Règle de Cramer Algèbre linéaire I MATH 1057 F

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1 Règle de Cramer Algèbre linéaire I MATH 1057 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 15 février 2011

2 Règle de Cramer Une nouvelle méthode pour résoudre Ax = b (réduction par rapport aux lignes de la matrice [A b]) Règle de Cramer Une nouvelle méthode pour inverser une matrice (réduction par rapport aux lignes de la matrice [A I]) Matrice adjointe Une application géométrique de l inverse Effet sur les aires/volumes d une transformation linéaire.

3 Règle de Cramer (p. 201) Notons A i (b) la matrice obtenue en remplaçant dans une matrice A(n,n) la ième colonne par un vecteur b quelconque de IR n : A i (b) = [ a 1 a i 1 b a i+1 a n ]. Exemple : Si la matrice A et le vecteur b sont A = et b = , alors A 1 (b) = ,A 2 (b) = ,A 3 (b) =

4 Règle de Cramer (p. 201) Avec la notation A i (b) = [ a 1 a i 1 b a i+1 a n ]. Théorème (7) Soit A une matrice inversible de taille n n. Quel que soit b élément de IR n, les composantes de l unique solution x de Ax = b sont données par x i = det A i(b) det A, i = 1,2,...,n.

5 Exemple de la règle de Cramer (exe 2, p. 209) Si la matrice A et le vecteur b sont [ ] 4 1 A = et b = 5 2 alors A 1 (b) = [ [ 6 7 ], ] [ 4 6,A 2 (b) = 5 7 On a que deta = 3, det A 1 (b) = 5 et det A 2 (b) = 2. Et donc ]. x 1 = det A 1(b) det A = 5 3 et x 2 = det A 2(b) det A = 2 3.

6 Exemple de la règle de Cramer (exe 5, p. 209) Si la matrice A et le vecteur b sont A = et b = 8, alors A 1 (b)= 8 0 1,A 2 (b)= 3 8 1,A 3 (b)= On a que deta = 4, det A 1 (b) = 6, det A 2 (b) = 16 et det A 3 (b) = 14. Donc x 1 = det A 1(b) det A x 3 = det A 3(b) det A = 6 4 = 3 2, x 2 = det A 2(b) det A = 14 4 = 7 2. = 16 4 = 4 et

7 Démonstration de la règle de Cramer (p. 202) Démonstration. Si les colonnes de A sont notées a 1,..., a n et les colonnes de I, e 1,..., e n, la multiplication matricielle, par définition, permet d écrire I i (x) = [e 1 x e n ] A I i (x) = [Ae 1 Ax Ae n ] = [a 1 b a n ] = A i (b). Par la règle du déterminant d un produit, on a que det A i (b) = det (A I i (x)) = (det A)(det I i (x)). Or det I i (x) = x i. Sachant que A est inversible, alors det A 0, et on peut diviser par det A pour obtenir x i = det A i(b) det A.

8 Matrice ajointe (p. 203) Définition Soit A une matrice de taille n n et soit C ij = ( 1) i+j A ij le cofacteur de a ij. La matrice dont les éléments (i,j) sont C ij est appelée matrice des cofacteurs de A. La transposée de cette matrice est appelée l adjointe de A et est notée adj(a). C 11 C 12 C 1n C 11 C 21 C n1 C 21 C 22 C 2n C 12 C 22 C n C n1 C n2 C nn C 1n C 2n C nn matrice des cofacteurs matrice adjointe

9 Formule de l inverse (p. 203) Théorème Soit A une matrice inversible de taille n n. Alors, Corollaire A 1 = 1 det A adja. A (adja) = (adj A)A = (det A)I. Preuve du corollaire : On multiplie à gauche, (resp. à droite) l égalité du théorème par A. A A 1 = 1 det A A(adjA) A 1 A = 1 det A (adja)a

10 Exemple de l inverse Soit A = [ a b c d ]. La matrice des cofacteurs de A est donnée par [ ] [ C11 C 12 ( 1) = 1+1 det A 11 ( 1) 1+2 ] [ det A 12 C 21 C 22 ( 1) 2+1 det A 21 ( 1) 2+2 = det A 22 d b c a ]. La matrice adjointe est la transposée de la matrice des cofacteurs, et donc [ ] d b adj(a) =. c a Finalement, la matrice inverse A 1 est donnée par A 1 = 1 [ det A adj(a) = 1 d b ad bc c a ].

11 Exemple de l inverse (Exe 12, p. 210) Calculez l inverse de la matrice A = C 11 = ( 1) 1+1 det A 11 = = 1 C 12 = ( 1) 1+2 det A 12 = = 0 C 13 = ( 1) 1+3 det A 13 = = 2 C 21 = ( 1) 2+1 det A 21 = = 3 C 22 = ( 1) 2+2 det A 22 = = 0

12 Exemple de l inverse (Exe 12, p. 210) (suite) C 23 = ( 1) 2+3 det A 23 = = 1 C 31 = ( 1) 3+1 det A 31 = = 7 C 32 = ( 1) 3+2 det A 32 = = 5 C 33 = ( 1) 3+3 det A 33 = = 4 La matrice des cofacteurs est donc C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 = C 31 C 32 C

13 Exemple de l inverse (Exe 12, p. 210) (suite) La matrice adjointe de A est la transposée de la matrice des cofacteurs T adja = = Le déterminant de A peut être calculé avec A (adj A) = (det A)I = = 5I, D où det A = 5. Finalement, l inverse de A est A 1 = (1/det A)adjA A 1 = /5 3/5 7/ = /5 1/5 4/5

14 Aire et volume (p. 205) Théorème (9) Si A est une matrice carrée d ordre 2, l aire du parallélogramme déterminé par les colonnes de A est égale à det A. Si A est une matrice carrée d ordre 3, le volume du parallélépipède déterminé par les colonnes de A est égal à det A.

15 Aire et volume Exemples : [ ] [ a 0 a c A = B = 0 b 0 b a 0 0 C = 0 b c ]

16 Aire et volume d une transformation (p. 207) Théorème (10) Soit T : IR 2 IR 2 une transformation linéaire déterminée par une matrice A de taille 2 2. Si S est un parallélogramme de IR 2, alors {aire de T(S)} = det A {aire de S}. Soit T : IR 3 IR 3 une transformation linéaire déterminée par une matrice A de taille 3 3. Si S est un parallélépipède de IR 3, alors Corollaire {volume de T(S)} = det A {volume de S}. Le théorème 10 reste valable lorsque S est une région de IR 2 d aire finie ou une région de IR 3 de volume fini.

17 Exemple d une transformation Soit la transformatioon linéaire T qui transforme la figure de gauche en la figure de droite. T x x x x 1 1 La matrice A de cette transformation linéaire T est donnée par A = [ T(e 1 ) T(e 2 ) ] [ ] 0 1 =. 1/2 0 1 Le déterminant de A est 1/2 et sa valeur absolue est 1/2.

18 À retenir Résoudre Ax = b par la règle de Cramer. x i = det A i(b) det A, i = 1,2,...,n. (exemples 1 et 2, ex. 1 à 10) Définition et calcul de la matrice adjointe (exemple 3, ex. 11 à 16). Calcul du déterminant à partir de la matrice adjointe (idem). Inversion de matrice en utilisant la matrice adjointe (idem). A 1 = 1 det A adja. Aire d un parallélogramme, volume d un parallélipipède. Effet sur l aire (et le volume) d une transformation linéaire.