Fonctions logarithme décimal

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1 CHAPITRE 6 Fonctions logarithme décimal Échauffez-vous! a) Complétez par l eposant positif ou nul. = ; = ; = 7. b) Complétez par l eposant négatif., = ;, = 2 ;, = 7. c) Cochez les cases correspondant à la réponse eacte. 3 est égal à :,, 5 est égal à :,, d) Entourez la réponse eacte. ^ : ^ 3 : Vocabulaire Puissances de n étant un nombre entier strictement positif : n zéros n n zéros n 2 a) Raez les encadrés ineacts. le /. est / I. b) f f. Complétez le tableau de valeurs,5,5 f (),,3 3,2 c) Tracez ci-contre la courbe représentative de f 2 a) et b)

2 Fonction logarithme décimal. Découvrir la fonction 3 >, =. 3 P,. P et >, = =. Activité. Cochez la case correspondant à la réponse eacte. a) est égal à : b) a a a est égal à : c) a) et b) a a 2. Complétez. a) = 7,8. b) a a a = log(7,8). c) a) et b) 7,8 a a 3. Complétez. a) 4 4. b) 2,5. c) = 3 3 = 3. d), = log( ) =. 8 75

3 2. Connaître la courbe et le sens de variation de la fonction log = 3 = = 2 M M = log() Activité 2. Placez sur la figure de l encadré le point M(2 ; log(2)) de la courbe en violet et le point M (log(2) ; 2) de la courbe en rouge. 2. Raez les encadrés ineacts. a) M est / M =. b) / / c) / / I 3. Comment tracer la courbe représentative de la fonction logarithme décimal, sur un intervalle donné? Méthode Étape Étape 2 Étape 3 Tracez la courbe représentative de la fonction log sur l intervalle [, ; ]. Solution Étape croissante croissante. Étape 2,,4 3 5 log(),7,4,2,3,5,7,8,9 Étape CHAPITRE 6 FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL 8

4 2 Propriétés algébriques de la fonction log. Connaître les propriétés a et b n ab a b. a b = a b b = b a n n a n n n Activité. Reliez chacun des nombres de gauche au nombre de droite qui lui est égal Complétez en utilisant l un des signes «=» ou. = = = 3 = 3. Raez les encadrés ineacts. a) 3 / 5 3 / /. b) 5 / / /. c) / / /. 4. a) Calculez, sans calculatrice, chacun des nombres suivants (pensez au puissances de ). 2 3 ; 2 3. b),,, De façon analogue, marquez en rouge cinq autres nombres au-dessus de la droite

5 2. Comment eploiter une droite tracée sur papier semi-logarithmique? Méthode 2 4. b) f I. Étape a et b I, f a b. f( q ) Étape 2 f p f q p et q p et q I. Étape 3 f( p ) a et b p q Étape 4 a et b f a b. f I Déterminez une epression de f (), sur l intervalle I. Solution Étape a et b I, f a b. Étape 2 f 2 et f 8. a b = 2 Étape 3, a b = 8 a b = 2. 3a b = 8 b a b = 2 a. e 3a 2 a 8, 2a = 6, a = 3. a b =. Étape 4 f = CHAPITRE 6 FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL 83

6 Eercices et problèmes a) log(2),3. b) log(,5),3. c) log() 2,. 2 a) log(,896). b) log(,8),3. c) log(4),. 3 a) log(2 567) 3,4. b) log(7),8. c) 64 log(3) 3,5. 4 a) log( 2 ) = 2. b) log( 7 ) = 7. c) log( 5,3 ) = 5,3. 5 a) log( 6,2 ) = 6,2. b) log(,23 ) =,23. c) log( ) =. 6 a) log() =. b) log() = log( 2 ) = 2. c) log( ) = log( 3 ) = 3. 7 a) log(,) = log( ) =. b) log(,) = log( 2 ) = 2. c) log(,) = log( 3 ) = 3. 8 a) log(35) = log(5 7) = log(5) + log(7). b) log 5 = log(5) log(7). 7 c) log 5 log = log(5) ( log(7)) = log(5) + log(7). 7 2 a) log(5,9 ) =,9 log(5). b) log(5) = log(5 ) = log(5) + log() = log(5) +. c) log(25) = log(5 2 ) = 2 log(5). 3 a) log(2) = log(2 ) = log(2) + log() = log(2) +. b) log(2) = log(2 ) = log(2) + log() = log(2) + log( 2 ) = log(2) + 2. c) log(2 ) = log(2 ) = log(2) + log( ) = log(2) + log( 3 ) = log(2) a) log(,3) = log(3,) = log(3) + log(,) = log(3) + log( ) = log(3). b) log(,3) = log(3,) = log(3) + log(,) = log(3) + log( 2 ) = log(3) 2. c) log(,3) = log(3,) = log(3) + log(,) = log(3) + log( 3 ) = log(3) 3. 5 a) log(4) = log(2 2 ) = log(2 2 ) + log() = 2 log(2) +. b) log(,8) = log(2 3,) = log(2 3 3 ) = log(2 3 ) + log( 3 ) = 3 log(2) 3. c) log(,6) = log(6,) = log(2 4 ) = log(2 4 ) + log( ) = 4 log(2). 6. La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ] ; + [, donc la fonction f est strictement croissante sur [,5 ; 5]. 2.,5 9 a) log(2 5 ) = 5 log(2). b) 2 log(8) = 2 log(2 3 ) = 6 log(2). c) log(4) log(2) = log 4 2 = log(2)., a) 4 log(7) log(49) = 4 log(7) log(7 2 ) = 4 log(7) 2 log(7) = 2 log(7). b) log(7 6 ) + 3 log(7) = 6 log(7) + 3 log(7) = 9 log(7). a) log(8) = log(3 2 2) = log(3 2 ) + log(2) = 2 log(3) + log(2). b) log(2) = log(2 2 3) = log(2 2 ) + log(3) = 2 log(2) + log(3). c) log 2 = (log(2) log(3)) = log(2) + log(3) La fonction logarithme décimal est strictement [, ; 3]. Lorsqu on ajoute un réel à une fonction, on obtient une fonction aant le même sens de variation que la précédente. On en déduit ici que f est strictement croissante sur [, ; 3]. 2. a) et b) On vérifie que la fonction f est strictement croissante sur [, ; 3]. 79 CHAPITRE 6 FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL 79

7 8. La fonction logarithme décimal est strictement [, ; 3]. Lorsqu on multiplie une fonction par un réel positif, on obtient une fonction aant le même sens de variation que la précédente. On en déduit, ici, que f est strictement croissante sur [, ; 3]. 2. a) et b) On vérifie que la fonction f est strictement croissante sur [, ; 3]. 9. La fonction logarithme décimal est strictement [,5 ; 6]. Lorsqu on multiplie une fonction par un réel négatif, on obtient une fonction de sens de variation contraire à celui de la précédente. On en déduit, ici, que f est strictement décroissante sur [,5 ; 6]. 2. a) et b) On vérifie que la fonction f est strictement décroissante sur [,5 ; 6]. 2. La fonction logarithme décimal est strictement [,3 ; 4]. En multipliant par 3 la fonction logarithme décimal, on obtient une fonction strictement décroissante sur [,3 ; 4]. En ajoutant 2 à la précédente fonction, on obtient la fonction f qui a le même sens de variation, c est-à-dire qui est strictement décroissante sur [,3 ; 4]. 2. c est- à- dire b = 2 2a + b = 4, soit b = 2 a = 4 b 2 = 3. Ainsi f() = 3 log() La fonction logarithme décimal est strictement [2 ; 5]. On a obtenu f en multipliant la fonction logarithme décimal par le nombre positif 2, donc f a le même sens de variation sur [2 ; 5]. f est donc strictement croissante sur [2 ; 5]. On a obtenu g en multipliant la fonction logarithme décimal par le nombre négatif,5, donc g a un sens de variation contraire à celui de la fonction logarithme décimal. g est donc strictement décroissante sur [2 ; 5] ,5 4 4,5 5 f (),6,8,,2,3,4 3. g(),2,2,2,3,3,3,3 2 f g, C est une graduation logarithmique On lit sur le graphique que f() = 4 et f() =. On en déduit le sstème a log() + b = 4 a log() + b =, c est- à- dire b = 4 2a + b =, soit a = 2 b = 2. b = 4 Ainsi f() = 2 log() On lit sur le graphique que f() = 2 et f() = 4. On en déduit le sstème a log() + b = 2 a log() + b = 4, 25. La fonction logarithme décimal est strictement [, ; 2]. On a obtenu f en multipliant la fonction logarithme décimal par le nombre négatif, donc f a un sens de variation contraire à celui de la fonction logarithme décimal. f est donc strictement décroissante sur [, ; 2]. 2.,,5,5 log(),6,3,,2,3 3. f () 6 3,2,8 3 2 log f 8

8 26. On lit sur le graphique que le point d abscisse a pour ordonnée et que le point d abscisse a pour ordonnée f() = et f() = 2. On en déduit le sstème a log() + b = a log() + b = 2, c est- à- dire a + b = 2a + b = 2. On obtient b = a et 2a a = 2, d où a = et b = + =. Ainsi f() = log(). 27. On lit sur le graphique, que le point d abscisse, a pour ordonnée 3 et que le point d abscisse a pour ordonnée., f(,) = 3 et f() =. On en déduit le sstème a log(,) + b = 3 a log() + b =, c est- à- dire a + b = 3. a + b = On obtient b = 3 + a et a 3 + a =, d où 2a = 4, soit a = 2 et b = 3 + a = =. Ainsi f() = 2 log. 28. a) La fonction logarithme décimal est strictement [,2 ; ]. La fonction f est obtenue en multipliant la fonction logarithme décimal par le nombre négatif 8 3, donc f a un sens de variation contraire à celui de la fonction logarithme décimal. f est donc strictement décroissante sur [,2 ; ]. b),2 f () 8 3log(2) 2. a) f(,25) = 8 3 log(,25) 5. b) On vérifie graphiquement ce résultat. 29. M = log 3,6 8 A A = log(3,6 8 ) 8,5. 2. a) M = log 3,6 7 A A = log(3,6 7 ) 7,5. b) La magnitude du premier séisme au second diminue de log(3,6 8 ) log(3,6 7 ), 3,6 8 soit de log 3,6 7 = log() =. 3. a) b) Non, car les points ne forment pas un alignement. 2. a) b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont pratiquement alignés. 3. a) B() = 2 et B( ) = 6, d où le sstème a log() + b = 2 a log( ) + b = 6 c est- à- dire a + b = 2 3a + b = 6. On obtient b = 2 a et 3a + 2 a = 6, d où 2a = 4, soit a = 2 et b = 2 2 =. Ainsi, B() = 2 log(). b) B(6) = 2 log(6) 5 6. B(2 ) = 2 log(2 ) CHAPITRE 6 FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL 8

9 COMME À L ÉCRAN Graduations logarithmiques avec un tableur. 2. f 3. a et b f a b a) f f a = 3 et b f 3 log() + 9 = = 6 ; f 3 log() + 9 = = 3. f f a = 5 et b =. f 5 log() + = 5 + = 6 ; f 5log() + = + =. b) f = f =

10 Évaluation Nom Prénom Classe Date Eercice 5 points. a) ; b) a) 5 5 log(7) ; b) = log(7) ; c) log(7 3 ) = log(7) + log( 3 ) = log(7) + 3. Eercice 2 5 points f f. f La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ] ; + [, donc f est strictement croissante sur [, ;4]. 2. f., 3 4 f,2,5,6,8,6,4,2,2,4,6,8,2,4,6,8,2,4,6,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3, CHAPITRE 6 FONCTION 5 FONCTIONS LOGARITHME EXPONENTIELLES DÉCIMAL 83 89

11 Eercice 3 points L R. R (en m) 4 4 L (en db) a) R; L L b) a et b tels R ; L L = a R b. a et b a log() + b = 89 b = 89 On a le sstème a log() + b = 69, c est-à-dire a + b = 69, d où a = = 2 et b = 89. Ainsi L = 2 log(r) R c) L R Pour R = 5 m, L = 2 log(5) db. Pour R = 3 m, L = 2 log(3) db. 2. f f a) f. c)? B5 et B3. b) f. c) 65. c). 9 84