Jacques PRADO - Gérard BLANCHET

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1 METHODES NUMERIQUES POUR LE TRAITEMENT DU SIGNAL Exemples et Programmes Jacques PRADO - Gérard BLANCHET

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3 Table des matières Introduction Chapitre I Echantillonnage - Numérisation I-1. Formule de Poisson I-2. Théorème d'échantillonnage I-3. Conversion analogique numérique I-3-1. Principe de la quantification I-3-2. Convertisseur linéaire I-3-3. Convertisseur logarithmique I-3-4. Bruit de quantification I-3-5. Simulation de la troncature I-3-6. Simulation de l'arrondi I-3-7. Codage/décodage selon la loi A I-3-8. Remarques Conversion numérique La loi A I-4. Génération de signaux déterministes I-4-1. Créneau I-4-2. Signal carré I-4-3. Dent de scie I-4-4. Sinusoïde I-4-5. Somme de sinusoïdes I-5. Générateurs de bruit I-5-1. Code cyclique I-5-2. Bruit à répartition uniforme d'amplitude I-5-3. Bruit à répartition gaussienne d'amplitude I-5-4. Génération de séquences aléatoires Chapitre II Représentation par la transformée en z II-1. Introduction II-1-1. Définitions II-1-2. Lien avec l'échantillonnage II-1-3. Exemples de transformées en z II-1-4. Domaine de convergence et définition temporelle Signal limité en temps Signal à droite Signal à gauche Signal bilatéral II-2. Propriétés élémentaires II-2-1. Propriétés associées aux suites II-2-2. Propriétés associées aux fonctions échantillonnées II-3. Inversion II-3-1. Introduction II-3-2. Cas particulier des fractions rationnelles II-4. Application aux systèmes linéaires invariants... 52

4 II-4-1. Equation récurrente II-4-2. Convolution discrète - Fonction de transfert II-4-3. Evaluation de la sortie du filtre II-5. Analyse harmonique II-5-1. Réponse en fréquence II-5-2. Représentation par pôles et zéros II-5-3. Notion de stabilité Chapitre III Transformée de Fourier discrète III-1. Transformée de Fourier à temps discret III-1-1. Définition III-1-2. Propriétés de la TFTD III-2. Transformée de Fourier discrète (TFD) III-2-1. Définition III-2-2. Propriétés III-2-3. Relation avec la transformée en z III-3. Utilisation pratique de la TFD III-3-1. Signal de période connue III-3-2. Signal de période inconnue III-3-3. Signal non périodique III-3-4. Signal pondéré III-4. Fenêtres de pondération III-4-1. Fenêtre rectangulaire III-4-2. Fenêtre triangulaire III-4-3. Fenêtre de Hann III-4-4. Fenêtre de Hamming généralisée III-4-5. Fenêtre de Blackmann III-4-6. Fenêtre de Kaiser-Bessel III-5. Introduction aux méthodes de calcul de la TFD III-5-1. La TFD récursive III-5-2. La TFD rapide ou TFR Chapitre IV Filtrage R.I.I IV-1. Cellules du premier et second ordre IV-1-1. Représentations temporelles Cellule du premier ordre Cellule du second ordre générale IV-1-2. Représentations fréquentielles Cellule du premier ordre Cellule du second ordre générale IV-2. Méthodes de synthèse IV-2-1. Gabarit d'un filtre IV-2-2. Invariant impulsionnel Synthèse du filtre Autres types d'invariants Remarque sur les retards purs IV-2-3. Transformation bilinéaire Filtres de Butterworth Filtres de Chebyshev de type I Note sur le calcul des filtres de Chebyshev

5 IV-3. Transformations de filtres IV-3-1. Transformations continues IV-3-2. Transformations numériques IV-3-3. Transformation polynômiale Chapitre V Filtrage R.I.F V-1. Propriétés particulières V-1-1. Filtres à phase linéaire Contrainte de type Contrainte de type Position des zéros V-1-2. Filtres à minimum de phase Premère méthode Deuxième méthode V-2. Méthode de synthèse élémentaire V-2-1. Principe de calcul V-2-2. Méthode de Kaiser V-3. Exemples V-3-1. Fenêtre rectangulaire V-3-2. Fenêtre triangulaire V-3-3. Fenêtre de Hann V-3-4. Fenêtre de Hamming V-3-5. Fenêtre de Blackmann V-3-6. Fenêtre de Kaiser Chapitre VI Structure des filtres VI-1. Caractérisation du bruit de calcul VI-1-1. Bruit de calcul dans un premier ordre VI-1-2. Bruit de calcul dans un second ordre VI-2. Bruit de calcul dans un filtre VI-2-1. Schéma général VI-2-2. Calcul des facteurs d'échelle VI-3. Bruit de quantification des cœfficients VI-3-1. Sensibilité à la quantification VI-3-2. Structure directe VI-3-3. Structure couplée VI-3-4. Structure passe-tout VI-4. Structure treillis VI-5. Exemple Chapitre VII Compléments sur la TFD VII-1. Représentations entières à bases multiples VII-1-1. Algorithme base VII-1-2. Algorithme base VII-2. Décomposition de Good VII-2-1. Correspondance Ruritanienne (CR) VII-2-2. Théorème du reste Chinois (TRC) VII-2-3. Algorithmes en facteurs premiers VII-2-4. Algorithme de Winograd

6 Annexes Table de transformées en Z monolatérales Le critère de Routh Calcul des racines d'un polynôme Principe Calcul d'une racine Calcul de toutes les racines Exemple d'utilisation Remarques Eléments d'estimation spectrale Introduction Méthode de Levinson Programmes divers Structures utilisées Programmes Liste des figures Liste des programmes Bibliographie Index

7 Table of Contents Introduction Chapitre I Sampling - Quantization I-1. Poisson's Formula I-2. Sampling Theorem I-3. Analog-Digital Conversion I-4. Basic Digital Signal Generation I-5. Noise Generators Chapitre II z-transform Representation II-1. Introduction II-2. Properties II-3. Inversion II-4. Linear, Time-Invariant Systems II-5. Frequency-Domain Analysis Chapitre III Discrete Fourier Transform III-1. Discrete Time Fourier Transform III-2. Discrete Fourier Transform (DFT) III-3. Application of the DFT III-4. Weighting Windows III-5. Introduction to the DFT Computation Chapitre IV I.I.R. Filtering IV-1. First and Second Order Cells IV-2. Design Technique IV-3. Filter Transformation Chapitre V F.I.R. Filtering V-1. Properties V-2. Design Technique V-3. Examples Chapitre VI Digital Filters Structure VI-1. Computation Noise Characterization VI-2. Computation Noise in a Filter VI-3. Cœfficients Quantization Noise VI-4. Lattice Structure VI-5. Example Chapitre VII About the FFT Computation VII-1. Multiple Basis Integer Representation VII-2. Good's Decomposition Appendices

8 1. Table of one-sided z-transforms Routh's Criterion Polynomial Roots Computation Spectral Estimation Some Computer Programs List of figures List of Programs Bibliography Index

9 Introduction Quoique déjà ancienne, l'idée de traiter numériquement le signal n'a vu son véritable essor que dans les dernières décades. Cette évolution est liée au développement de l'électronique et des techniques d'intégration, développement qui a permis la mise en œuvre, à moindre coût, de techniques numériques. La première tentative d'exposé concernant la théorie du traitement numérique du signal se trouve dans l'ouvrage de B.Gold et C.M.Rader (1) paru en Cette parution fut suivie quelques années plus tard de traités plus appliqués tels que les ouvrages de B.Gold et L.R.Rabiner (2) et celui de A.V.Oppenheim et R.W.Shafer (3). Les techniques de base mises en œuvre dans le traitement numérique du signal sont le filtrage et l'analyse spectrale. Par filtrage, nous entendons filtrage linéaire invariant, c'est-à-dire la manipulation de combinaisons linéaires d'échantillons, et, par analyse spectrale, l'utilisation de la transformée de Fourier discrète associée à la notion de représentation spectrale non paramétrique. Les notions plus évoluées telles que filtrage adaptatif, modélisation, estimation ou analyse spectrale paramétrique ne seront pas abordées ici. Il n'est point besoin d'insister sur l'importance des techniques numériques, en raison de leur répétabilité parfaite et de la précision que l'on peut en attendre. Elles présentent en effet des avantages considérables par rapport aux techniques analogiques soumises à des dérives de toutes sortes, température, vieillissement des composants, et à la précision limitée que l'on peut avoir sur les valeurs des composants utilisés. Notre propos est ici de profiter de la puissance acquise par les micro-ordinateurs pour mettre en œuvre ces techniques à un coût raisonnable. A cette fin, nous exposerons les principes théoriques associés à chaque traitement de base, tels que génération du signal, synthèse et implantation de filtres, calcul de transformées de Fourier, etc en nous limitant au minimum nécessaire à la compréhension et à l'élaboration d'un programme qui permette de traiter et d'appréhender chaque notion nouvelle. Les développements théoriques plus rigoureux seront trouvés dans les références fournies. Le chapitre I traite des problèmes liés à la constitution des suites de nombres {e n } à traiter. Celles-ci sont le plus souvent issues de signaux continus dont on prélève la valeur à des instants régulièrement espacés : cette opération est l'échantillonnage. Le 1 [B.Gold, C.M.Rader "Digital Signal Processing" Mac Graw Hill / New York 1969] 2 [B.Gold, L.R.Rabiner "Theory and Application of Digital Signal Processing" Prentice Hall 1975] 3 [A.V.Oppenheim, R.W.Shafer "Digital Signal Processing" Prentice Hall 1975]

10 12 Introduction premier problème que l'on se pose est celui de la perte éventuelle d'information due à cette opération. En d'autres termes, on se pose la question : existe-t-il une fonction d'interpolation qui permette de reconstituer le signal à temps continu original à partir de la connaissance de ses échantillons et à quelles conditions cela est-il possible? C'est ce que propose le théorème d'échantillonnage. Un deuxième problème est lié à la façon d'obtenir les valeurs e n de la suite. En effet, du fait de leur manipulation sur un calculateur, les quantités numériques sont forcément codées sur un nombre fini d'éléments binaires. On parlera de quantification. Cela pose le problème du choix des codes et nécessite une étude des effets secondaires produits par cette approximation. Le chapitre II donne quelques éléments sur la transformée en z qui constitue un des outils mathématiques de base dans l'analyse du traitement des suites numériques. L'intérêt de cette transformée réside en grande partie dans la propriété qui associe un produit de convolution à un produit de transformée en z. De plus, la représentation par pôles et zéros permet une interprétation aisée du comportement fréquentiel des filtres dont on connaît la fonction de transfert en z. Le chapitre III est le pendant du chapitre II, mais dans le domaine fréquentiel. Il présente la transformée de Fourier discrète qui constitue, comme la transformée en z, un outil de base de l'analyse des signaux à temps discret. Il introduit ensuite les algorithmes rapides utilisés dans l'analyse fréquentielle des suites numériques. Les chapitres IV - filtres RII - et V - filtres RIF - exposent les éléments de base utilisés dans la synthèse des filtres. On notera à ce propos que la synthèse des filtres numériques RII peut se déduire de celle des filtres à temps continu. On y fera donc, pour chaque cas traité, des rappels sur ce type de synthèse. Le chapitre VI présente quelques notions sur la structure des filtres et leur sensibilité aux valeurs de leurs cœfficients. Ce problème apparaît dès lors que l'on doit coder ces derniers sur un calculateur. On retrouve là la notion de quantification. Il faut noter que la notion de structure doit aussi être comprise dans le sens d'algorithme et pas seulement dans le sens de structure de réalisation matérielle. Le chapitre VII constitue un complément au chapitre III. On y trouvera les principes utilisés dans la mise au point d'algorithmes rapides de calcul des transformées de Fourier discrètes. On trouvera enfin en ANNEXE un paragraphe consacré à l'estimation d'un spectre par une méthode paramétrique. Certains des résultats énoncés donnent lieu à un petit développement mathématique. Nous ne préciserons généralement pas toutes les hypothèses qui permettent d'utiliser développements en séries de Fourier, transformées de Fourier, etc des fonctions étudiées. Les cas les plus délicats seront simplement signalés lorsque cela sera utile. L'idée qui a guidé la rédaction de cet ouvrage est l'utilisation d'un micro-ordinateur pour : analyser, synthétiser, visualiser des signaux, et simuler ou mettre en œuvre l'opération de filtrage.

11 Introduction 13 Le schéma général de traitement est le suivant : L'entrée du filtre, constituée d'une suite numérique {e n }, peut être : soit engendrée par échantillonnage et conversion analogique-digitale d'un signal réel sur lequel on veut effectuer le filtrage, soit synthétisée sur le micro-ordinateur luimême. C'est le cas lorsqu'on désire analyser la réponse d'un filtre soumis à des suites particulières du type impulsion, échelon unité ou sinusoïde, Le filtrage est mis en œuvre sur le microordinateur. Les caractéristiques du filtre peuvent être fournies : à partir des coefficients des polynômes numérateur et dénominateur de la fonction de transfert, par les pôles et zéros de cette dernière, par synthèse à partir des caractéristiques temporelles ou fréquentielles que l'on attend du filtre. e(t) Echantillonnage Conversion e n e n Filtre s n Séquence synthétisée Bruitage Modulation La suite des éléments de sortie {s n } peut alors être : soit visualisée sur le micro-ordinateur (vérification ou cas de la simulation), ou restituée à travers un convertisseur digital-analogique vers l'extérieur (cas du filtrage, de la commande de processus ou de la synthèse par filtrage). Bloquage Conversion s(t) s n Visualisation L'utilisation d'un micro-ordinateur pour effectuer des opérations de filtrage en ligne - acquisition/conversion/filtrage/restitution - n'est viable que si les phénomènes mis en jeu ne sont pas trop rapides. Dans le cas où ça ne serait pas possible, la solution consiste à utiliser une carte comportant un processeur spécialisé. La simulation peut cependant continuer à être faite sur le micro-ordinateur, ainsi que la synthèse et la visualisation des caractéristiques des filtres mis en œuvre. Les programmes sont tous écrits dans le langage BASIC compilé de Microsoft. La raison en est double : d'une part les micro-ordinateurs dits compatibles IBM-PC sont maintenant dotés de ce langage qui remplace l'interpréteur GWBASIC ou BASICA. D'autre part, la conversion vers le BASIC interprété, le PASCAL, le FORTRAN ou le C est une tâche aisée à la portée de tout programmeur, même peu expérimenté. On trouvera en annexe, paragraphe 5, une note sur les types des variables utilisées.

12 CHAPITRE I Echantillonnage Numérisation Les propriétés fondamentales sur l'échantillonnage peuvent être déduites de la formule de Poisson. Celle-ci lie une suite numérique {x n } à la transformée de Fourier de la fonction, ou signal, x(t) telle que x(nt) = x n. Nous cherchons ensuite à quelles conditions il est possible de reconstituer x(t) à partir de la connaissance de ses échantillons x n : le théorème d'échantillonnage donne ces conditions qui lient la fréquence d'échantillonnage aux caractéristiques fréquentielles du signal x(t). Nous examinons ensuite les effets de la quantification des échantillons et leur codage et terminons par la génération des signaux habituellement utilisés en simulation. En première lecture, on pourra ne retenir que la formule de Poisson (I-1-2) et le commentaire qui lui est associé, ainsi que la formule d'interpolation (I-2-2) en notant, ce qui est particulièrement important, les conditions (I-2-1) dans lesquelles cette formule s'applique. I-1. Formule de Poisson On considère la fonction complexe X(f) de la variable réelle f, transformée de Fourier de la fonction du temps, réelle ou complexe, x(t). On forme la somme : σ(f) = 1 T f e est appelée fréquence d'échantillonnage. n=+ X( f nfe ) avec 1 n= T = f e La somme σ(f) étant de période f e, elle peut être développée en série de Fourier : avec : x k k=+ σ(f) = xk e 2πjkf(1/f e) k= = 1 f e 0 f e σ(f) e 2πjkf(1/f e ) df = T 0 f e σ(f) e 2πjkfT df (I-1-1)

13 16 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation Remarque : l'égalité (I-1-1) n'est valable que sous certaines conditions assez peu restrictives sur X(f). On supposera ici que cette égalité est vérifiée. On peut alors écrire : x k f e = e 2πjkfT 0 n=+ X(f nfe ) n= n=+ df = = n= f e e 2πjkfT X(f nfe ) df 0 Ce qui donne, par changement de variable : n=+ x k = n= nf e +f ee 2πjkfT X(f) df nf e Cette somme infinie d'intégrales sur des "tranches contiguës de longueur f e " revient à intégrer e 2πjkfT X(f) de à +, soit : x k = + e 2πjkfT X(f) df + On peut vérifier que x k est en fait la valeur prise par x(t) = X(f) e 2πjkt df en t = kt : x k = x(kt). On en déduit la relation fondamentale dite formule sommatoire de Poisson : 1 n=+ T k=+ X(f nfe ) = x(kt) e 2πjfkT n= k= (I-1-2) La formule sommatoire de Poisson est particulièrement importante car elle lie le spectre X(f) du signal x(t) aux valeurs que peut prendre la fonction aux instants kt. Ces derniers seront désignés par instants d'échantillonnage. Nous conviendrons ici de désigner par spectre du signal échantillonné, ou transformée de Fourier à temps discret de {x(kt)}, la somme σ(f). On la notera aussi par X * (f). Nous verrons, lors de l'étude de la transformée en z, que cette définition est cohérente avec la réponse en fréquence définie comme réponse d'un système à temps discret aux échantillons d'une exponentielle complexe. Certains exposés sur le théorème d'échantillonnage font apparaître la notion d'échantillonnage idéal. Le modèle mathématique de l'échantillonnage est le suivant : le signal à échantillonner x(t) est multiplié par un peigne de Dirac, distribution périodique que l'on écrit : k=+ T (t) = δ(t kt). k= Le signal dit idéalement échantillonné est alors noté x*(t) :

14 I-1 - Formule de Poisson 17 k=+ x*(t) = x(t) δ(t kt) = k= k=+ x(kt) δ(t kt). k= On pourra noter qu'il n'est pas plus arbitraire de prendre la définition (I-1-2) du spectre du signal échantillonné que de justifier cette définition par la transformée de Fourier du signal idéalement échantillonné x*(t). I-2. Théorème d'échantillonnage La formule sommatoire de Poisson prend tout son sens dans le cas où : X(f) est à support borné : X(f) = 0 pour f B f e est plus grand que 2B. (I-2-1) Dans ces conditions le signal d'entrée peut être reconstitué à l'aide d'un filtrage passe-bas parfait B (filtre cardinal), défini par : B (f) = 1 pour f < B B (f) = 0 sinon Le filtre cardinal a pour réponse impulsionnelle h(t) = sin(2πbt). 2πBt B 1 T n=+ X(f nf e ) n= f e B B f e 1 T X(f) Figure I-1 Reconstitution de X(f) par filtrage En utilisant la relation (I-1-2), on peut noter que X(f) est égal, au coefficient multiplicateur T près, à la restriction de σ(f) à l'intervalle défini par f < B. On peut donc écrire : X(f) = T 1 T n=+ X(f nfe ) n= k=+ B (f) = T x(kt) e 2πjfkT B (f) k=

15 18 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation On détermine x(t) en prenant la transformée de Fourier inverse de X(f) : + sin(2π(t kt)b) x(t) = T x(kt) k= π(t kt) (I-2-2) Cette expression est désignée par formule d'interpolation. Elle exprime que la fonction x(t) peut être reconstituée à partir de la connaissance des valeurs de x(t) aux instants t = kt, dans les conditions énoncées précédemment. Exemple : on considère le signal défini par x(t) = sin πt/4 échantillonné à la fréquence f e = 1. L'application de (I-2-2) en se limitant aux huit premiers termes (k = 0 à 7) de la somme donne la reconstruction suivante : 1 x a (t) 0 1 Figure I-2 Début de reconstruction de la sinusoïde Les fonctions de base sin x x représentée en trait plein. sont représentées en grisé, tandis que la somme est I-3. Conversion analogique numérique L'opération d'échantillonnage ne fait intervenir à priori que la notion de quantification temporelle ou discrétisation temporelle (figure I-3). L'amplitude des échantillons x(kt) d'un signal x(t) continu, échantillonné avec la période T, est à variation continue. Or les systèmes numériques de traitement de l'information travaillent sur des nombres. Ainsi tout système de traitement nécessitant l'utilisation d'un calculateur (ordinateur, micro-processeur, processeur de signal, ) implique une conversion analogique-numérique des échantillons.

16 I-3 - Conversion analogique-numérique 19 quantification d'amplitude discrétisation temporelle Figure I-3 Discrétisations temporelle et d'amplitude La conversion analogique-numérique fait correspondre à l'amplitude x(kt) un nombre x k. Ce dernier est habituellement codé sous forme binaire de manière à être compatible avec la représentation interne des données du calculateur utilisé. Il fait donc partie d'un ensemble fini de valeurs discrètes : il y a quantification d'amplitude. x(t) Quantification x(kt) Quantification x k temporelle d'amplitude Figure I-4 Quantifications temporelle et d'amplitude On retiendra que le Traitement Numérique du Signal implique une double discrétisation : en temps et en amplitude. Notre but n'est pas ici de décrire les différents principes des convertisseurs analogiquesnumériques (1), mais plutôt de savoir chiffrer la dégradation apportée au signal en terme de rapport signal à bruit en fonction de la représentation numérique (codage), du nombre de bits et de la statistique du signal : c'est ce que l'on appelle la dynamique de codage. I-3-1. Principe de la quantification La quantification est une simple règle de correspondance entre l'ensemble infini des valeurs x(kt) des échantillons et un nombre fini de valeurs x k. Cette règle de correspondance s'obtient en divisant la plage de variation V du signal d'entrée en M intervalles q k et en assignant au signal de sortie la valeur x k lorsque l'amplitude du signal d'entrée x(kt) appartient à la plage q k (figure I-5). Ce procédé introduit naturellement une distorsion qui dépend autant de la nature du signal que de la loi de quantification adoptée. On appelle distorsion ou bruit de quantification la différence : ε(t) = x k x(t). (I-3-1) Si la densité de probabilité p(x) de l'amplitude du signal est connue, on peut déterminer la caractéristique de quantification qui, pour un nombre n donné de bits, minimise la puissance de distorsion totale. 1 [B.Loriferne "La conversion analogique-numérique et numérique-analogique" Eyrolles 1976]

17 20 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation Le bruit de quantification ε(t) étant considéré comme un processus aléatoire stationnaire, il possède une valeur moyenne m ε et une variance σ 2 ε par : σ 2 ε = M (x x k ) 2 p(x) dx k=1 qk qui s'exprime (I-3-2) La minimisation de cette quantité passe par l'utilisation d'une technique itérative 2. Cependant, et moyennant deux hypothèses simplificatrices, on peut en donner une expression approchée. Si l'on considère que le nombre d'intervalles M est suffisamment grand on peut émettre l'hypothèse : p(x) p(x k ) = constante dans l'intervalle q k. De plus, si les valeurs quantifiées x k correspondent au centre de l'intervalle q k, l'expression de la variance se simplifie de la façon suivante : σ 2 ε M p(xk ) k=1 x k +q k /2 (x x k ) 2 dx x k q k /2 σ 2 ε M p(xk ) q3 k k=1 12 (I-3-3) x k x 9 x 8 x 7 V x 6 2 q q q x(kt) q q q q q 6 7 x x 3 x 2 x 1 V 2 Figure I-5 Principe de la quantification I-3-2. Convertisseur linéaire Le convertisseur analogique-numérique linéaire est associé à la quantification uniforme pour laquelle les intervalles q k sont égaux : q k = q, quel que soit k. 2 [J.Max "Quantizing for Minimum Distorsion" IRE Trans. on Information Theory Vol. IT.6 p 7-12 March 1960]

18 I-3 - Conversion analogique-numérique 21 M D'autre part, la relation : p(xk ) q = 1 k=1 conduit, avec la relation (I-3-3) à : σ 2 ε q2 12 (I-3-4) Cette relation d'approximation est suffisante dans de nombreuses situations. On peut l'utiliser pour déterminer le rapport signal à bruit obtenu par quantification uniforme en fonction du nombre d'intervalles M, ou, ce qui est équivalent pour une représentation binaire, du nombre n de bits du convertisseur utilisé (M = 2 n ). Le rapport signal à bruit est donné par la relation : ρ = σ2 x (I-3-5) σ 2 ε où σ x représente la valeur efficace du signal d'entrée x(t). Avec (I-3-4), on a aussi : ρ = 12 σ2 x q 2 Comme on peut exprimer q en fonction de la plage de variation V du signal d'entrée x(t) pour un découpage en M = 2 n intervalles : Soit en décibels : ρ = 12 σ2 x V 2 22n ρ db = 10,8 + 6 n 20 log 10 {} V db (I-3-6) σ x Cette dernière expression indique que, pour un convertisseur analogique-numérique de n bits, le rapport signal à bruit augmente de 6 db pour chaque bit supplémentaire. Appliquons cette relation à divers signaux d'entrée : signal d'entrée à distribution uniforme : sa variance est donnée par : σ 2 x = V2 12 et l'on obtient ρ db 6 db signal d'entrée à distribution gaussienne : pour un tel signal, on utilise en pratique la règle des 3 σ, considérant que la probabilité d'obtenir une amplitude supérieure à 3 σ est suffisamment faible pour être négligée. Dans ces conditions, la plage de variation est définie par V = 6 σ x, d'où le rapport signal à bruit : ρ db = 6 n 4,76 db

19 22 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation signal d'entrée sinusoïdal : pour une signal sinusoïdal d'amplitude V 2, σ x représente la valeur efficace V, et on en déduit : 2 2 ρ db = 6 n + 1,77 db On a ainsi obtenu un moyen simple de déterminer le nombre de bits d'un convertisseur linéaire permettant d'assurer un rapport signal à bruit connaissant la statistique du signal d'entrée. I-3-3. Convertisseur logarithmique La dynamique de codage, pour un nombre de bits donné, peut être augmentée si le pas de quantification varie avec l'amplitude du signal. Cette façon de procéder est utilisée en téléphonie numérique et conduit à une loi de quantification de type logarithmique. Deux lois de quantification de ce type sont d'usage courant : la loi µ essentiellement utilisée au Japon et aux Etats-Unis, et la loi A (ou loi à 13 segments) en Europe. Ces deux lois ont été adoptées pour la transmission de la parole. En effet, bien que le signal de parole possède une grande dynamique, la plus grande partie de l'information réside dans les niveaux bas. L'opération de quantification peut être appréhendée comme étant le résultat d'un codage linéaire précédée d'une compression dans laquelle le signal d'entrée x(t) est transformé en un signal y(t). x Compression y Codage y k logarithmique uniforme Figure I-6 La quantification loi de compression µ : elle est définie par : y = sg(x) ln(1 + µ x ) ln(1+µ) où : x est le signal d'entrée normalisé entre 1 et +1, µ est le paramètre de compression (µ = 255 en pratique), sg() est la fonction signe. loi de compression A : elle est définie par : y = sg(x) A x pour 0 x ln(a) A sg(x) 1 + ln(a x ) pour ln(a) A x 1

20 I-3 - Conversion analogique-numérique 23 Le paramètre de compression A vaut 87,6. Si l'on reprend l'expression (I-3-6), on constate que le rapport signal à bruit diminue linéairement lorsque la puissance du signal d'entrée diminue (voir figure I-8 "Rapport signal à bruit"). Les deux lois de compression définies ont pour but de rendre constant le rapport signal à bruit quel que soit le niveau d'entrée. Soit {x k } la suite des valeurs quantifiées du signal d'entrée et q k le pas de quantification. Exprimons le fait que le rapport entre x k et q k est constant quel que soit k : x k q k 2 = C pour x k q k 2 x x k + q k 2 (I-3-7) Cette relation exprime que la quantification s'effectue par rapport au milieu de l'intervalle de quantification et doit être vérifiée quel que soit k. Par construction, on a : x k q k 2 = x k 1 + q k 1 2 x k { } 1 1 C et par récurrence on obtient : x k = x 0 { C + 1 } = x k 1 { } C k ce qui correspond à une loi C 1 logarithmique. L'indice k varie de 0 à k max et les x k de x 0 à x max, plage du signal d'entrée. Si l'on considère un signal à convertir positif, il se pose, avec cette loi, le problème des signaux de très faible amplitude car la "courbe log" ne passe pas par l'origine. On est alors amené à définir, pour la première partie de la quantification, une loi linéaire et un indice k 0 à partir duquel on applique la loi logarithmique. k max k k 0 θ ln loi linéaire θ lin x x 0 x max Figure I-7 Lois linéaire et logarithmique On définit le taux de compression par : τ c = tgθ ln (I-3-8) tgθ lin Pour la loi A, le taux de compression adopté est égal à 16. D'après la définition donnée et en supposant que tgθ lin = 1, on a :

21 24 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation τ c = tgθ ln = lna 1 A = 16, ce qui donne A = 87,6. Ce taux de compression de 16 indique un gain relatif de 4 bits pour les petits niveaux par rapport à une loi uniforme. On obtient ainsi une amélioration de 4 * 6 db = 24 db. La loi A étant codée sur 8 bits, on obtient, pour la partie logarithmique, un rapport signal à bruit constant de : C = ,7 33 db. 1 + lna partie logarithmique ρ db partie linéaire db linéaire 8 bits Puissance d'entrée Figure I-8 Rapport signal à bruit Dans la pratique, la loi A est une loi approchée par des segments de droite. Chaque pas de quantification vaut le double du pas précédent : Numéro de segment /4 1/2 1 Entrée normalisée 1/16 1/8 Figure I-9 Loi A segmentée

22 I-3 - Conversion analogique-numérique 25 Les deux premiers segments sont colinéaires (loi uniforme). On a donc 7 segments de pentes différentes, soit au total 13 segments, si l'on prend en compte les valeurs négatives du signal (4 segments colinéaires autour de l'origine). I-3-4. Bruit de quantification Afin de simuler l'effet de la conversion analogique-numérique, nous allons supposer que le signal d'entrée est représenté avec une précision infinie (i.e. fonction continue) si nous en possédons une représentation en virgule flottante sur 32 bits. Le but est ici d'obtenir, avec la représentation flottante, l'équivalent d'une représentation virgule fixe, c'est-à-dire sur un nombre fini de bits que l'on précisera. La convention de représentation en mots de longueur finie est habituellement la suivante : N = b k 2 k n + bi 2 i (I.3.9) i=k 1 Cette représentation est celle du complément à deux dans laquelle on fixe arbitrairement la position de la virgule. b k 2 k + 0 bi 2 i caractérise la dynamique, i=k 1 n bi 2 i caractérise la précision. i= 1 La longueur du mot est n + k + 1. La représentation exacte de la variable est : b k 2 k + bi 2 i i=k 1 Exemple : +2.2 = Elle possède deux représentations en mots de longueur finie : soit par troncature, soit par arrondi. I-3-5. Simulation de la troncature La représentation en troncature de la grandeur XKT est définie par : XKT T = b k 2 k + nfrac bi 2 i i=k 1 On se limitera à une longueur maximum de 16 bits, ce qui permet notamment d'obtenir une dynamique suffisante dans le cas de systèmes audio haute fidélité (compact disk). Les arguments du sous-programme TRONCATURE sont : la valeur réelle du signal x(kt), notée XKT, que l'on tronque,

23 26 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation le nombre de bits de précision nfrac, la longueur du mot NBITS, un entier indsat pour le traitement (1) ou non ( 1) des saturations. CALL TRONCATURE(XKT, nfrac%, NBITS%, indsat%) Ce sous-programme consiste à multiplier XKT par 2 nfrac de façon à ce que les nfrac bits de précision soient pris dans la mantisse pour être recopiés dans l'exposant. Il suffit ensuite d'appliquer à la valeur obtenue la fonction INT, qui a pour effet de supprimer la partie fractionnaire restante, et de diviser le résultat par 2 nfrac pour faire réapparaître les nfrac bits de précision dans la mantisse. Si la valeur à convertir dépasse la dynamique admissible (dépassement de capacité positif ou négatif), il est possible de simuler un phénomène de saturation en initialisant la variable indsat à 1. DEFINT I-N '*************************************************************** '* XKT est représenté sur NBITS bits : * '* partie entière NBITS-(nFrac+1) bits * '* partie fractionnaire nfrac bits * '* signe 1 bit * '* Lorsqu'il y a dépassement de capacité on sature a : * '* XKT positif: XKT =[+(2.0^(NBITS-1))-1.0]/2^nFrac * '* XKT negatif: XKT =[-(2.0^(NBITS-1))]/2^nFrac * '* * '* SOUS-PRAGRAMMES APPELES: aucun * '*************************************************************** SUB TRONCATURE (XKT, nfrac, NBITS, indsat) irnbitsp = (2! ^ (NBITS - 1)) - 1! irnbitsn = -(2! ^ (NBITS - 1)) XKT = XKT * (2! ^ nfrac): XKT = INT(XKT) IF ((XKT > irnbitsp) AND (indsat = 1)) THEN XKT = irnbitsp IF ((XKT < irnbitsn) AND (indsat = 1)) THEN XKT = irnbitsn XKT = XKT / (2! ^ nfrac) END SUB Exemple : +2.2 = pour NBITS = 6 et nfrac = 3 alors : I-3-6. Simulation de l'arrondi 2.2 T = La représentation arrondie XKT A de la grandeur XKT est définie par : XKT A = b k 2 k + nfrac bi 2 i + 2 (nfrac+1) i=k 1 Les arguments du sous-programme ARRONDI sont :

24 I-3 - Conversion analogique-numérique 27 la valeur réelle du signal x(kt), notée XKT, que l'on arrondit, le nombre de bits de précision nfrac, la longueur du mot NBITS, un entier indsat pour le traitement (1) ou non ( 1) des saturations. CALL ARRONDI(XKT, nfrac%, NBITS%, indsat%) Le sous-programme ARRONDI appelle le sous-programme TRONCATURE. DEFINT I-N '****************************************************************** '* Sous programme de quantification par arrondi * '* Dans ce SP on additionne le bit à la position nfrac * '* XKT + 2.0^(-(nFrac+1)) * '* L'arrondi réalisé suppose une représentation en complément à 2 * '****************************************************************** SUB ARRONDI (XKT, nfrac, NBITS, indsat) XKT = XKT + (2! ^ (-(nfrac + 1))) CALL TRONCATURE (XKT, nfrac, NBITS, indsat) END SUB Exemple : +2.2 = pour NBITS = 6 et nfrac = 3 alors : Exemple d'utilisation : 2.2 A = DEFINT I-N INPUT "Valeur à convertir: "; XKT B = XKT indsat = 1 INPUT "Précision: "; nfrac INPUT "Longueur du mot: "; NBITS PRINT "Valeur entrée: "; XKT ' CALL ARRONDI(XKT, nfrac, NBITS, indsat) ' PRINT "Valeur arrondie: "; XKT ' CALL TRONCATURE(B, nfrac, NBITS, indsat) ' PRINT "Valeur tronquée: "; B END I-3-7. Codage/décodage selon la loi A Afin d'effectuer des simulations portant sur des signaux codés selon la loi A (utilisation en téléphonie), on donne ici deux sous-programmes de conversion de loi uniforme en loi logarithmique et inversement. En fait, si la loi A est dite équivalente à une loi uniforme

25 28 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation sur 12 bits (pour les faibles niveaux), en pratique, on utilise 13 bits de représentation (voir tableaux). signe loi linéaire signe loi logarithmique si > b 3 b 2 b 1 b 0 Ø 0 si > b 3 b 2 b 1 b 0 1 si < b 3 b 2 b 1 b 0 Ø 1 si < b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b 0 Ø Ø b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b 0 Ø Ø Ø b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b 0 Ø Ø Ø Ø b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b 0 Ø Ø Ø Ø Ø b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b 0 Ø Ø Ø Ø Ø Ø b 3 b 2 b 1 b 0 1 b 3 b 2 b 1 b 0 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø b 3 b 2 b 1 b 0 Figure I-10 Passage de la loi linéaire à la loi logarithmique signe loi logarithmique signe loi linéaire si > b 3 b 2 b 1 b 0 0 si > b 3 b 2 b 1 b si < b 3 b 2 b 1 b 0 1 si < b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b b 3 b 2 b 1 b 0 1 b 3 b 2 b 1 b Figure I-11 Passage de la loi logarithmique à la loi linéaire Les arguments du sous-programme de conversion linéaire-logarithmique LINTOA sont : la valeur sur 13 bits de l'entier à convertir, notée NLIN, la valeur sur 8 bits de l'entier converti NA. DEFINT I-N SUB LINTOA (NLIN, NA) CALL LINTOA(NLIN%, NA%) '************************** '* Détermination du signe * '************************** isigne = (NLIN AND &H1000) \ 4096 '***************************** '* Configuration à comprimer * '***************************** IF NLIN = THEN NLIN = NLIN + 1 IF NLIN < 0 THEN NLIN = -NLIN num = NLIN AND &HFFF ' ' Recherche du poids du 1 de plus fort poids ' IF num = 0 THEN nseg = 0 ELSE mask = &H800

26 I-3 - Conversion analogique-numérique 29 nseg = 11 WHILE ((num AND mask) = 0) mask = mask \ 2 nseg = nseg - 1 WEND nseg = nseg - 4 IF nseg < 0 THEN nseg = 0 END IF '***************************** '* Définition de la mantisse * '***************************** IF (nseg = 0 OR nseg = 1) THEN mant = (num AND &H1E) \ 2 ELSE mant = (num AND (&HF * 2 ^ nseg)) \ 2 ^ nseg END IF '********************************************* '* Numéro de segment concaténé avec mantisse * '********************************************* NA = mant + 16 * nseg '************************ '* Restitution du signe * '************************ NA = 128 * isigne + NA END SUB Les arguments du sous-programme de conversion logarithmique-linéaire ATOLIN sont : la valeur sur 13 bits de l'entier converti, notée NLIN, la valeur sur 8 bits de l'entier à convertir NA. DEFINT I-N SUB ATOLIN (NLIN, NA) CALL ATOLIN(NLIN%, NA%) '************************** '* Détermination du signe * '************************** isigne = NA AND &H80 '************************************** '* Détermination du numéro de segment * '************************************** nseg = (NA AND &H70) \ 16 IF nseg = 0 THEN NLIN = 2 * (NA AND &HF) + 1 ELSE NLIN = 2 * (NA AND &HF) + 33 NLIN = NLIN * 2 ^ (nseg - 1) END IF '************************* '* Récupération du signe * '*************************

27 30 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation IF isigne <> 0 THEN NLIN = -NLIN END SUB Exemple : DEFINT I-N nu = WHILE (nu > 4095 OR nu < -4096) INPUT "Valeur à comprimer : "; nu WEND CALL LINTOA(nu, nloia) PRINT nloia CALL ATOLIN(nu, nloia) PRINT nu END I-3-8. Remarques Conversion numérique Les sous-programmes ARRONDI et TRONCATURE autorisent des longueurs de mots de 24 bits. Cette limitation est liée à la représentation flottante (standard IEEE-754) utilisée par le compilateur MS-BASIC : mantisse sur 24 bits (23 explicites + 1 implicite), 1 bit de signe, exposant sur 8 bits. Cette limitation peut être levée en utilisant une représentation flottante double précision : mantisse sur 53 bits (52 explicites + 1 implicite), 1 bit de signe, exposant sur 11 bits. L'intérêt de cette représentation apparaît lorsqu'on fait du traitement numérique impliquant des multiplications. Ainsi la multiplication de deux "entiers 16 bits" donne un résultat sur 31 bits. La double précision permet de s'affranchir de ce problème au prix d'un ralentissement d'exécution. Il faut tout de même noter qu'il n'y a pas ralentissement lorsqu'un coprocesseur arithmétique est utilisé. En effet, tout les nombres sont convertis en un même format interne (80 bits sur la famille des coprocesseurs Intel ) avant traitement. La loi A Les circuits intégrés appelés CODEC (COdage, DECodage), utilisés pour l'acquisition et la restitution de signal de type téléphonique, ne fonctionnent généralement pas selon le codage théorique, mais utilisent une représentation obtenue en complémentant les bits

28 I-3 - Conversion analogique-numérique 31 de rang pair. Ceci part du principe que, dans le signal de parole, les moments de silence (absence de signal) sont nombreux. Le code théorique correspondant au silence est Pour des considérations pratiques, il est préférable que la valeur de codage soit , assurant ainsi un maximum de transitions (permettant par exemple de reconstituer un signal d'horloge à partir des données). Pour utiliser les sous-programme ATOLIN et LINTOA, en relation avec de tels circuits, il suffit de rajouter : dans ATOLIN : NA = NA XOR &H55 comme première instruction, dans LINTOA : NA = NA XOR &H55 comme dernière instruction. I-4. Génération de signaux déterministes Les signaux que nous nous proposons de synthétiser échelons, créneaux, sinusoïdes, signaux triangulaires que nous désignerons par signaux tests, et bruit, permettent de caractériser ou identifier aisément le comportement temporel du filtre étudié. Ces signaux possèdent aussi une caractéristique essentielle qui est celle de permettre un calcul simple de la sortie du filtre ou de ses propriétés spectrales. Chacun d'eux est construit par échantillonnage virtuel du signal test continu correspondant. Par échantillonnage virtuel, nous entendons que la valeur prise par un échantillon correspondant à une discontinuité du signal continu (signal carré par exemple), est fixée à la valeur maxima ou à la valeur minima prise en ce point et non à une valeur aléatoire. Dents de scie Signal carré Echantillonnage f e Sinusoïde e = e(nt) n Filtre s = s(nt) n Créneau Figure I-12 Génération du signal par échantillonnage On peut faire un certain nombre de remarques concernant cet échantillonnage : on supposera par la suite que la période d'échantillonnage est T e = 1, donc f e = 1. Les fréquences f 0 des signaux tests, si elles doivent être précisées, seront donc données par rapport à cette valeur. On parle de fréquences normalisées.

29 32 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation les signaux tests, s'ils sont périodiques, perdent leur périodicité par échantillonnage dès lors que le rapport entre fréquence d'échantillonnage et fréquence du signal continu original n'est pas rationnel. Si f e = p, où p et q sont des nombres entiers, alors la période de la suite numérique f 0 q est le PPCM de p et q multiplié par la période d'échantillonnage : T 0 = PPCM(p,q) * T e = PPCM(p,q) le nombre de points N à calculer étant limité, il faudrait en plus que : N * T = N = n * T 0 donc n * T 0 doit être un entier. La remarque concernant la perte éventuelle de périodicité par échantillonnage trouvera tout son intérêt lorsqu'on voudra calculer le spectre du signal échantillonné à l'aide d'algorithmes de transformation à temps discret. Nous allons donner dans les paragraphes suivants les programmes de génération de quelques suites obtenues par échantillonnage de signaux continus. I-4-1. Créneau Les arguments du sous-programme Creneau sont : le nombre de points de la suite à construire : nptotal, le nombre de points où la suite vaut 1 : npoints, la suite est construite dans le tableau Sig(). CALL Creneau(nPTotal%, npoints%, Sig()) DEFINT I-N '*************************** '* GENERATION D'UN CRENEAU * '*************************** SUB Creneau(nPTotal, npoints, Sig()) FOR i= 1 TO npoints: Sig(i) = 1!: NEXT i FOR i= npoints + 1 TO nptotal Sig(i) = 0! NEXT i END SUB 1 Sig(1) 0 npoints nptotal Figure I-13 Génération du créneau

30 I-4 - Génération des signaux déterministes 33 I-4-2. Signal carré Le signal carré "continu" commence en début de période avec la valeur 1. Il est centré. Les arguments du sous-programme SigCar sont : le nombre de points de la suite à construire : nptotal, la fréquence du signal carré à échantillonner freq, la suite est construite dans le tableau Sig(). DEFINT I-N '****************************** '* GENERATION DE SIGNAL CARRE * '****************************** SUB SigCar(nPTotal, freq, Sig()) CALL SigCar(nPTotal%, freq, Sig()) FOR i= 0 TO nptotal - 1 x = 2 * i * freq : y = 1! - 2 * (INT(x) MOD 2) Sig(i + 1) = y NEXT i END SUB 1 Sig(1) 0 1 nptotal Figure I-14 Génération du signal carré I-4-3. Dent de scie La dent de scie "continue" est supposée commencer à zéro et être centrée. Les arguments du sous-programme DScie sont : le nombre de points de la suite à construire : nptotal, la fréquence du signal en dent de scie à échantillonner freq, la suite est construite dans le tableau Sig(). DEFINT I-N '****************************** '* GENERATION DE DENT DE SCIE * '****************************** SUB DScie(nPTotal, freq, Sig()) CALL DScie(nPTotal%, freq, Sig())

31 34 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation xinc = 4! * freq cœff = 2! * freq FOR i= 1 TO nptotal np = INT(2 * (i - 1) * freq) k = np MOD 2 x = (i - 1) - np / cœff Sig(i) = -1! + xinc * x if k = 1 then Sig(i) = -Sig(i) NEXT i END SUB Sig() 0 nptotal Figure I-15 Génération de la dent de scie I-4-4. Sinusoïde Les arguments du sous-programme Sinus sont : le nombre de points de la suite à construire : nptotal, la fréquence de la sinusoïde à échantillonner freq, l'amplitude de la sinusoïde Amp, sa phase à l'origine Phi, la suite est construite dans le tableau Sig(). CALL Sinus(nPTotal%, freq, Amp, Phi, Sig()) La double précision est rendue nécessaire pour éviter les problèmes liés au calcul numérique des fonctions trigonométriques. DEFINT I-N '*************************** '* GENERATION DE SINUSOIDE * '*************************** SUB Sinus(nPTotal, freq, Amp, Phi, Sig()) pi# = 4# * ATN(1#) fr# = freq : deuxpif# = 2# * pi# * fr# ph# = Phi * pi# / 180# : A# = Amp FOR i= 0 TO nptotal - 1 x# = A# * SIN(deuxPif# * i + ph#) IF ABS(x#) < 1E-12 THEN x# = 0#

32 I-4 - Génération des signaux déterministes 35 Sig(i + 1) = x# NEXT i END SUB Sig() 0 nptotal Figure I-16 Génération d'une sinusoïde I-4-5. Somme de sinusoïdes Les arguments du sous-programme SomSinus sont : le nombre de points de la suite à construire : nptotal, le nombre de sinusoïdes NbSin, le tableau des fréquences des sinusoïdes freq(1::nbsin), le tableau des amplitudes Amp(1::NbSin), le tableau des phases à l'origine Phi(1::NbSin), la suite est construite dans le tableau Sig(). CALL SomSinus(nPTotal%, NbSin, freq(), Amp(), Phi(), Sig()) DEFINT I-N '**************************************** '* GENERATION D'UNE SOMME DE SINUSOIDES * '**************************************** SUB SomSinus(nPTotal, NbSin, freq(), Amp(), Phi(), Sig()) pi# = 4# * ATN(1#) FOR j = 1 TO NbSin fr# = freq(j) : deuxpif# = 2# * pi# * fr# ph# = Phi(j) * pi# / 180# : A# = Amp(j) NEXT j END SUB FOR i= 0 TO nptotal - 1 x# = A# * SIN(deuxPif# * i + ph#) IF ABS(x#) < 1E-12 THEN x# = 0# Sig(i + 1) = Sig(i + 1) + x# NEXT i I-5. Générateurs de bruit

33 36 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation Un calculateur étant une machine à nombre d'états finis, les séquences de nombres à caractère aléatoire que l'on pourra obtenir seront nécessairement périodiques. L'essentiel est que la période soit suffisamment grande devant l'horizon d'observation du signal bruité que l'on veut étudier. Ces séquences sont appelées codes pseudo-aléatoires. I-5-1. Code cyclique Un générateur de bruit peut être réalisé à l'aide d'un registre à décalage bouclé permettant de créer des séquences de 1 et 0 logiques à répartition quasi-uniforme. On obtient un code pseudo-aléatoire à l'aide des séquences de longueur maximum. Un registre à n bits permet d'obtenir dans ces conditions un code de longueur N = 2 n 1. La répartition de 1 et de 0 paraît d'autant plus aléatoire que N est grand. Le principe de génération est donné figure I-17. La sortie du registre est donnée par Y 0 et la contre réaction par : n 1 X = ai Y i i=0 où les cœfficients a i valent 0 ou 1 et la somme est définie modulo 2. a a n 1 n 2 a 1 a 0 X Y n 1 Yn 2 Y 1 Y 0 Figure I-17 Génération par registre bouclé De façon générale, obtenir la contre réaction (i.e. définir les a i ) c'est, pour N = 2 n 1 donné, trouver une décomposition du polynôme x N + 1 sous la forme G(x) P(x). Ces polynômes sont définis sur GF(2) (corps de Galois à 2 éléments 0 et 1). Cela signifie que leurs cœfficients sont dans GF(2) et que les opérations sur les cœfficients s'effectuent modulo 2. Pour obtenir une séquence de longueur maximum, P(x) doit être un polynôme primitif de degré n (il en existe toujours un quelque soit n) et G(x) est alors le polynôme générateur de la séquence 1,2. Exemple : on désire engendrer une séquence de longueur 15 = (N = 15, n = 4). On obtient : 1 [F.J.MacWilliams and N.J.A.Sloane "The Theory of Error-Correcting Codes" North Holland Publishing] 2 [Peterson, W.W. and E.J.Weldon "Error-Correcting Codes" MIT Press]

34 I-5 - Générateurs de bruit 37 G 1 (x) = x 11 +x 10 +x 9 +x 8 +x 6 +x 4 +x 3 +1 H 1 (x) = x 4 +x 3 +1 ou : Y 3 Y 2 Y 1 Y X X X X 1 G 2 (x) = x 11 +x 8 +x 7 +x 5 +x 3 +x 2 +x+1 H 2 (x) = x 4 +x+1 Y 3 Y 2 Y 1 Y 0 Figure I-18 Génération pour n = X X X X 1 Dans le second cas, les états successifs sont indiqués dans le tableau ci-contre : La séquence engendrée peut se lire dans la dernière colonne du tableau. On vérifie qu'il y a 8 valeurs "1" et 7 valeurs "0". De manière générale, on obtient toujours 2 n 1 valeurs 1 et 2 n 1 1 valeurs 0. Y 3 Y 2 Y 1 Y L'utilisation de ces séquences comme générateurs de bruit consiste à associer à l'état 1 une valeur +A et à l'état 0 la valeur A. La séquence b n ainsi obtenue possède une valeur moyenne : E[ b n ] = 1 N 1 N bn = A N n=0 (I.5.1) et sur une période T = N T e = (2 n 1) T e, une fonction d'autocorrélation : R bb (τ) = 1 T T b(t) b(t+τ) dt 0 Le signal étant une suite d'impulsions ±A, on peut écrire aux instants d'échantillonnage kt e :

35 38 Chap. I - Echantillonnage-Numérisation ce qui donne finalement : R bb (k) = 1 N 1 N bn b n+k, n=0 R bb (0) = A 2 et R bb (k) = A2 N (I.5.2) et de façon continue pour kt e < τ < (k+1)t e : k = 0 : R bb (τ) = A 2 [ 1 τ N+1 N T e ] A 2 R bb (t) k 0 : R bb (τ) = A2 N A 2 N T e N T e t Figure I-19 La fonction d'autocorrélation Pour N suffisamment grand, la fonction d'autocorrélation peut être considérée comme une impulsion. Ceci constitue une caractéristique d'un bruit blanc. La densité spectrale de puissance définie comme transformée de Fourier de l'autocorrélation s'écrit : Φ bb (ω) = A 2 N+1 N sinπωt e πωt 2 + e n= { δ ( ω n ) } 2πT e A2 N δ(ω) La suite obtenue peut être considérée comme du bruit blanc entre 0 et ω e 3 : 3 db Φ bb (ω) A 2 N + 1 N ωe 3 ω e ω Figure I-20 La densité spectrale de puissance