Dispatching économique par une méthode artificielle

Transcription

1 128 Dispatching économique par une méthode artificielle Mimoun YOUNES, Samir HADJRI et Houari SAYAH Résumé : Dans cet article, nous présentons une solution au problème de Dispatching économique (DE) basée sur un algorithme génétique. Notre objectif est de imiser Le coût du combustible nécessaire pour la production de l énergie électrique qui se présente sous forme d une fonction non linéaire, en tenant compte de certaines contraintes de type égalité et inégalité. Le choix d un codage approprié est un élément critique dont dépend grandement l efficacité d un algorithme génétique. Pour cela nous présentons une étude comparative entre deux types de codage: le codage binaire classique et le codage réel. Une application a été faite sur un réseau standard 118 nœuds. Mots-clés: Dispatching économique, optimisation, algorithmes génétiques (AG). 1. INTRODUCTION Pour résoudre le problème de l acheement de la puissance disponible sur les lieux de consommation, il est nécessaire de déterer le niveau de production de chaque groupe et les transits de puissance dans le réseau. Il faut faire face à la demande, en respectant les contraintes technicoéconomiques d exploitation afin de imiser les coûts de production. Etant donné un ensemble de centrales électriques alimentant un ensemble de consommateurs par l intermédiaire d un réseau de transport, il s agit de déterer la répartition des puissances actives fourni par ces centrales à un instant donné, de telle sorte que le coût de production de cette énergie soit imal. Le problème général de la production et de la répartition optimale de la puissance dans un système production transport - consommation est donc fort complexe. D après la synthèse bibliographique, nous avons constaté que différentes approches ont été élaborées pour résoudre ce type de problème. Beaucoup de ces approches sont basées sur des méthodes de programmation linéaire. D autres recherches ont utilisé des méthodes de programmation non linéaire. Il y a aussi ceux qui ont utilisé des méthodes de décomposition. Ces méthodes conventionnelles sont basées généralement sur des linéarisations successives et utilisent la première et la deuxième dérivée de la fonction objective et de ses contraintes comme direction de recherche. Ces méthodes conventionnelles sont bonnes pour les fonctions objectives quadratiques (déteristes) ayant un seul imum. Cependant pour notre cas, les fonctions objectives sont hyper quadratiques et ont ainsi plusieurs imums locaux. Les méthodes conventionnelles peuvent converger seulement vers ces imums locaux et peuvent parfois diverger. Récemment, et pour surmonter ce problème, quelques méthodes se basant sur l intelligence artificielle ont été appliquées. Ces méthodes en général n exigent pas la convexité de la fonction objective et ont une grande probabilité pour converger vers le imum global. Dans cet article, l approche proposée emploie un algorithme génétique en code binaire et un algorithme génétique en code réel, avec la taille de la population variable Mediamira Science Publisher. All rights reserved.

2 Volume 50, Number 2, Les résultats de ces nouvelles techniques seront comparés. 2. FORMULATION DU PROBLEME La fonction se présente le plus souvent sous la forme d un polynôme du deuxième degré : C P = a + bp + cp (1) ( ) 2 Gi Gi Gi Les coefficients a, b et c sont propres à chaque unité de production, on les détere à l aide des méthodes d'interpolation comme par exemple celles de Lagrange, de Newton ou des Moindres Carrés. Afin de imiser le coût de production total d un réseau interconnecté, on doit imiser la somme des fonctions de coût des unités de production et posé la formule globale sous la forme suivante : NG i( Gi) Minimiser F= C P (2) i= 1 En prenant en considération les contraintes suivantes: 2.1. Contraintes d égalité ( ) NG ND = i= 1 j= 1 h P PGi P P G 2.2. Contraintes d inégalité P P P Gi Gi Gi Dj L (3) (4) F: Fonction du coût total. NG: Nombre total de nœud producteur. ND: Nombre total de nœud consommateur. P Gi : Puissance active produite par le i eme générateur. P Dj : Puissance active consommée par la j eme charge. P L : Pertes totales dans le réseau. P Gi : Puissance active imale du i ème générateur P Gi : Puissance active imale du i ème générateur. Nous allons utiliser la méthode de pénalité, pour transformer le problème original contraint en un problème auxiliaire non contraint où le imum est le même dans les deux cas [5]. Le principe de base consiste à modifier le critère en lui ajoutant une fonction de pénalisation p. La nouvelle tache consiste à imiser la fonction sans contraintes suivante : NG 1 2 Fm ( PGi, rk ) = Ci ( PGi) + B h ( PGi) (5) i= 1 rk Avec r k :coefficient de pénalité; B: une constante, définie comme suite: B > 0 h( PGi ) 0 et si B = 0 h( P ) = 0 Gi 3. APPLICATIONS DES ALGORITHMES GENETIQUES 3.1. Idées de base Les algorithmes génétiques (AG) ont été initialement développés par John Holland [2]. En 1989, Goldberg a publié un livre de référence pour les algorithmes génétiques "Genetic algorithms in search, optimization and machine learning"[1]. C est à ce livre que nous devons la popularisation des AG. A chaque génération (itération), un nouvel ensemble de chaînes de caractères (population) est créé en utilisant des parties des meilleurs éléments de la génération précédente; ainsi que des parties innovatrices, à l'occasion. Bien qu'utilisant le hasard, les algorithmes génétiques ne sont pas purement aléatoires. Ils exploitent efficacement l'information obtenue précédemment pour spéculer sur la position de nouveaux points à explorer, avec l'espoir d'améliorer la performance. La fonction dont on recherche l'optimum est dite fonction objective. On peut remarquer dés à présent que l'on ne fait aucune hypothèse sur cette fonction, en particulier elle n'a pas à être dérivable, ce qui représente un avantage sur certaines méthodes de recherche d extremum.

3 Application de l AG à la répartition économique des puissances (REP) Nous appliquons ici l algorithme génétique de base étape par étape à la répartition économique des puissances sur un simple réseau test constitué de 9 jeux de barres, 6 lignes électriques, 3 générateurs, 3 transformateurs et 3 charges. Le tableau 1 montre les données techniques et économiques des trois générateurs interconnectés. La puissance de base utilisée est de 100 MVA. Tableau 1. Ensemble des paramètres des puissances actives générées P Gi. N P P A B C (p.u) (p.u) ($/h) ($/MWhr) ($/MW 2 hr) Le problème de la REP consiste à trouver le imum de la fonction objective (1). Chaque puissance active générée P Gi est limitée par une limite inférieure P Gi et une limite supérieure P Gi Equation (4). Puisque la fonction objective est bornée supérieurement, on va choisir une fonction sélective à imiser de la forme suivante : fitness ( ) ( ) < = F F x si F x F 0 si non Il y a de nombreuses façons de choisir le coefficient F. Ce facteur peut être pris comme coefficient d entrée, ou bien on peut lui affecter la plus grande valeur de F observée, ou la plus grande valeur de F dans la population actuelle. Nous envisagerons cette dernière possibilité dans cet exemple Codage des chromosomes et le décodage La première étape consiste à coder les variables P Gi sous forme de chromosome. Pour sa simplicité et sa commodité, le codage binaire est utilisé dans cet exemple. Avec le codage binaire, les puissances actives générées du réseau test 9 jeux de barres (P G1, P G2 et P G3 ) vont être codées comme une chaîne de 0 et 1 avec, respectivement, des longueurs L1, L2, et L3 (peuvent être différentes). Chaque paramètre P Gi a une limite supérieure Bi = PGi et une limite inférieure Ai = PGi. Le choix de L1, L2, et L3 pour les paramètres est sujet de la résolution spécifiée par l utilisateur dans l espace de la recherche. Avec le codage binaire, la relation entre la longueur de bit L i et la résolution correspondante Ri est donnée par: Bi A Ri = i (6) Li Donc, l ensemble P Gi peut être transformé en une chaîne binaire (chromosome) avec une longueur Li et puis l espace de recherche est exploré. Il est à noter que chaque chromosome présente une solution possible du problème. Par exemple, supposer le domaine des paramètres de (P G1, P G2 et P G3 ) qui est présenté dans le Tableau 1. Si la résolution (R1, R2, R3) est spécifiée comme (0.1, 0.05, 0.1), d après l équation (6) on aura (L1, L2, et L3)= (4, 4, 4). Alors l ensemble de paramètres (P G1, P G2 et P G3 ) peut être codé selon le Tableau 2. Tableau 2. Codage de l ensemble des paramètres de P Gi. N P 1 Code P 2 Code P 3 Code (p.u) (p.u) (p.u) Pour construire un codage multiparamétrié, on peut tout simplement concaténer autant de codage d un seul paramètre qu il est nécessaire. Le

4 Volume 50, Number 2, chromosome correspond à l ensemble de paramètres (1.7, 0.30, 1.1) est alors la chaîne de caractères binaire suivante Le décodage est la procédure inverse Tirage et évaluation de la population initiale La première étape de tout algorithme génétique est de produire la population initiale. Une chaîne de caractères binaire de longueur l est associée à chaque membre (individu) de la population. D'habitude, la chaîne de caractères est connue comme un chromosome et représente une solution du problème. Un échantillonnage de cette population initiale crée une population intermédiaire. Nous fixons la taille de la population à N = 4. Nous tirons donc de façon aléatoire 4 chromosomes sachant qu un chromosome est composé de 12 bits, et chaque bit dispose d une probabilité ½ d avoir une valeur 0 ou 1. Le imum, ($/hr), est atteint par la deuxième séquence et le imum, ($/hr), est atteint par la troisième séquence (Tableau 3). Voyons comment l algorithme va tenter d améliorer ce résultat. Tableau 3. Processus de la première génération de l AG pour le réseau 9 nœuds. N Population P 1 P 2 P 3 F(x) F - initial (p.u) (p.u) (p.u) ($/h) F(x) Donc quelques opérateurs (reproduction, croisement et mutation) sont appliqués à cette population pour obtenir une nouvelle population. Le processus qui commence de l'actuelle population et aboutit à la nouvelle population, est nommé une generation Sélection Une nouvelle population va être créée à partir de l ancienne par le processus de sélection de la roue de loterie biaisée. Nous tournons cette roue 4 fois et nous obtenons à la fin la nouvelle population décrite dans le tableau 4. Fig. 1. Diagramme de la REP par l AG. Tableau 4. Nouvelle Population. N Les séquences de la population initiale Les séquences de la Nouvelle population Croisement Les parents sont sélectionnés au hasard. Nous tirons aléatoirement un lieu de croisement (Cross site ou locus) dans la séquence. Le croisement s opère alors à ce lieu avec une probabilité Pc. Le tableau5 donne les conséquences de cet opérateur en supposant que les chromosomes 1 et 3, puis 2 et 4 sont appariés et qu à chaque fois le croisement s opère (par exemple avec Pc = 1). Tableau 5. Résultats de croisement pour deux locus différents. Locus l=3 Locus Locus l=7 Parent Parent Parent Parent Parent Parent Parent Parent

5 132 Ancien Chromosome Tableau 6. Mutation avec simple tirage aléatoire pour chaque bit entre 0 et Nouveau Chromosome Mutation Dans cet exemple à codage binaire, la mutation est la modification aléatoire occasionnelle (de faible probabilité) de la valeur d un bit (inversion d un bit). Nous tirons ainsi pour chaque bit un chiffre aléatoire entre 0 et 1 et si ce chiffre est inférieur à Pm alors la mutation s opère. Le tableau 6, avec Pm = 0.05, met en évidence ce processus. Maintenant que la nouvelle population est entièrement créée, nous pouvons de nouveau l évaluer Retour à la phase d évaluation Le imum est maintenant de $/h (séquence 1). Nous sommes donc passé de $/h à $/h après une seule génération (tableau 7). Bien sûr, nous devons recommencer la procédure à partir de l étape de sélection jusqu à ce que le imum global soit obtenu, ou bien qu un critère d arrêt ait été satisfait. Il faut remarquer qu on n a pas pris en considération toutes les contraintes possibles. Finalement, il faut remarquer que si les AG convergent vers une solution optimale rien ne permet de dire, quand cette solution est inconnue, que le résultat soit la solution optimale[3]. En outre, les AG peuvent rester longtemps proches de la solution optimale sans l atteindre. C est la raison pour laquelle de nombreuses méthodes dites hybrides, combinant les AG et les méthodes traditionnelles de gradient, sont de plus en plus utilisées. Enfin, la durée de calcul (temps CPU) peut être longue. Tableau 7. Nouvelle evaluation. N Les P G1 P G2 P G3 F(x) F -F(x) chromosomes (p.u) (p.u) (p.u) ($/h) Autres paramètres Les opérateurs de l algorithme génétique sont guidés par un certain nombre de paramètres fixés à l avance, dont leurs valeurs influencent la réussite ou non d un algorithme génétique. Ces paramètres sont: La taille de la population, N, et la longueur du codage de chaque individu, L, (dans le cas du codage binaire): Si N est trop grand le temps de calcul de l algorithme peut s avérer très important, et si N est trop petit, il peut converger trop rapidement vers un mauvais chromosome. Cette importance de la taille est essentiellement due à la notion de parallélisme implicite qui implique que le nombre d individus traité par l algorithme est au moins proportionnel au cube du nombre d individus. En général, la valeur de la taille de la population est comprise entre 30 et 50 individus La probabilité de croisement Pc: Elle dépend de la forme de la fonction sélective. Son choix est en général heuristique (tout comme pour P m ). Plus elle est élevée, plus la population subit de

6 Volume 50, Number 2, changements importants. Le taux habituel est choisi entre 60% et 100%. La probabilité de mutation P m : Ce taux est généralement faible (entre 0.1% et 5%), puisqu un taux élevé risque de conduire à une recherche trop aléatoire. Plutôt que de réduire P m, une autre façon d éviter que les meilleurs individus soient altérés est d utiliser la reconduite explicite de l élite dans une certaine proportion. Ainsi, bien souvent, les meilleurs 5%, par exemple, de la population sont directement reproduits à l identique, l opérateur de reproduction ne jouant alors que sur les 95% restants. Cela est appelé une stratégie élitiste Codage binaire Dans cet article nous avons utilisé deux types de codage: binaire et réel. Nous pouvons facilement passer d un codage à un autre [4]. Nous avons procédé à la transformation d une chaîne binaire ( chaine 2 ) en un nombre réel P Gi par la règle suivante: p pi pgi = p + decimal ( chaine2 ) (7) Li par exemple : p G 1 = ( ) = avec L=14 et un précision de 0.01, car : 2 13 < < = ( ) = 31,27 p G avec L=15 et une précision de 0.01, puisque 2 14 < < p G 111 = ( ) = 92,81 14 avec L=20 avec une précision de , car : 2 13 < <2 14. Algorithme Etape 1 Créer une population initiale. Etape 2 Evaluer l adaptation de chaque individu. Etape 3 Y a t il convergence? Si oui afficher les résultats Si non aller à l étape 4. Etape 4 Sélectionner les individus Etape 5 Coder les individus (décimale binaire) Etape 6 Faire subir à la population des croisements et des mutations aléatoires. Etape 7 Décoder les individus (binaire décimale) Etape 8 Evaluer l adaptation des nouveaux individus et aller à l étape Codage réel A l aide du codage binaire, toutes les opérations sont assez simples à mettre en place. Malgré tout, quelques inconvénients existent: Il peut être difficile d adapter ce codage à certains problèmes: La représentation binaire traditionnelle utilisée pour les algorithmes génétiques crée des difficultés pour les problèmes d optimisation de grandes dimensions à haute précision numérique [6]. Par exemple, avec 100 variables appartenant au domaine [-500; 500] et dont une précision de 6 chiffres après la virgule est nécessaires, la taille du chromosome est Cela, en retour, génère un espace de recherche d environ Pour de tels problèmes, les algorithmes génétiques basés sur des représentations binaires ont de faibles performances. La distance de Hamg entre deux nombres réels proches qui est le nombre de bits qui diffèrent de l un à l autre peut être grande (exemple: 0111 qui vaut 7 et 1000 qui vaut 8, la distance est de 4)[7]. Ce qui crée bien souvent une convergence vers une valeur non optimale. Suivant le problème, la résolution de l algorithme peut être coûteuse en temps. Le croisement et la mutation peuvent être inadaptés (création d individus n appartenant pas à l espace de recherche).

7 134 Une des améliorations majeures consiste alors à se servir de nombres réels directement. Algorithme Etape 1 Créer une population initiale. Etape 2 Evaluer l adaptation de chaque individu. Etape 3 Y a t il convergence? Si oui afficher les résultats Si non aller à l étape 4. Etape 4 Sélectionner les individus Etape 5 Faire subir à la population des croisements et des mutations aléatoires. Etape 6 Evaluer l adaptation des nouveaux individus et aller à l étape3. 4. APPLICATIONS ET RESULTATS DE SIMULATION Les AG ont été programmés en matlab 5.3. et exécutés sur un PC 1500 MHz avec un Pentium 4 et une rame 128 MB. La méthode proposée a été appliquée sur un réseau standard à 118 nœuds (54-generateurs, 179- lignes et 91-charges). La charge de système est 4242 MW et la puissance de base est 100MVA. Le tableau 1 montre ses caractéristiques selon leurs types, les limitations des puissances actives des générateurs et les coefficients de chaque groupe. Le tableau 1 montre les paramètres de l AG utilisés pour cette simulation. On a représenté 54 sorties de générateurs, le code représenté par le format binaire est d une longueur 432 bits (sorties de générateurs 8 bits*54). Concernant le codage réel, l individu est représenté par un chiffre à valeur réelle. Les probabilités de croisement et mutation sont respectivement 0.85 et nous avons traité le problème avec deux cas : Les résultats de calcul des puissances actives, du coût imal du combustible et du temps de calcul sont donnés par les tableaux 3 et 4. Nous interprétons la comparaison entre l application de l algorithme génétique en code binaire (AG-Binaire), l algorithme génétique en code binaire avec une taille de population imale (AG-BPM) et l algorithme génétique en code réel (AG- Rréel), Nous remarquons que les résultats obtenus par l application de la méthode de type l AG-BPM sont nettement meilleurs par rapport à ceux trouvés par, par exemple sur le plan de la fonction coût, l AG-Rréel nous donne un gain de $/h par rapport à l AG-BPM, c.à.d un gain de 6.75 % et un gain de $/h par rapport à l AG-Binaire, c.à.d un gain de 6.75 %. Concernant le temps, on remarque que le temps est aussi meilleur par rapport à l AG-BPM, nous permettant de gagner un temps de 21,88 s et par rapport à l AG-Binaire, nous permettant de gagner un temps de 21,88 s. Tableau 8. Les opérateurs de l AG-Binaire. Taille de la population La mutation 0.05 Le croisement 0.85 Type de croisement arithmétique Type de sélection proportionnelle Nombre de générations 1000 Tableau 9. Caractéristiques des 54 générateurs du réseau 118 nœuds. N P(MW) P(MW) a($/h) b($/mwhr) c($/mw 2 hr) *

8 Volume 50, Number 2, * les générateurs : 1, 4, 6, 8, 15, 18, 19, 24, 27, 32, 34, 36, 40, 42, 55, 56, 62, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 85, 90, 91, 92, 99, 104, 105, 107, 110, 112, 113, 116 ont les mêmes caractéristiques. La figure 2 montre les meilleures valeurs sélectives pour chaque génération pour les trois types de méthode (AG-Binaire, AG-BPM et AG-Réel). On remarque une amélioration rapide de la meilleure valeur sélective pour chaque génération pour l AG-BPM. L optimum a été obtenu après 8 secondes pour les 1000 générations. Cependant l amélioration a été rapide et plus efficace concernant l AG-Réel, où l optimum a été obtenu après seulement 5 secondes pour les 1000 générations. La comparaison suivant l influence de la taille de la population 30 et 50 (AG-Binaire et AG-BPM), nous montre une grande amélioration de la fonction coût avec l augmentation de la taille de la population, malheureusement avec une augmentation du temps d exécution (92.29 s). Par contre l application de l AG-Rréel améliore les deux en même temps la fonction coût et le temps d exécution ( $/h, 11.36). Tableau 10. Comparaison des résultats obtenus des deux types de codage et la taille de la population. AG-Binaire AG-BPMax AG-Réel P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G AG-Binaire AG-BPMax AG-Réel P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G P G Coût($/h) Temps(s) La figure 3 montre l influence de l AG- Réel et la taille de la population sur les performances de l algorithme génétique, car on remarque clairement que le choix du code et de la taille de la population agie beaucoup sur le temps de convergence que sur la fonction coût. Cette constatation a été faite suivant la comparaison suivante : Si on compare le rapport de la fonction Coût ( AG Binaire) coût = 1.04 par rapport Coût ( AG BPM ) à celui du temps de convergence de l AG- Binaire et l AGt ( AG BPM ) BPM = 1.78, et de même t ( AG Binaire) pour les deux types de codage l AG-Binaire et Coût ( AG Binaire) l AG-Réel, = 1.09 et Coût AG Réel ( )

9 136 ( Binaire) t( AG Réel) t AG = 4.89 on remarque bien que le rapport du temps de convergence est plus important par rapport à celui de la fonction coût. D autre part on peut dire que l application de l AG-Réel améliore mieux les performances de l AG que l AG-BPM, puisqu il nous donne une différence de gain du rapport de 0.05 pour la fonction coût et 3.11 pour le temps de convergence. 5. CONCLUSION Les algorithmes génétiques (AG) présentent un fort potentiel d application pratique. Le choix du type de codage des individus reste l un des problèmes des algorithmes génétiques, c est très difficile de trouver un bon codage adapté à la structure du problème. Les résultats trouvés par un codage binaire sont acceptables mais le temps de calcul est assez important, par contre le codage réel a donné des résultats satisfaisants avec un temps de calcul raisonnable, pour cette raison on a intérêt à utiliser la représentation réelle de l individu lorsque les paramètres du problème à résoudre ont de grandes valeurs et nécessitent une grande précision. L utilisation des AG-Réel dans le domaine de la répartition des puissances peut constituer une alternative intéressante lorsque les méthodes d optimisation traditionnelle ne parviennent pas à fournir efficacement les résultats fiables. REFERENCES 1. Goldberg D.E. Genetic algorithms in search, Optimisation and machine learning. Reading, M.A. Addison Wesley, Holland, J.H. (1975). Adaptation in Natural and Artificial Systems. University of Michigan Press. 3. Kermanshahi B. and Aizawa Y. Genetic Algorithm For Coordination of Environmental and Economy Objectives in ELD Problem. Journal of Electrical Science and Technology, No. 26, pp , (Jun1999). 4. Lai L.I., Ma J.T. and Wong K.P. Evolutionary Programg for Economic Dispatch of units with non-smooth input output characteristic functions. Proceedings of the 12th Power System Computation Conference, PSCC, August 1996: Minoux M. Programmation Mathématique théorie et Algorithmes. Tome I. Dunod, Michalewitcz. Z. Genetic Algorithms+Data Structures = Evolution Programs, Springer Verlag Walters D.C. and Sheble G.B. Genetic algorithm solution of economic dispatch with valve point loading. IEEE Transactions on Power Systems 1993;8(3): Mimoun YOUNES Samir HADJRI Houari SAYAH Laboratoire ICEPS Faculté des Sciences de l'ingénieur Université de Sidi-Bel-Abbès Algérie mnyounes2000@yahoo.fr