Chapitre 3 : Combinatoire, Probabilités

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1 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 Chapitre 3 : Combinatoire, Probabilités 1 Dénombrement 1.1 Introduction L étude statistique nous conduit à étudier une population finie et parfaitement déterminée par rapport à un ou plusieurs paramètres. Pour cela nous avons mis en place un certain nombre d outils élaborés : les paramètres de position ( moyenne, médiane, fréquence etc..) et les statistiques de dispersion ( écart moyen, écart type, quartiles, déciles etc...) Malheureusement les ensembles étudiés sont souvent à effectifs très importants interdisant toute étude exhaustive. On est alors amené à prélever des échantillons de cette population de taille raisonnable, assez pour que les résultats induits soient significatifs, mais pas trop en raison du coût. La connaissance même parfaite de l échantillon ne peut être appréciée qu avec une extrême prudence et un certain degré de «probabilité». Nous allons estimer certaines lois sur la population et nous ne pourrons le faire sérieusement qu avec le calcul des probabilités. La réalisation des événements est l aboutissement d actions antérieures, les causes. Tous les phénomènes ne sont pas prévisibles, ils dépendent du hasard. On parlera alors de phénomènes aléatoires. La chance de réalisation d un événement sera mesuré de façon «scientifique». Hasard vient de l Arabe et signifie «jeu de dés» 1.2 Analyse combinatoire Permutations On considère un ensemble fini E de n éléments distincts { x 1, x 2, x 3,..., x }. On n appelle cardinal de E son nombre d éléments n, et on écrit card E = n. On se demande combien il y a de façons différentes de les ordonner. On fabrique à chaque fois un n-uplet différent d éléments distincts de E : { x 2, x 1, x 3,..., x }. n Chacun de ces n-uplet est appelé permutation des n éléments. 1

2 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 E = { a,b,c} avec card E = 3. On fabrique les triplets possibles de façon exhaustive. ( a, b, c ) ; ( a, c, b ) ; ( b, a, c ) ; ( b, c, a ); ( c, a, b );( c, b, a) Il y a donc 6 triplets différents possibles. Généralisons : nous avons n choix possibles pour le premier élément du n-uplet. Une fois celui-ci placé, il reste n 1 choix possibles pour le deuxième élément et ainsi de suite jusqu au dernier. Nous avons donc au total : n( n-1)( n-2 )...2 1, soit le produit des n premiers entiers. On appelle factoriel n ce nombre et on note n! le nombre de permutations d un ensemble fini de n éléments est n! Chaque joueur d une équipe de basket-ball ayant un maillot numéroté de 1 à 5, combien d équipes différentes peut constituer l entraîneur avec un effectif de 5 joueurs. (Réponse 5!= 120) Arrangements On désire cette fois-ci constituer un p-uplet d éléments distincts d un ensemble comportant n éléments distincts ( p n). On choisit alors les p éléments dans un ordre déterminé. On appelle arrangement de p éléments parmi n chaque p-uplet ainsi constitué. Combien y a-t-il d arrangements possibles? On a n choix pour le premier terme, ( n 1) pour le deuxième... et ( n p+1) p p-ième. On note A( n, p ) ou A = n( n 1)!( n p+ 1) n pour le On a : A p n == n! en effet ( n p )! ( ) ( )( )( ) ( )( 1) 2 1 n! n n 1... n p + 1 n p n p = ( n p )! n p n p... le résultat. en simplifiant, on obtient 2

3 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 Dans l exemple précédent l entraîneur a maintenant 8 joueurs pour constituer son 5 équipe de 5 joueurs. Il doit donc choisir un 5-uplet. Il a A 8 = 6720 possibilités. Combien de nombres de trois chiffres peut-on écrire avec des chiffres impairs tous distincts? On choisit en fait 3 chiffres impairs distincts ordonnés parmi l ensemble des chiffres impairs. Soit un 3-uplets d éléments distincts de 3 5! l ensemble { ; ; ; ;}. Donc, on obtient : A5 = = 5 4 3= 60 ( 5 3)! On peut schématiser ce calcul par l arborescence suivante : Etc 5 x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = 197 Il y a douze possibilités avec 1 en première position, autant avec 3, puis 5, puis 7, et enfin 9 en première position soit 60 au total. Pensez à utiliser l arborescence qui symbolise parfaitement ces phénomènes. Le nombre d arrangements de p éléments parmi n est p A n Un arrangement de n éléments parmi n est une permutation de n éléments. 3

4 STAT03 : probabilités COURS Décembre Combinaisons On considère un ensemble E de n éléments distincts. On appelle combinaison de p éléments parmi n tout sous-ensemble de p éléments distincts de cet ensemble. E = { a,b,c} avec card E = 3. On fabrique tous les sous-ensembles d éléments distincts de E. L ensemble de ces sous-ensembles est appelé ensemble des parties de E et noté P( E) P( E ) = {,a { },b,c { } { },a,b,a,c,b,c,a,b,c { } { } { } { } a,b = b,a L ordre n a pas d importance { } { } Dans une partie, les éléments sont deux à deux distincts ; Deux parties sont égales si et seulement si elles contiennent les mêmes éléments. Il y a 3 combinaisons de 2 éléments parmi les 3 éléments de E. En fait : A une combinaison de 2 éléments correspond deux arrangements, en tenant compte de l ordre : { a,b} {( a,b );( b,a) } A la combinaison de 3 éléments correspond 6 arrangements. a,b,c a,b,c, a,c,b, b,a,c, b,c,a ; c,a,b, c,b,a { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Généralisons : Une seule combinaison donne p! arrangements. En fait, il s agit des permutations des p éléments de ce sous-ensemble. Il suffit donc pour obtenir le nombre de combinaisons de p éléments parmi n de diviser le nombre d arrangements de p éléments parmi n par le nombre de permutations de n éléments. On note C( n,p ) ou C p n p n A n! = = le nombre de combinaisons. p! n p! p! ( ) 4

5 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est p C n 3 Le nombre de tiercés dans le désordre avec 17 chevaux au départ est C 17 = Le nombre de tiercés dans l ordre avec 17 chevaux au départ est A 17 = Si on résume : Les permutations de n éléments distincts : n-uplets avec ordre nombre = n! Les arrangements de p éléments distincts parmi n p-uplets avec ordre nombre = An p Les combinaisons de p éléments distincts parmi n sous-ensembles de p éléments nombre = n! n( n ) p C n = 1! 2 1 (produit des n premiers entiers) p n! A n = ( n p )! C p n p n A n! = = p! (n p)! p! 5

6 STAT03 : probabilités COURS Décembre Calculs sur les C( n,p ) et triangle de Pascal Triangle de Pascal 1. ( ) 2 p p 1 p n n 1 n 1 n,p N, 0 p n 1, C = C + C 2. ( ) 2 p n n p n n,p N, 0 p n, C = C 1. On isole un élément des n éléments. On constitue les combinaisons contenant cet 1 élément et celles ne le contenant pas. Les premières sont au nombre de C p n 1 cela revient à choisir les p 1 manquants parmi les n 1 restants. Les autres sont au p nombre de Cn 1 cela revient à choisir les p éléments parmi les n 1 restants. Autre démonstration : p 1 p ( n 1)! ( n 1)! Cn 1 + Cn 1 = + p 1! n 1 p 1! p! n 1 p! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1! 1 1 n 1! n = + = p 1! n 1 p! n p p p 1! n 1 p! p n p n! p = = Cn p! n p! 2. Choisir p éléments revient à choisir les n p restants, ou encore n p n! n! p Cn = = = Cn n p! n n p! n p! p! On représente les ( ) ( ) ( ) ( ) p C n de façon matricielle C 0 0 C 1 0 C 2 0 C 3 1 C 1 1 C 2 1 C 3 2 C 2 2 C 3 3 C 3...etc 6

7 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 En remarquant que C 0 = 1 pour tout n et en utilisant la propriété de récurrence p p 1 p n n 1 n 1 n C = C + C on construit rapidement le triangle de Pascal : n p = C C C = On peut ainsi lire les Formule du binôme p C n, dans ce tableau qui se construit rapidement. Pour tous les nombres réels a et b et pour tout entier n non nul : ( + ) = + + +! + + n n n n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b n n n k n k k k k n k n n k= 0 k= 0 : On écrira plus simplement( a+ b) = C a b = C a b p Les C n sont aussi appelés les coefficients binomiaux. La formule du binôme est donc à l origine de cette appellation. 7

8 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 n n n n n n n n n: + = n + n + n +! + n + n On pose ( ) 1 P a b C a b C a b C a b C a b C a b P est vraie car ( ) Supposons P n vraie, a+ b = C a b + C a b = a+ b 1 1 n+ 1 0 n 0 1 n n 2 2 n 1 1 n 1 n 0 n ( a+ b) = ( C a b + C a b + C a b +! + C a b + C a b )( a+ b) n n n n n 0 n n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 n 1 n n n n! n n 0 n 1 1 n n 2 3 n 1 1 n n 0 n+ 1 n n n! n n = C a b + C a b + C a b + + C a b + C a b { a} + C a b + C a b + C a b + + C a b + C a b { b} ( ) 0 n n 1 n n 1 1 n n 0 n+ 1 n n n n n ab + Cn ab = C a b + C + C a b + + C + C ( ) [ 1 ]! ( ) 0 0 n n+ 1 k k 1 k n = n+ 1 n = n+ 1 n + n = n+ 1 Or C C, C C, et k..n, C C C, donc n+ 1 0 n n 1 2 n 1 2 n 1 n n+ 1 0 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1! n+ 1 n+ 1 a+ b = C a b + C a b + C a b + + C a b + C a b On vient de montrer que n N, Pn P n + 1 La proposition P n est donc vraie pour tout entier * Ecriture de ( ) 6 x + 2 On écrit : ( ) x+ 2 = C6x 2 + C6x 2 +! + C6x 2 + C6x 2 En reprenant la ligne 6 du triangle de Pascal : x+ 2 = 1 x 2 + 6x 2 +! + 6x x 2 ( ) = x + 12x + 60x + 160x + 240x + 192x+ 64 (STAT03E01A) Un luthier doit fabriquer les quatre instruments du quatuor (violon, alto, violoncelle, contrebasse) et un violon d étude pour enfant. De combien de façons peut-il faire : 1. s il les fait tous le même mois? 2. s il en fait trois un mois et deux le mois suivant? 8

9 STAT03 : probabilités COURS Décembre Calcul des probabilités 2.1 Vocabulaire Épreuve : expérience, phénomène dont le résultat dépend du hasard. On parle alors d expérience aléatoire. Les conditions de son déroulement doivent être clairement établies. Éventualité : le résultat d une épreuve. Univers Ω : ensemble des éventualités. Evénement : tout sous-ensemble de l univers dont on sait dire à l issue de l épreuve s il est réalisé ou non. Cela n est pas très mathématique, mais nous nous contenterons de cette approche intuitive, la définition rigoureuse dépassant largement le cadre de ce cours. Si Ω est fini, l ensemble des événements est l ensemble des parties de Ω, noté P( Ω ) Événement élémentaire : événement qui ne comporte qu un seul élément. Le jet de dé. Un dé est lancé de façon aléatoire et on note le nombre inscrit sur la face supérieure. Nous effectuons une expérience aléatoire. L univers Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6} est constitué des éventualités 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Définissons les événements suivants : A = { 2, 4} A est réalisé si le nombre 2 ou le nombre 4 apparaît lors du jet. B = { le numéro est impair } = { 1, 3, 5} C = { le numéro est pair et plus petit que 4 } = { 2 } On peut appeler X la variable qui a un tirage aléatoire associe le résultat. Par abus de langage on écrira A = { X<3} = { 1, 2 } A = Ω est l événement certain A = { 7 } est un événement impossible. 9

10 STAT03 : probabilités COURS Décembre Logique sur les événements Evénement contraire L événement contraire de A (noté A et qui se lit A barre) est réalisé si et seulement si A ne l est pas. Jet de dé, A X 4 5; 6 = { > } = { } alors A= { X < 5} = { 1234 ; ; ; } On peut représenter schématiquement cette notion par le diagramme suivant : A _ A 10

11 STAT03 : probabilités COURS Décembre Evénement A et B ( noté A B ) A et B sont deux événements définis sur le même univers. L événement A et B est réalisé si A et B le sont tous les deux. Il est symbolisé par le signe ensembliste d intersection A B Jet de dé. A = { X < 3} et B { X est pair} = alors A B = {} 2 A B A B Evénements incompatibles. A et B sont incompatibles s ils ne peuvent être réalisés dans la même épreuve simultanément. On écrira A B = A et A sont incompatibles A B A = { X est pair} et B { X est impair} = sont incompatibles. 11

12 STAT03 : probabilités COURS Décembre Evénement A ou B ( noté A B ) L événement A B est réalisé si et seulement si l un au moins des événements A ou B est réalisé. A = { X < 3} et B = { X > 5} alors A B = { 126 ; ; } A B A B Opérations sur les ensembles A B = B A et A B = B A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C = A B C = A B C A B C = A B C = A B C A B C = A B A C A B C = A B A C 12

13 STAT03 : probabilités COURS Décembre Probabilité d un événement Approche heuristique : Nous allons essayer de déterminer un nombre que l on appelle probabilité qui mesure le «degré de chance» d obtenir la réalisation d un événement. Nous noterons cette probabilité p( A ). On suppose que l univers Ω est associé à une épreuve finie. Si tous les événements élémentaires ont la même «chance» de se réaliser, on dit qu ils sont équiprobables, la probabilité d un événement apparaît alors comme le rapport du nombre de cas favorables (le nombre d événements élémentaires constituant l événement) sur le nombre total de cas possibles (le nombre d événements élémentaires de l univers) : ( ) p A = nombre de cas favorables nombre total de cas Définitions L univers des réalisations n est pas toujours un ensemble fini, et même, s il est fini, il est possible que les événements élémentaires ne soient pas tous équiprobables. jetons une punaise par terre et notons la position de la punaise : pointe vers le sol ou pointe vers le ciel. On appelle A l événement : La punaise tombe la pointe vers le haut. Cette expérience a été réalisée et a donné les résultats suivants : N Fréquence de A 0,500 0,600 0,650 0,621 0,620 0,625 On remarque que la probabilité semble se stabiliser aux alentours de 0,62. On va supposer que si on effectuait cette expérience une infinité de fois, on obtiendrait un nombre réel, noté p( A ) que l on appelle probabilité de l événement A. Il paraît évident que la probabilité est un nombre de l intervalle [ 01 ; ]. L événement impossible aura la probabilité 0 et l événement certain la probabilité 1. Plus la probabilité est proche de 1 plus l événement a de chance de se produire. Nous allons donner une définition plus rigoureuse de la probabilité sous forme axiomatique. 13

14 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 Soit Ω l univers associé à une expérience aléatoire. On appelle probabilité sur Ω toute application p: Ω 0; 1 telle que : 1) pbωg = 1 2) Pour toute suite A n d événements deux à deux incompatibles, n N F I b g b g p A p A H K = n N n n n= 0 La définition entraîne évidemment que la probabilité d un événement est un réel compris entre 0 et probabilité totale 1. La probabilité d un événement est égale à la somme des événements élémentaires qui le composent. 2. p( A) 1 p( A) 3. p( ) = 0 ) = ) 4. p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) { probabilité totale } 2. A A= Ω et A A= donc d après l axiome, p A A = p Ω = 1= p A + p A p A = 1 p A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. est le complémentaire de Ω, donc p( ) p( ) = 1 Ω = 1 1= 0 4. A B = A ( B A) avec A ( B A) =, donc p( A B) = p( A) + p( B A) or B = ( B A) ( B A) donc p( B) = p( B A) + p( B A) soit p( B A) = p( B) p( B A) en remplaçant on trouve : p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) 14

15 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 On jette deux dés parfaits, et on considère les faces supérieures. { } L univers est ( 11 ; );( 12 ; ) ( 16 ; );( 21 ; ) ( 6; 5) ;( 6; 6) Ω=!!. On s intéresse à la somme des faces supérieures. Quelle est la probabilité d obtenir une somme des faces égale à 7. Chaque événement élémentaire est équiprobable. Nous pouvons établir le tableau exhaustif suivant : dé2 dé Chaque événement étant équiprobable et ayant la probabilité 1 36 de se produire, il 6 p = 36 suffit de compter le nombre de réalisations de la somme 7 soit ( 7) (STAT03E02A) 36 personnes se sont présentées à une collecte de sang. Les groupes sanguins se répartissent ainsi : 22 du groupe O 8 du groupe A 4 du groupe B 2 du groupe AB On prélève au hasard 3 flacons de sang parmi les 18 prélèvements. Calculez les probabilités suivantes : 1. Les sangs des 3 flacons sont du même groupe 2. Sur les 3 flacons, un flacon au moins contient du sang du groupe A 3. Les sangs des trois flacons appartiennent à 3 groupes différents. On donnera les résultats au millième le plus proche. 15

16 STAT03 : probabilités COURS Décembre Probabilités conditionnelles Approche Plaçons nous dans le cas simple d un univers fini composé de n événements élémentaires équiprobables. Deux événements A et B ont été réalisés respectivement n A et n B fois. Quelle est la probabilité que B se réalise sachant que A a été réalisé. A n A n B n Aet B Si A est réalisé le nombre de cas possibles n est plus n mais n A et le nombre de cas favorables est n Aet B. D où en notant p( B A ) et en prononçant «probabilité de B sachant A» on obtient : naet B naet B ( ) ( ) n p A B p B A = = = na na p( A) n Généralisation B On admettra que l on peut généraliser cette formule à un univers infini avec des éventualités non équiprobables : p( A B) ( ) = et p( A B) p( A) p B A = ( B) p( B) p A on en déduit les égalités qui serviront dans les exercices : p( A B) = p( A) p( B/ A) = p( B) p( A/ B) 16

17 STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000 Jet de deux dés : calculons la probabilité d avoir S > 7 sachant que Y > 4. On pose A= { X > 4} et B = { Y > 4}. En regardant le tableau exhaustif des résultats on applique la règle précédente p(a/b) = ( ) p A B = De plus on a bien : p( A B) = et ( ) formule. (STAT03E03A) 12 p B = ce qui permet de vérifier la 36 On lance une campagne de tests pour déceler une maladie M dans une population. 1. Sachant que le test se révèle positif 98 fois sur cent lorsque le sujet est atteint de la maladie et négatif 95 fois sur cent lorsque celui-ci est sain, quelle est la probabilité p qu un individu dont le test se révèle positif doit réellement malade. On pose x la proportion d individus qui sont atteints de la maladie M. p est une p:x" p x fonction qui dépend alors de x : ( ) Etudier la fonction p. Calculer les proportions 1 2 x et x pour lesquelles les probabilités sont respectivement de 0,5 et 0,95. Conclure! 17

18 STAT03 : probabilité SUPénoncés Décembre 2000 (STAT03S01) Une usine fabrique des stylos à bille. Une étude a montré que 90% de la production ne présente pas de défaut. Chaque stylo est soumis à un contrôle qui refuse 94% des stylos avec défaut et accepte 92% des stylos sans défaut. On choisit au hasard un stylo avant le contrôle. On note D l événement «le stylo a un défaut» et A l événement «le stylo est accepté à l issue du contrôle». 1) Quelle est la probabilité que : a) le stylo soit accepté et n ait pas de défaut? b) le stylo soit accepté et ait un défaut? c) le stylo soit accepté? 2) Le contrôle permet-il d affirmer que moins de 1% des stylos acceptés présentent un défaut? (STAT03S02) Une rondelle métallique est produite par une chaîne composée de 2 machines A et B montées en série. La probabilité que la machine A produise un défaut sur une pièce est 0,05. La probabilité que la machine B produise un défaut est de 0,03 si la pièce sort indemne de A et 0,6 sinon. 1) Quelle est la probabilité que la pièce soit sans défaut? 2) Quelle est la probabilité que la pièce ait deux défauts? 3) Quelle est la probabilité que la pièce n ait qu un seul défaut? 4) Quelle est la probabilité pour qu une pièce présentant le défaut B ait aussi le défaut A?

19 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E01A) 1. 5! = ! = 120. Cours et exercices : Philippe leclère

20 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E01B) Cours et exercices : Philippe leclère

21 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E01C) Cours et exercices : Philippe leclère

22 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E01D) Cours et exercices : Philippe leclère

23 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E02A) 1. p 0, p 0, p 0, 199 Cours et exercices : Philippe leclère

24 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E02B) 1. p 0, 2727 p 0, p 0, 2727 p 0, 7884 Cours et exercices : Philippe leclère

25 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E03A) 1. p( M ) , x = P 093, x + 005, x 1 005, x 2 05, Cours et exercices : Philippe leclère

26 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E03B) 1. p( D ) = 0, p( A D ) 0, 286 p( A D ) 0, p 0, p 0, 056 p( A D ) 029, p( A D ) 071, Cours et exercices : Philippe leclère

27 STAT03 : Probabilités REPONSESglobal Décembre 2000 (STAT03E03C) 1. x p( F ) 0, x 0, 0032 Cours et exercices : Philippe leclère

28 STAT03 : probabilités ENONCES Décembre 2000 (STAT03E01B) Une entreprise possède six voitures. Comment peut-on les répartir : 1. si elles doivent être placées chacune dans un garage différent? 2. si elles sont placées deux à deux dans trois garages différents? 3. s'il y a quatre garages, deux recevant deux voitures et deux autres une seule voiture?

29 STAT03 : probabilités ENONCES Décembre 2000 (STAT03E01C) Un conseil municipal comprend 13 élus : 8 femmes et 5 hommes. On désire déterminer l équipe des 4 adjoints au maire : 1. combien d'équipes différentes peut-on former? 2. combien d'équipes comportant exactement 2 hommes peut-on former? 3. combien d équipes comportant au moins un homme peut-on former?

30 STAT03 : probabilités ENONCES Décembre 2000 (STAT03E01D) Dans un stock de 1000 pièces usinées, on dénombre 50 pièces défectueuses. On prélève au hasard 3 pièces. On suppose que chaque tirage d une pièce se fait dans la population totale. ( on parle alors de tirage avec remise). Combien de tirages différents peut-on faire ne contenant : 1. qu une seule pièce défectueuse? 2. au moins une pièce défectueuse? 3. aucune pièce défectueuse? 4. au moins 2 pièces défectueuses?

31 STAT03 : probabilités ENONCES Décembre 2000 (STAT03E02B) Sur un lot de 100 pièces métalliques 40 ont été usinées par la machine M 1 et 60 par la machine M On prélève simultanément 3 pièces du lot. Calculer les probabilités des événements suivants : Les trois pièces proviennent de la même machine. Une pièce au moins est fabriquée par la machine M1 2. On prélève successivement 3 pièces du lot avec remise des pièces dans le lot à chaque tirage. Calculer les probabilités des événements suivants : Les trois pièces proviennent de la même machine. Une pièce au moins est fabriquée par la machine M 1. On donnera les résultats au dix-millième le plus proche.

32 STAT03 : probabilités ENONCES Décembre 2000 (STAT03E03B) Un appareil est fabriqué en grande série. La production totale est assurée par deux machines A et B. La probabilité que la machine A produise un défaut est de 0,03. La probabilité que la machine B produise un défaut est de 0,05. Sur 1000 pièces produites, 400 le sont par la machine A et 600 par la machine B. On prélève au hasard un appareil. 1. Quelle est la probabilité qu il ait un défaut? 2. L appareil prélevé possède un défaut, quelle est la probabilité qu il provienne de la machine A, de la machine B? On prélève au hasard un échantillon de 10 appareils, on considère ce tirage comme un tirage avec remise. 3. Quelle est la probabilité que ce lot contienne au moins un appareil défectueux? 4. Quelle est la probabilité que ce lot contienne exactement 2 appareils défectueux? (On arrondira les résultats au millième le plus proche.)

33 STAT03 : probabilités ENONCES Décembre 2000 (STAT03E03C) Un appareil est constitué de 10 composants, qui doivent tous fonctionner pour que l appareil marche. On pose x la probabilité qu un composant soit défectueux. 1. On souhaiterait que l appareil fonctionne avec la probabilité de 0,99. Que doit-on exiger du sous-traitant fournissant les composants sur la valeur x pour que cela soit réalisé? 2. On suppose que chaque composant a la probabilité 0, 001 de nonfonctionnement. On décide pour augmenter la probabilité de fonctionnement de mettre en parallèle deux appareils identiques qui se relaient en cas de panne de l un. Quelle est alors la probabilité de fonctionnement du nouveau dispositif? 3. On désire maintenant une probabilité de fonctionnement avec le dispositif précédent de 0,999. Quelle doit être la probabilité de panne d un composant?

34 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E01A) L énoncé est un peu ambigu. Il faut en fait considérer que l ordre de fabrication des instruments importe. De plus que ce soit sur un mois ou sur deux mois est sans effet sur le résultat. Nous avons 5 éléments distincts que nous voulons ordonner. Le résultat est donc le nombre de permutations d un ensemble de 5 éléments soit 5! = 120 pour les deux questions. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).

35 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E01B) 1. Chaque voiture doit être placée dans un garage différent. Cela revient à ordonner les six voitures. Le nombre de possibilités est donc le nombre de permutations d un ensemble de 6 éléments. Soit 6! = Nous disposons de trois garages. On choisit deux voitures pour mettre dans le premier garage : la notion d ordre n intervient pas. Cela correspond à une combinaison de 2 éléments parmi 6 soit 2 C 6. On choisit ensuite deux voitures parmi les 4 qui restent. Avec le même 2 raisonnement, il y a C 4 possibilités. On place alors les deux dernières dans le dernier garage, soit une possibilité En imaginant l arborescence, on trouve donc : ! 4! 6! C6 C4 C2 = 1= = 90 2! 4! 2! 2! 2! 2! 2! 3. Nous disposons de quatre garages, le début est le même que dans la question précédente. 2 C 6.pour le premier garage 2 C 4 pour le second garage. 1 C 2 pour le troisième garage 1 C 1 pour le troisième garage En imaginant l arborescence, on trouve donc : ! 4! 2! 1! 6! C6 C4 C2 C1 = = = 180 2! 4! 2! 2! 1! 1! 1! 0! 2! 2 Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).

36 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E01C) 1. On doit choisir 4 personnes parmi les 13. Ici l ordre n a pas d importance car on ne distingue pas les différents postes d adjoints. En fait il s agit des combinaisons de 4 parmi 13 soit : 4 C 13 = On choisit les 2 hommes parmi les 5 et 2 femmes parmi les 8. On combine donc 2 2 ces choix, sachant que l ordre n intervient pas, soit : C5 C8 = Au moins un homme signifie : 1 ou 2 ou 3 ou 4. Nous allons faire le calcul direct, puis nous verrons que dans ce cas là il vaut mieux considérer l ensemble des possibilités moins les cas contraires, c est à dire 4 femmes C5C8 + C5C8 + C5C8 + C5C8 = = 645 et par l autre 4 4 méthode : C13 C8 = = 645. La deuxième méthode apparaît évidemment supérieure à la première. Retenez son principe très utile. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).

37 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E01D) 1. Le nombre de tirages différents correspond au nombre de combinaisons de 3 3 éléments parmi Ici l ordre n intervient pas, soit : C 1000 = Une seule pièce défectueuse parmi 50 et 2 bonnes parmi 950. Soit : 1 2 C50 C950 = = Au moins une pièce défectueuse c est l ensemble des tirages possibles moins ceux ne comportant que des bonnes pièces, donc C C950 3 = Faisons le raisonnement direct : une mauvaise et deux bonnes, ou 2 mauvaises et une bonne ou 3 mauvaises : C50C950 + C50C950 + C50 = C est le choix de 3 pièces parmi les 950 : C 950 = Au moins 2 signifie 2 OU 3. Soit : C50C950 + C50 = On peut vérifier ce résultat en faisant : l ensemble moins aucune pièce moins une seule pièce. Soit : C1000 C950 C950C50 = = Heureusement, on trouve le même résultat. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons vivement de contacter votre tuteur.

38 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E02A) Il y a C 18 3 façons différentes de choisir 3 flacons parmi les 18. Ce sont les combinaisons de 3 éléments parmi Les trois flacons appartiennent au même groupe. Ce ne peut être que le groupe O ou le groupe A. Donc on obtient : 3 C 11 façons de choisir 3 flacons parmi les flacons du groupe O et C 4 3 façons de choisir 3 flacons parmi les flacons du groupe A. La probabilité est donc : C C4 3 C18 0, 207 C14 2. «au moins 1» équivaut à «tous moins 0» soit en probabilité : 1 0, 554, 3 C il reste en effet le choix de 3 parmi les 14 personnes n ayant pas le groupe A. 3. Il faut décrire le phénomène de façon exhaustive. On constitue les groupements suivants : { O,A,B };{ O,A,AB };{ O,B,AB };{ A,B,AB} On aboutit donc aux calculs suivants : { O,A,B } : { } O,A,AB : O,B,AB : { } A,B,AB : { } Soit au total : = 162 0, Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).

39 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E02B) 1. Les pièces sont indiscernables dans le lot et le tirage est rigoureusement aléatoire. Il y a donc au total 3 C 100 choix possibles. Ici l ordre n intervient pas. Les trois pièces ont été fabriquées par la machine M 1 ou les trois pièces ont été fabriquées par la machine M 2. Il y a celles provenant de la machine M 1 et 3 C 40 choix possibles de 3 pièces parmi 3 C 60 choix possibles de 3 pièces parmi celles provenant de la machine M 2. Les deux événements étant incompatibles et l équiprobabilité étant assurée, on obtient : C60 3 C100 C p = 0, 2727 En fait ici il est plus simple de raisonner en utilisant l équivalence «au moins une pièce de la machine M 1», équivaut «à toutes les possibilités moins celles comportant les 3 pièces issues de la machine M 2», on obtient : C60 3 C100 C p = 0, 7884

40 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre On va faire un raisonnement «naturel». Soit les trois pièces proviennent de la machine M 1 avec la probabilité = 0, 0611, Soit les trois pièces proviennent de la machine M avec la probabilité , 2116, on peut additionner ces deux probabilités pour obtenir le résultat, les événements étant disjoints. Finalement, 0, , , On fait : 1 la probabilité qu aucune pièce ne provienne de M 1. Soit , , On peut remarquer que les résultats sont sensiblement égaux, on peut donc 4 considérer, si la précision de 10 convient, que le tirage peut être considéré comme un tirage avec remise. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons vivement de contacter votre tuteur.

41 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E03A) 1. Il s agit de probabilités conditionnelles. Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que l individu soit malade. La représentation arborescente permet de résoudre simplement ces problèmes. On pose M l événement «l individu est malade» Et P l événement «le test est positif» p( P M ) = 098, p( M P ) = 098, x p( M) x p P M, = ( ) = 002 ( ) = 1 x p( P M ) = 005, p M p( M P ) = 002, x ( ) = 0051 ( ) p M P, x On cherche la probabilité : p ( M ) ( ) ( ) p( P M ) = 095, ( ) ( ) = 0951 ( ) p M P, x p M P p M P 098, x 098, x = = = = P p P p P M p P M 0, 98x + 0, 05 1 x 0, 93x + 0, 05 ( ) + ( ) ( )

42 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre , x = dont la 093, x + 005, courbe représentative est un arc d hyperbole. La fonction est strictement 2. On étudie donc sur [ 01 ; ] la fonction p définie par p( x) croissante de [ 01 ; ] vers [ 01] ;. 098, x = 0, 5 0, 98x = 0, 465x + 0, 025 0, 515x = 0, 025 x 1 0, , x + 005, 098, x = 0, 95 0, 98x = 0, 8835x + 0, , 0965x = 0, 0475 x 2 0, 5 093, x + 005, Conclusion, le test est peu efficace si la proportion d individus atteints est faible, en revanche il devient fiable si une proportion importante de la population est malade, en cas d épidémie par exemple. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).

43 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E03B) 3. Il s agit de probabilités conditionnelles. La représentation arborescente permet de résoudre simplement ces problèmes. On pose : D l événement «l appareil est défectueux» A l événement «l appareil est fabriqué par la machine A» p( D A ) = 003, p( D A ) = 0, 4 0, 03 = 0, 012 p( A ) 04, p D A, = ( ) = 097 p( D A ) = 0, 4 0, 97 = 0, 388 p( A ) = 06, p( D A ) = 005, p( A D ) = 005, 06, = 003, Il suffit de lire le graphique : 1. ( ) ( ) ( ) p( D A ) = 095, p( D A ) = 095, 06, = 057, ( ) ( ) ( ) p D = p D A D A = p D A + p D A =, +, =, (Il est évident que les événements ( D A) et ( D A) sont incompatibles) 2. ( ) ( ) ( ) p D A 0, p A D = = = 0, 286 et p D 0, ( ) p D A 003, 10 p( A D ) = = = 0, 714 p D 0, ( )

44 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre Le tirage est un tirage avec remise. La probabilité de tirer un appareil défectueux est de 0,042 et donc de tirer un appareil non défectueux de 0,958. La probabilité que le lot contienne au moins un appareil défectueux est en fait 1 la probabilité que le lot ne contienne aucun appareil défectueux, soit : , , 65 = 0, Le lot contient exactement 2 appareils défectueux, donc 8 en état de marche. Ces deux appareils défectueux peuvent être les deux premiers choisis ou le premier et le troisième, ou ETC soit 2 C 10 choix possibles d emplacement. On obtient donc la probabilité : p = C 10 0, 042 0, 958 0, 056 Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).

45 STAT03 : Probabilités SOLUTIONS Octobre 2000 (STAT03E03C) 1. Pour la première question, il faut que chaque composant soit en état de marche. On suppose que chacun de ceux-ci fonctionne avec la probabilité ( 1 x) soit une probabilité de fonctionnement de l appareil de( 1 x) 10. On obtient donc : 10 ln 099, 099, = ( 1 x) ln 099, = 10ln( 1 x) ln( 1 x) = 10 ln 099, 10 1 x = e x Le système fonctionne si l un ou l autre ou les deux fonctionnent. On pose : F l événement «le dispositif fonctionne» A «le premier appareil fonctionne» B le deuxième appareil fonctionne. On obtient : p( F) = p( A B) = p( A) + p( B) p( A B). Comme les deux appareils sont indépendants l un de l autre, 10 p( A B) = p( A) p( B) avec p( A) = p( B ) = 0, 999 0, 99. Finalement on obtient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3. On résout : 3 p F = p A + p B p A B = 2 0, 999 0, 999 0, 9999 ( ) 2 ( ) ( ) x 1 x 0, 999 X 2X + 0, 999 = 0 Seule 1 X convient, ce qui donne ( ) 2 0, 004 X 1 = 0, , 004 X 2 = > x 0, 968 x = 1 0, 968 0, 0032 Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons vivement de contacter votre tuteur.

46 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E01A) Il faut tenir compte de l ordre de fabrication des instruments. Nous avons 5 éléments distincts que nous voulons ordonner. Réfléchissez bien à l importance que ce travail se fasse sur 1 ou 2 mois.

47 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E01B) 1. Chaque voiture doit être placée dans un garage différent. Cela revient à ordonner les six voitures. 2. Nous disposons de trois garages. Il faut envisager comment remplir le premier garage, puis le second et enfin le troisième 3. Nous disposons de quatre garages, le début est le même que dans la question précédente. Il ne reste plus, avec le même raisonnement, qu à remplir le troisième garage avec une voiture, puis le 4 ième avec la dernière.

48 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E01C) 1. Ici l ordre n a pas d importance car on ne distingue pas les différents postes d adjoints. 2. On choisit 2 hommes parmi les 5 et 2 femmes parmi les 8. On combine donc ces choix, sachant que l ordre n intervient pas. 3. Au moins un homme signifie : 1 ou 2 ou 3 ou 4. Vous pouvez faire le calcul directement, ou considérer l ensemble des possibilités moins «pas d hommes» On rappelle le moyen mnémotechnique : lorsque l on est amené à dire ET, on multiplie les choix, lorsque c est OU, on les additionne.

49 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E01D) 1. L ordre n intervient pas 2. Une seule pièce défectueuse parmi 50 et 2 bonnes parmi 950 (sans ordre). 3. C est le choix de 3 pièces parmi les 950 (sans ordre). 4. Au moins 2 signifie 2 OU 3

50 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E02A) 1. Les trois flacons appartiennent au même groupe. Ce ne peut être que le groupe O ou le groupe A. 2. «au moins 1» équivaut à «tous moins 0» 3. Il faut décrire le phénomène de façon exhaustive. On constitue les groupements suivants : { O,A,B };{ O,A,AB };{ O,B,AB };{ A,B,AB}

51 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E02B) 1. Ici l ordre n intervient pas. 2. Les trois pièces ont été fabriquées par la machine M 1 ou les trois pièces ont été fabriquées par la machine M 2. En fait ici il est plus simple de raisonner en utilisant l équivalence «au moins une pièce de la machine M 1», équivaut «à toutes les possibilités moins celles comportant les 3 pièces issues de la machine M 2» 3. Faites un raisonnement «naturel».

52 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E03A) La représentation arborescente permet de résoudre simplement ces problèmes. On pose M l événement «l individu est malade» Et P l événement «le test est positif» p( P M) ( P) p M p( M ) p( P M) p( M ) p( P M) p( P M) ( P) p M ( P) p M ( P) p M

53 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E03B) 1 et 2 : Voir la correction de l exercice précédente et s en inspirer pour l arborescence. 3. La probabilité que le lot contienne au moins un appareil défectueux est en fait 1 la probabilité que le lot ne contienne aucun appareil défectueux. 4. Les deux appareils défectueux peuvent être les deux premiers choisis ou le premier et le troisième, ou ETC

54 STAT03 : Probabilités AIDES Décembre 2000 (STAT03E03C) 1. Pour la première question, il faut que chaque composant soit en état de marche. Ensuite il y a un petit calcul avec les logarithmes. 2. Le système fonctionne si l un ou l autre ou les deux fonctionnent. On pose : F l événement «le dispositif fonctionne» A «le premier appareil fonctionne» B «le deuxième appareil fonctionne»