DM n o 2 Dynamique Newtonienne

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1 Eercices de Mécanique DM n o Dynamique Newtonienne Point lissant à l intérieur et à l etérieur d une sphère Dans ce qui suit, on admet qu un point matériel mobile sans frottement sur la surface d un solide S subit de la part de celui-ci une action de contact N normale à S et diriée vers l etérieur de S «etérieur»= espace du côté de M. Soient S une sphère creuse de centre C et de rayon a. et A sont deu points diamétralement opposés. Dans toute la suite S est fie dans le référentiel terrestre supposé aliléen, le diamètre A étant vertical. n considère le mouvement sans frottement d un point matériel M de masse m dans un plan vertical passant par A. 1 A étant une verticale ascendante et le mouvement de M s effectuant sur la face interne de S, établir une équation différentielle du second ordre E vérifiée par la variable θ = C, CM. Déduire de E le caractère sinusoïdal des petitsmouvements de M au voisinae de et donner l epression de leur période. En multipliant E par θ et en remarquant que θ θ = 1 d θ, intérer E par rapport au temps et en déduire la dt relation liant la vitesse anulaire θ notée encore ω et la position θ. Cette méthode évite le recours à des aruments énerétiques qui ne seront à notre disposition qu en M3. Déterminer la constante d intération en sachant que M a été lancé de avec une vitesse calculée pour lui permettre d atteindre tout juste A «en principe» ; c est-à-dire pour que M reste toujours au contact de S jusqu en A. Montrer que, en fait, M quitte S pour une valeur θ 0 de θ inférieure à π que l on calculera. Quelle est la nature de sa trajectoire ultérieure? 3 Dans toute la suite, A est maintenant une verticale descendante et le mouvement de M s effectue sur la surface eterne de S. Avec les notations de la fiure ci-contre, établir la nouvelle forme E de l équation différentielle du mouvement et analyser la conclusion à laquelle celle-ci conduit pour un éventuel petit mouvement, M étant abandonné sans vitesse avec θt = 0 = θ 0 = α 1. 3 En procédant comme à la question pour intérer E au premier ordre, donner l epression de θ en fonction de θ dans le cas où M part de avec une vitesse nélieable et en déduire la valeur θ 0 pour laquelle M quitte S. E-M.8 Le peintre et la poulie Un peintre en bâtiment de masse M = 90 k est assis sur une chaise le lon d un mur qu il doit peindre. Sa chaise est suspendue à une corde reliée à une poulie parfaite. Pour rimper, le peintre tire sur l autre etrémité de la corde avec une force de 680 N. la masse de la chaise est m = 15 k. n travaille avec la verticale z ascendante. 1 Déterminer l accélération a = a, e z du peintre et de la chaise. Commenter son sine. Quelle force F = e z le peintre eerce-t-il sur la chaise? Rép : 1 a = 3, 15 m.s ; F 486 N. 8 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/

2 Eercices de Mécanique Rappel et Compléments du cours Force de frottement solide, réaction du support Lors du contact entre deu solides, donc lors du contact entre un point matériel M m et un solide S, ce dernier eerce sur le point M une force R appelée réaction, composée d une réaction normale à la surface de contact N, et d une réaction tanentielle T dite force de frottement vérifiant Les lois de Coulomb : S il y a lissement de M sur S : T = f N où f est le cœfficient de frottement 1 S il n y a pas de lissement de M sur S v M/S = 0 : T < f N. Remarques : En posant N N u u le vecteur unitaire dirié de S vers M, perpendiculaire à la surface de contact : le contact se maintient si N > 0 et le contact cesse si N = 0. En l absence de frottement f = 0, la réaction du solide S est normale, c est-à-dire R = N ; elle reste donc à chaque instant perpendiculaire au suport. E-M.9 Glissement d un solide sur un plan incliné Un solide supposé ponctuel de masse m est déposé à l etrémité supérieure de la line de plus rande pente d un plan incliné d anle α, sans vitesse initiale. n note H la distance de ce point initial au plan horizontal et l intensité du champ de pesanteur. 1 Absence de frottement Déterminer l accélération du mobile à l instant t, lorsque les frottements de lissement sont néliés. En déduire la vitesse du mobile au point A. Eistence de frottement de lissement Quelle est la condition sur f, le cœfficient de frottement pour que le solide commence à lisser à t = 0? Reprendre les questions de la partie 1. Rép : 1 v A = H ; v A = H1 fcotan α lorsque f < tan α. E-M.10 Points matériels en rotation Un système de deu particules identiques M 1 et M de masse m peut coulisser sans frottement sur un ae riide horizontal. M 1 est lié à, et M est lié à M 1 par deu ressorts identiques de constante de raideur k et de lonueur à vide l 0. L ae tourne autour de z à la vitesse anulaire constante ω. n pose K k mω. Trouver les deu équations du mouvement liant l 1, l, l 0 et K. Conseil : Appeler 0 y 0 z 0 le repère cartésien du référentiel terrestre. Faire une vue de dessus pour une position quelconque de la tie. faire apparaître l anle orienté θ entre l ae fie des abscisses 0 et la tie. Faire apparaître la base locale adaptées à l étude de M 1 et de M. Rép : l1 + ω K 1l 1 = ω Kl et l + ω K 1l = ω Kl 1 + l 0 1. Le cœfficient de frottement f dépend des matériau en contact mais pas de la surface de contact. Par eemple f = 0, 6 pour le contact caoutchouc / bitume http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ 9 A α e H

3 Eercices de Mécanique E-M.11 fil élastique lesté Un ressort de masse nélieable, de raideur k et de lonueur au repos l 0, est fié par ses etrémités en deu points A et B de même altitude et distants de d. Il est lesté en son milieu par un objet quasi ponctuel M de masse m. Caractériser la position d équilibre par eemple θ, anle que font les forces de rappel T A et T B des deu parties du ressort sur M avec l horizontale. Données : m =, 0 k ; = 9, 8 m.s ; k = 1, 0.10 N.m 1 ; l 0 = 1, 0 m ; d = 80 cm. Rappel du cours M : En plaçant M au milieu du ressort [AB] k, l 0, on sait qu on peut le remplacer par un ressort [AM] {k A = k 0, l A0 = l 0 } en série avec un ressort [MB] {k B = k 0, l B0 = l 0 } tel que k 0 s eprime facilement en fonction de k. Solution : Faire un schéma précis avec des notations claires après avoir lu l énoncé. Y faire apparaître les trois forces qui s eercent sur M à l équilibre. Projeter le P.F.D. à l équilibre dans le repère z où est l horizontale, z la verticale ascendante et milieu de [AB]. En déduire que le deu moitiés de ressort eercent des tensions identiques d intensité T A = T B = m sinθ. E-M.1 Point sur une tie en rotation uniforme dans R T Une tie P riide est soudée sur un plateau tournant à vitesse anulaire constante ω. Cette tie forme un anle constant α avec l ae vertical z =. Un point matériel de masse m pouvant lisser sans frottement est en équilibre relatif sur la tie. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre supposé aliléen : 1 préciser la position e de l équilibre relatif; donner les composantes R 1, R et R 3 de la réaction R dans la base e 1, e, e 3 liée à la tie. Conseil : Reconnaître la nature de la base e 1, e, e 3 avant toute autre chose. Rép : 1 e = cos α ω sin α ; R m cos α 1 = sinα Que vaut la constante de raideur d un ressort de lonueur à vide la moitié de celle d un d un ressort de raideur k? En déduire que : m k = d tanθ l 0 sinθ. Si on fait l hypothèse des petits anles : m θ. Les données de l énoncé k d l 0 donnent alors 0, 49 rad = 8, qui n est pas un petit anle il faut donc résoudre numériquement la première epression. n trouve θ 0, 79 rad. R = 0 R 3 = m E-M.13 Tir balistique sans frottement Un obus sphérique de masse m assimilé à un point matériel M est lancé dans l air avec une vitesse v 0 depuis le point, oriine du repère ; e, e y, e z lié au référentiel terrestre R supposé aliléen. La vitesse v 0 fait un anle α avec l horizontale dans le plan z. Le champ de pesanteur est supposé uniforme et z est la verticale ascendante du lieu. n nélie tout frottement. 1 Déterminer l équation de la trajectoire. Déterminer la flèche de la trajectoire altitude maimale atteinte. Pour quel anle α la flèche est-elle maimale? 3 Déterminer la portée D distance entre et le point de chute sur le plan horizontal z = 0. Pour quel anle α la portée D est-elle maimale? Calculer pour cet anle la portée et la flèche de la trajectoire. 10 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/

4 Eercices de Mécanique 4 Comment choisir l anle de tir α pour que la trajectoire passe par un point A de coordonnées A, y A? Définir la parabole de sûreté. Données : = 9; 81 m.s ; v 0 = 30 m.s 1 ; m = 1 k. Rép : Cf. p. E-M.14 Tir balistique avec force de frottement proportionnelle à la vitesse n reprend les données de l eercice précédent en supposant, cette fois, que l obus est soumis à une force de frottement traduisant la résistance de l air du type : F = λ v en plus de son poids. 1 Déterminer les composantes v t; v z t du vecteur vitesse v m/r = v à chaque instant. Déterminer les composantes t; yt du vecteur position M à chaque instant. 3 Déterminer et calculer la flèche de la trajectoire. 4 Montrer que la trajectoire tend vers une asymptote verticale dont on précisera la position. 5 Montrer que la vitesse de l obus tend vers une limite que l on déterminera. 6 Tracer l allure de la trajectoire. Données : α = 45 ; = 9; 81 m.s ; v 0 = 30 m.s 1 ; m = 1 k ; λ = 0, 1 k.s 1. Rép : cf. p. Solution E-M.13 1 Système étudié : obus sphérique assimilé à un point matériel M m. Référentiel d étude : le référentiel terrestre R supposé aliléen lié au repère d espace ; e, e y, e z. Le bilan des forces appliquées au point M se réduit au seul poids P m = m e z. Application du P.F.D. au point M dans R : m a M/R = P m d v dt R = m En simplifiant par m et en intérant vectoriellement, on obtient : v t = t + K K est une constante vectorielle qui s obtient en considérant les Conditions Initiales; or, à t = 0, on a v t = 0 v 0 = K. Donc : v t = t + v0 d Comme M v, l équation précédente peut s intérer à nouveau par rapport au dt R temps : Mt = 1 t + v 0 t + K ù K, constante d intération vectorielle, s obtient elle aussi râce au conditions initiales à t = 0 : Mt = 0 = 0 = K, soit : Mt = t + v 0 t Cette équation vectorielle sur Mt t e +zt e z peut se projeter selon les aes, y et z : en projetant selon e, on obtient : en projetant selon e y, on obtient : yt = 0 en projetant selon e z, on obtient : t = v 0 cos α.t 1 zt = t + v 0 sinα.t L équation de la trajectoire s obtient «en éliminant le temps» : 1 z = v 0 cos α + v 0 sinα v 0 cos α z = v0 cos α + tan α 3 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ 11

5 Eercices de Mécanique Conclusion : La trajectoire est une portion de parabole. La fiure ci-contre représente trois trajectoires obtenues pour différents anles α 30, 45, 75. La flèche est atteinte lorsque la vitesse verticale s annule. En projetant l équation v = t + v 0 sur e z, on obtient : v z = t + v 0 sin α qui s annule pour t F = v 0 sin α. Ainsi la flèche de la trajectoire est le point F F, z F dont les coordonnées sont obtenues en remplaçant t par t F dans les relations 1 et : F = t F = v 0 sinα 4 et z F = zt F = v 0 sin α 5 3 La portée est atteinte lorsque z = 0 ; on obtient donc cette portée en cherchant la solution à l équation suivante : z=0 v0 cos α + tan α = 0 v0 cos α + tanα = 0 La solution = 0 est à écarter puisqu elle correspond au point de départ du tir. La portée est donc la seconde solution : D = v 0 cos α tan α = v 0 sinα F Pour que la portée soit maimale, il faut qu elle soit solution de soit α = π et pas autre chose puisque α est compris entre 0 et π ; donc : 6 dd = 0, soit cosα = 0, dα α m = π 4 rad D = D m = v 0 AN : D m = 91, 7 m ; et pour la valeur correspondante de α 45, on a z F =, 9 m et F = 45, 9 m cf. Graphique. 1 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/

6 Eercices de Mécanique Solution E-M.14 1 Système étudié : obus sphérique assimilé à un point matériel M m. Référentiel d étude : le référentiel terrestre R supposé aliléen lié au repère d espace ; e, e y, e z. Le bilan des forces appliquées au point M se réduit au poids P m = m e z et à la force de frottement de l air F = λ v. Application du P.F.D. au point M dans R : m a M/R = P + d v F m = m λ v dt R d v dt + λ v = R m En définissant une constante temporelle m λ, l équation différentielle sur v devient : d v dt R + 1 v = v t = A ep t + A est une constante vectorielle d intération qu on détermine râce au conditions initiale t = 0 : en effet, puisque v t = 0 = v 0, on a : v0 = A + v t = v0 ep t + 1 Pour déterminer les composantes v t; v z t du vecteur vitesse, il suffit de projeter 1 : en projetant selon e, on obtient : v t = v 0 cos α ep t en projetant selon e y, on obtient : v y t = 0 en projetant selon e z, on obtient : v z t = v 0 sinα + ep t 3 Les composantes t; yt du vecteur position M peuvent s obtenir : a en intérant et 3 par rapport au temps puis en appliquant les conditions initiales C.I. http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ 13

7 Eercices de Mécanique b en intérant directement l équation vectorielle 1, en appliquant les CI, puis en projetant selon et z. Cette dernière méthode a l avantae de ne passer que par un seul calcul de primitive. Ainsi, une primitive vectorielle de 1 est : Mt = v 0 ep r, les C.I. imposent : Soit : t Mt = v 0 en projetant selon e, on obtient : en projetant selon e z, on obtient : +.t + B Mt = 0 0 = v 0 + B B = v 0 ep t 1 +.t t = v 0 cos α ep t 1 4 zt = v 0 sinα + ep t 1.t 3 La flèche F F, z F de la trajectoire est obtenue au moment où la vitesse s annule selon ez, soit lorsque : v z t F = 0 3 v 0 sinα + ep t F = 5 ep t F = + v 0 sinα 6 t F = ln v0 sin α + = ln 1 + v 0 sinα 7 En reportant 6 dans 4 et 5, on obtient les coordonnées de la «flèche» : 4 6 F = t F = v 0 cos α + v 0 sinα 1 Soit : F = v 0 sinα + v 0 sinα AN : F = 37, 7 m 5 6, 7 z F = zt F = v 0 sinα + + v 0 sinα 1 ln 1 + v 0 sinα Soit : z F = v 0 sinα ln 1 + v 0 sinα AN : z F = 0, 1 m Rque : n constate que l abscisse F et l altitude z F de la flèche sont plus petites que dans le cas où il n y a pas de frottement cf. AN de E-M.13 : cela est bien cohérent avec l action d une force de frottement... 4 Lorsque t +, alors t v 0 cos α. Ce comportement correspond à l eistence d une asymptote verticale. AN : = v 0 cos α = 1, 1 m. 5 Il suffit de reprendre 1 pour constater que lorsque t, alors v : v = = e z AN : v = = 98, 1 m.s 1 6 Sur un dessin de trajectoire qui se limite au altitudes positives : a on retrouve une flèche plus basse que dans le cas du tir balistique sans frottement, b mais on ne perçoit pas l asymptote verticale car celle-ci est atteinte pour une position = 1, 1 m bien supérieure à la portée D de la trajectoire D 70 m. 14 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/

8 Eercices de Mécanique Blo travail, énerie potentielle, énerie cinétique et énerie mécanique E-M3.1 Chute verticale avec frottement : Une masse ponctuelle m = 00 est lancée vers le haut depuis le point A avec une vitesse initiale v A = 10 m.s 1. En supposant la force de frottement verticale, d intensité constante f = 0, 50 N, calculer sans calculatrice : 1 La hauteur h = AB dont elle est montée sa vitesse v A quand elle repasse par le point de lancement. Données : n oriente la verticale z vers le haut. = 10 m.s 3 et 5 0, 77. Rép : Corrié complet sur le Blo v A m f 1 h = z B z A = + f = 4, 0 m ; v A = v A m + f 7, 7 m.s 1. m E-M3. Vitesse d un pendule n accroche une bille de masse m = 00 au bout d un fil de masse nélieable et de lonueur l = 1 m. n lâche la bille avec une vitesse nulle dans une position initiale faisant un anle θ 0 = 15 avec la verticale. 1 Quelle est la vitesse v m lors de son passae par la position verticale? Établir par deu méthodes puis calculer la période de ce pendule en suposant que le mouvement vérifie l hypothèse des petites oscillations. Rép : 1 v m = 0, 8 m.s 1 ; T 0 =, 0 s. E-M3.3 Vitesse minimale Un point matériel M soumis à la pesanteur et à une force de frottement fluide opposée à la vitesse est lancé avec une vitesse initiale inclinée d un anle α avec le plan horizontal. En appliquant seulement le théorème de la puissance cinétique et sans aucun calcul de trajectoire, montrez que la vitesse en norme est minimale après le sommet de la trajectoire. E-M3.4 Frottement fluide v Un véhicule assimilé à un point matériel M, est en mouvement M circulaire rayon r uniforme vitesse de norme v. La force de frottement fluide aissant sur le véhicule est du type : f = α v. r M3 Déterminer le travail W de cette force lorsque le véhicule part de A et arrive en B après n tours complets. Commenter le résultat obtenu. Rép : W = αvπr n + 1 E-M3.5 Glissement d un solide sur un plan incliné Résoudre l eercice E-M.9 par un raisonnement énerétique. B A http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ 15

9 Eercices de Mécanique E-M3.6 Force élastique / stabilité d un équilibre Soit un référentiel aliléen R de repère, e, e y, e z. Une perle quasi ponctuelle P, de masse M est astreinte à se déplacer sans frottements le lon d un demi-cercle de rayon a. Le point P est attaché à un ressort k, l 0 dont l autre etrémité est fiée en = a. le point P est repéré par l anle θ =, P. 1 a Eprimer P en fonction de a et θ dans la base polaire. En déduire l epression du module P. b eprimer la tension T du ressort en fonction de a, k, l 0 et θ dans la base polaire. a Comment s eprime la vitesse de P dans R dans la base polaire? b n note F la résultante des forces eercées sur P. Donner l epression de la puissance de cette résultante dans R en fonction de θ et θ. En déduire l énerie potentielle E p à une constante près dont dérive la résultante. a M. k 3 a n suppose les relations suivantes entre les paramètres : a = M et l 0 = 3 k Quelles sont les positions d équilibre θ 1 et θ pour θ positif? b Étudier la stabilité des équilibres obtenus. c Quelle est la période T des petites oscillations de P autour de la position d équilibre stable? Rép : 3.a E p = Ma cos θ 3 cos θ et chercher θ e tel que 3.c Poser θ = θ e +ɛ et montrer que ɛ vérifie ɛ+ω ɛ = 0 avec ω = π a avec T = 4π. E-M3.7 Force de ravitation et tunnel terrestre n démontre que pour tout point M de masse m situé à l intérieur de la Terre, à la distance r du centre de la terre, l attraction terrestre est une force aissant en ce point M diriée vers le centre de la Terre et de valeur : r F = m0 er R dep dθ θ e = 0; T, soit : ɛt = ɛ m cos t+ϕ où R est le rayon de la Terre et r = M. R = 6, m et 0 = 10 m.s. 1 Quelle est l énerie potentielle de M en supposant que E p = 0 pour r = 0? n considère un tunnel rectiline AB, d ae H ne passant pas par et traversant la Terre. n note d la distance H du tunnel au centre de la Terre. Un véhicule assimilé à un point matériel M de masse m lisse sans frottement dans le tunnel. Il part du point A de la surface terrestre sans vitesse initiale. Quelle est sa vitesse maimale v m au cours du mouvement? A.N. avec d = m. Eprimer HM = en fonction du temps t par une méthode énerétique. Retrouver l epression de v m. 3 Représenter et commenter le raphe de E p ; E p étant l énerie potentielle de ravitation de M. Décrire le mouvement de M à partir de sa position initiale en A. Rép : 1 E p = 1 m 0 R r ; v m = 0 R d = m.s 1 et t = R R d cosω 0 t 0 avec ω 0 = R ; E p = 1 m 0 R d + = a + b et E m = Cte = E p,ma = E p A = E p B ou 16 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ A H d B

10 Eercices de Mécanique encore E m = Cte = E k,ma + E p,min = E m H. scillations périodiques de période T = π. ω 0 E-M3.8 Planeur : Un planeur et son pilote masse totale m = 310 k volent à vitesse constante v 0 = 110 km.h 1 en air calme. 1 Calculer le travail W 0 des forces de frottements lorsque le planeur descend de 00 m d altitude à 700 m. La finesse du planeur est de 38 la finesse est le nombre de kilomètres parcourus horizontalement pour une perte d altitude de 1 km en air calme. Calculer l intensité de la force de frottements f. n eposera clairement les hypothèses faites et les raisons de leurs choi. 3 Dans une «pompe» courant ascendant qui permet au planeur de prendre de l altitude, le planeur monte de 700 m à 00 m d altitude. En supposant que W f = W 0, estimer le travail W a fourni par les forces des courants ascendants au système {planeur+pilote}. Blo Rép : Corrié complet sur le Blo 1 W 0 = 4, J ; f 80 N ; 3 W a = W 0 9, J. E-M3.9 Toboan Un point matériel M se déplace sans frottements à l intérieur d une outtière circulaire toboan terminé par un cercle de rayon a. Il est lâché en A, d une hauteur h, sans vitesse initiale. n note l intensité du champ de pesanteur. 1 Eprimer en fonction de a, h, et θ la norme v M de la vitesse du point M lorsqu il est à l intérieur du demi-cercle. De quelle hauteur h min doit on lâcher le point matériel sans vitesse initiale en A pour qu il arrive jusqu au point le plus haut du demi-cercle θ = π. 3 Dans ces conditions, donner l epression de la réaction du support au point I d entrée du demi-cercle θ = 0. 4 Déterminer les limites h 1 et h telles que : a si h < h 1, le point M effectue des oscillations. b si h 1 < h < h, M quitte la outtière et chute pour π < θ < π. c si h > h, le point M fait des tours complets si le uide circulaire se poursuit. Conseil : problème unidimensionnel + question sur la vitesse utiliser le Thm de l E k entre A et M. Rép : 1 v M = h a1 cos θ ; h min = 5a ; 3 NI = 6m ; 4 h 1 = a et h = h min = 5a. E-M3.10 Distance d immobilisation d une voiture sur autoroute Une voiture roule sur une autoroute à la vitesse de v 0 = 130km.h 1. n suppose qu il y a des frottements solides entre la voiture et la route. n rappelle qu alors la réaction de la route se décompose en une composante normale R N et une composante tanentielle R T de sens opposé à la vitesse et dont la norme vérifie R T = f R N en notant f le cœfficient de frottement. Il faut D = 500m pour que le véhicule s immobilise lorsqu on n eerce aucune force de freinae. 1 Calculer la distance de freinae D si la vitesse initiale était de v 0 = 110 km.h 1 Le résultat est-il modifié si la route fait un anle α avec l horizontale la voiture montant ou descendant la pente? v0 Rép : 1 D = v 0 D = 360 m ; Le résultat est identique que la route soit horizontale http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ 17

11 Eercices de Mécanique ou non! Faire un schéma du plan incliné, eprimer R N et R T en fonction de m,, α et f avant d appliquer le Thm de l E k. E-M3.11 Vitesse minimale * C Un solide ponctuel de masse m est lancé en A sur une piste horizontale prolonée par un demi-cercle vertical de rayon R. n donne : AB = 1 m ; R = 1 m ; m = 0, 5 k ; R e θ = 9, 81 m.s. θ M m 1 Les frottements étant nélieables, calculer en e A la vitesse minimale v A,min que doit avoir la masse r A B pour qu elle atteine le point C. Même question lorsque les frottements entre l objet et la piste sont assimilables à une force constante de norme f = 1 N. Rép : 1 v A v A,min avec v A,min = 5R 7, 1 m.s 1 Bien entendu, c était la vitesse de M au point I dans la question 3 de l eercice E-M3.9 ; v A,min = 8, m.s 1. E-M3.1 scillations dans un tube en U ** Dans un tube en U de section constante, on place un liquide de masse volumique µ occupant une lonueur totale L. Q : Montrer que si on écarte le liquide de sa position d équilibre et qu ensuite on le laisse évoluer librement, sans aucun phénomène dissipatif, le liquide effectuera des oscillations sinusoïdales de pulsation ω = L. 5R + f AB + Rπ m L DL n o 6 Mouvement d un particule en contact avec une cuvette parabolique * CCP 1999 n désire étudier les mouvements possibles d un point matériel M, de masse m, sous l action du champ de pesanteur, à l intérieur d une cavité P z fie que l on suppose solidaire d un référentiel terrestre R supposé aliléen lié au repère cartésien H, e, e y, ρ e z. La surface etérieure de cette cavité M est un paraboloïde de révolution P, d ae vertical ascendant z, dont l équation en coordonnées cylindriques ρ, ϕ, z est ρ az = 0 avec a > 0. Cette surface étant parfaitement lisse, le point matériel M lisse sans frottement sur P. Compte tenu de la symétrie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques de M, ϕ P la base de projection étant celle des vecteurs de la base cylindrique locale e ρ, e ϕ, e z. y 1 Vitesse et accélération de la particule 1.a Eprimer la vitesse v M/R du point M par rapport à R dans la base cylindrique. 1.b En déduire l epression de l accélération a M/R sous la forme : a M/R = a ρeρ +a ϕeϕ +a zez. Justifier que a ϕ s écrit : a ϕ = 1 dρ ϕ ρ dt 18 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/

12 Eercices de Mécanique 1.c La réaction R eercée par P sur M est contenue dans le plan HP défini par les vecteurs de base e ρ et e ϕ. appliquer le P.F.D. au point M dans R. par projection de l équation vectorielle obtenue sur la direction orthoonale au plan HP direction du vecteur e ϕ, montrer que : ρ ϕ = cte, cette constante du mouvement étant notée C. Énerie.a Quelle est, en fonction des coordonnées et de leur dérivées, l epression de l énerie cinétique E k de la particule M dans R?.b Justifier l eistence d une énerie potentielle E p dont dérivent les forces etérieures aissant sur M. Eprimer E p en fonction de ρ en supposant que E p 0 = 0..c Que peut-on dire de l énerie mécanique de M? 3 Discussion énérale du mouvement 3.a Déduire de ce qui précède une équation du premier ordre, à une seule inconnue, de la forme : 1 m ρ Gρ + E p,ef ρ = E m où Gρ est positif et sans dimension et où E p,ef ρ est une énerie potentielle dite «effective». Epliciter Gρ et E p,ef ρ. 3.b Représenter l allure du raphe E p,ef ρ en considérant les domaines ρ «faible» et ρ «élevé». Montrer que E p,ef ρ passe par un minimum pour une valeur ρ m de ρ que l on eprimera en fonction de C, m, a et, intensité du champ de pesanteur. 3.c Discuter, à l aide du raphe de E p,ef ρ, la nature du mouvement de M. En déduire que la trajectoire de M sur P est nécessairement tracée sur une réion de P limitée par deu cercles définis à l aide des constantes du mouvement et des données du problème. n se contentera d indiquer quelle équation il conviendrait de résoudre pour déterminer ces deu cercles. 4 Étude d un mouvment particulier Une petite perturbation écarte léèrement la coordonnées ρ de la valeur ρ m pour laquelle E p,ef ρ est minimale. Montrer que ɛ = ρ ρ m oscille avec une période que l on calculera dans le cas où ρ m = 1m et a = m. n rappelle que = 9, 81 m.s 1. Rép :.a E k = 1 m ρ + ρ ϕ + ż ;.b E p = m a ρ ; 3.a Gρ = ρ a et E p,efρ = m a ρ + 1 mc ac 1/4 ρ ; 3.b ρ m = ; 4 ɛ + ω0 ɛ = 0 T = π a = π 1 + 4ρ m ω 0 8 a scillateur harmonique en réime libre M4 E-M4.1 scillateur harmonique spatial Une particule M de masse m décrit la trajectoire elliptique de demi aes a et b, de centre et d équation M = r = acos ωt e + b sinωt e y avec e et e y base orthonormée attachée en. 1 Montrer que la force F aissant sur M dérive d une énerie potentielle E p à déterminer en fonction de m, r et ω. Quel est le travail de F entre M 1 M 1 = r 1 et M M = r? En ωt = 0, M est en A ; en ωt = π, M est en B. Calculer E ka en fonction de a et b. E k B Vérifier le théorème de l énerie cinétique entre A et B. 3 Vérifier que l énerie mécanique se conserve. Indiquer les positions de M où E k = E p. Rép : 1 F = mω r avec r = M ; E p = 1 mω r ; W M1 M F = 1 mω r1 r ; E ka b E k B = ; 3 ωt = π π ] a 4[ http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ 19

13 Eercices de Mécanique E-M4. Ressort incliné Soit un ressort de raideur k et de lonueur à vide l 0, dont les y etrémités sont reliées à un point fie d un plan incliné et à un point matériel M de masse m. Nous posons M = et nous supposons qu il n eiste pas de frottements de lissement sur le plan incliné. M e 1 Déterminer e à l équilibre. À partir de la position d équilibre, M est déplacé de D et relâché sans vitesse initiale. Eprimer en fonction de t. α m sinα Rép : 1 e = l 0 + ; t = e + D cos ω 0 t k avec ω 0 = E-M4.3 Deu oscillateurs Une masse m est susceptible de se déplacer sans frottements sur un ae horizontal. Elle est soumise à l action de ressorts de même lonueur à vide l 0 = 0 cm et de constantes de raideur différentes k 1 et k. Mm k 1 k d k m. n donne : m = 4 k ; k 1 = 100 N.m 1 ; k = 300 N.m 1 et d = 60 cm. 1 Déterminer les lonueurs des ressorts à l équilibre. n écarte la masse m d une distance a 0 à partir de sa position d équilibre. Déterminer l équation différentielle du mouvement en prenant la position d équilibre comme oriine des abscisses. Calculer la périodes des oscillations. Donner l epression de l énerie mécanique de la masse. 3 Les ressorts sont tendus le lon d un plan incliné de α = 30 avec l horizontale Mêmes questions. Rép : l 1 = k 1 k l 0 + k d = 35 cm et l = d l 1 = 5 cm; Ẍ + k 1 + k k 1 k m X = 0 avec m T = π et E m = 1 k 1 + k k 1 + k a 0 ; 3 l 1 = k 1 k l 0 + k d m sinα = 34, 95 cm et k 1 k l = d l 1 = 5, 05 cm; pour le reste, les résultats sont identiques à la situation précédente! E-M4.4 Portrait de phase d un oscillateur harmonique amorti n considère le portrait de phase d un oscillateur amorti composé d une masse m = 500 soumise à une force de rappel élastique ressort de raideur k et à une force de frottement fluide λ v v étant la vitesse de la masse m et est l écart à la position d équilibre. L étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé aliléen. 1 Déterminer la nature du réime de l oscillateur. Déterminer par lecture raphique : la valeur initiale de la position 0 ; la valeur finale de la position f ; la pseudo-période T a ; le décrément loarithmique. 3 En déduire le facteur de qualité Q de l oscillateur, sa période propre ω 0, la raideur k du ressort et le cœfficient de frottement fluide λ. Applications numériques pour ces quatre randeurs. Rép : δ = ln k1 d Mm t t + T a : choisir la date t qui permet de déterminer à la fois t et t+t a, 0 http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ α k

14 Eercices de Mécanique π δ 0, 68 ; 3 Q = δ ; k s eprime en fonction de m et de ω 0 ; λ s eprime en fonction de m, ω 0 et de Q. E-M4.5 scillateur amorti n considère un oscillateur harmonique amorti de pulsation propre ω 0 = 100 rad.s 1 et de facteur de qualité Q = 10 ; la masse m = 100 de cet oscillateur est lâchée avec un écart à la position d équilibre de 0 = 10 cm sans vitesse initiale. 1 Calculer : a la pseudo-période ; b le décrément loarithmique ; c l amplitude des oscillations au bout de, 5 et 10 pseudo-périodes; d l énerie mécanique initiale ; e l énerie mécanique au bout de, 5 et 10 pseudo-périodes. Déterminer le nombre de pseudo-périodes au bout desquelles l amplitude des oscillations est divisées par 17. Rép : 1.a T 6, 9 ms; 1.b δ 0, 314 ; 1.c 5, 34 cm, 5, 08 cm, 10 0, 43 cm; 1.d E m t = 0 = 5 J ; 1.e E m t = T 1, 4 J, E m t = 5T 0, J, E m t = 10T 0, 01 J ; n = 9. E-M4.6 Sismoraphe on considère un capteur d amplitude constitué par un support et une masse m reliés par un ressort et un amortisseur en parallèle. L amortisseur eerce en A : F A = h v A v B et le ressort eerce en C : T C = k DC D 0 C 0. Le support, le ressort et l amortisseur sont de masse nélieable. Le ressort a pour constante de raideur k et pour lonueur à vide l 0 notée D 0 C 0. n suppose que le support est solidaire du carter d une machine animée d un mouvement sinusoïdal vertical 1 = b sinωt par rapport à un référentiel aliléen R 0 y étant lié à R 0. 1 Déterminer l équation que vérifie e position de la masse à l équilibre dans R 0 lorsque 1 = 0. Écrire l équation différentielle du mouvement de m dans R 0. Si on pose X = 1 e, montrer que l équation peut se mettre sous la forme : Ẍ + ω 0 Q Ẋ + ω 0X = A sinωt. Résoudre cette équation. Rque : ceci est le principe du sismoraphe. carter E-M4.7 Système de deu oscillateurs couplés * n considère le système suivant où les rois ressorts sont identiques et de constante de raideurs k. Les positions m m des masses m sont repérées par leurs abscisses 1 et à partir des positions d équilibre 1 et, positions pour lesquelles les ressorts ne sont pas tendus ils sont 1 1 alors àu repos. n suppose qu on lâche les masses au abscisses 1m et m sans vitesse initiale. 1 Écrire les équations différentielles du mouvement des deu masses. e t k D C t En posant ω0 = k, chercher à quelle condition portant sur ω il est possible d avoir des m solutions de la forme : 1 = a 1 cosωt + ϕ et = a cosωt + ϕ? 3 En déduire les deu pulsations propres possibles pour le système et écrire la solution énérale du mouvement des deu masses. 4 Quelles sont les solutions 1 tet t du problème? En déduire les conditions sur 1m et m pour que les mouvements des deu masses soient harmoniques et décrire ces mouvements. http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/ 1 G B A h 1 a y

15 Eercices de Mécanique Rép : 1 mẍ 1 +k 1 = k et mẍ +k = k 1 ; ω0 ω = ω0 4 ; 3 ω = ω 0 ou ω = 3ω 0 ; 4 1 t = 1m + m cosω 0 t + 1m m cos 3ω 0 t et t = 1m + m cosω 0 t 1m m cos 3ω 0 t Pour que les mouvements soient harmoniques, soit 1m = m, soit 1m = m. E-M4.8 Ressort vertical soumis à des forces de frottements fluide * Une sphère de rayon r faible, animée d une vitesse v et plonée dans un liquide de cœfficient de viscosité η est soumise à une force de frottement qui a pour epression : f = 6π.η.r. v loi de Stockes. Unje telle sphère de masse volumique ρ est suspendue à un ressort de constante de raideur k et de lonueur à vide l 0. La période des oscillations libres dans l air est T 0 on nélie le frottement et la M e poussée d Archimède dans l air. Si l on plone cette sphère dans un liquide de masse volumique ρ e < ρ, la pseudo-période des oscillations est T dans ce cas, on ne nélie ni le frottement ni la poussée d Archimède dûs au liquide sur la sphère. 1 Retrouver l epression de la période T 0 en fonction des randeurs k, ρ et r. Lorsque la sphère est plonée dans le liquide, déterminer la lonueur e du ressort à l équilibre. 3 n écarte la sphère de sa position à l équilibre et on l abandonne sans vitesse initiale. Soit la lonueur du ressort à la date t. Donner l équation différentielle vérifiée par, puis la simplifier en posant X = e. 4 À quelle condition sur k le réime est-il pseudo-sinusoïdal? En déduire alors la pseudo-période T 1. 5 Montrer comment, à partir de la mesure de T 0 et de T 1, et sans connaître k, on peut en déduire le cœfficient de viscosité η du liquide. Donner la dimension de η. πr 3 ρ Rép : 1 T 0 = 4π 3k ; e = l πr 3 3 k ρ ρ e; 3 Ẍ + 9η r ρẋ + 4π 4 T 1 = ; 5 η = 8πr ρ 1 3k πr 3 ρ 81η 9 T 1 0 T1 4r 4 ρ 3k 4πr 3 ρ X = 0 ; E-M4.9 scillateur harmonique spatial isotrope Il s ait d une particule M, de masse m, élastiquement liée à un point fie oriine d un référentiel aliléen R, e, e y, e z par une force F du type F = k M, k étant la constante de raideur. Le mouvement de M a lieu dans le plan y, avec les conditions initiales suivantes : M 0 = 0 e et v0 = v 0 ey 1 n nélie tout frottement de type fluide et on pose ω 0 k m. Quelles sont les équations paramétriques de la trajectoire du point M? En déduire l équation cartésienne de cette trajectoire et représenter l allure de cette trajectoire en précisant le sens de parcours. n ne nélie plus le frottement fluide eercé sur le point M au cours du mouvement. À présent, le point M est soumis à l action des forces F = k M et f = α v, α étant le cœfficient de frottement. n suppose toujours que M 0 = 0 e et v 0 = v 0 ey. Le point M se déplace dans le plan y. Déterminer la loi de variation du vecteur position Mt dans le cas où α = mω 0. Représenter l allure de cette trajectoire en précisant le sens de parcours. http ://pcsi-unautrereard.over-blo.com/

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