusion processes with boundary hitting resets, MTNS 2006, Kyoto, juillet http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal /en J. Bect, Y. Phulpin, H. Baili et G. Fleury, On the Fokker-Planck equation for stochastic hybrid systems : application to a wind turbine model, PMAPS 2006, Stockholm, juin http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal /en 23 / 23