Thème N 13: SYMETRIE ( 3 ) - PARALLELOGRAMME (2) - DEMONSTRATION (2) - QUADRILATERES - ANGLES

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1 Thème N 13: SYMTR ( 3 ) - PRLLLOGRMM (2) - MONSTRTON (2) - QURLTRS - NGLS * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * TVT 1: O 1 er PROPRT: n utilisant ton compas que tu pique en O, (ou en mesurant), compare les longueurs O et O. que constates-tu? : O =. ompare les longueurs O et O, que constates-tu? O = O omplète: ans tout parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. On considère un parallélogramme. On trace sa diagonale []. On appelle O le milieu de []. ans la symétrie de centre O : Le symétrique du point est Le symétrique de la droite () est la droite parallèle à la droite () passant par le point. Le symétrique du point est le point Le symétrique de la droite () est la droite parallèle à droite (). passant par le point omme le point est le point d intersection des droites () et (), le symétrique du point est le point d intersection des droites () et (). Le symétrique du point est donc le point onc le point O est le milieu de [] onclusion : est le milieu des diagonales du parallélogramme. O 2 ème PROPRT: Que penses-tu des longueurs des côtés opposés? : ls ont la même longueur. émonstration : omplète: 'après la propriété énoncée ci-dessus, on peut dire que: - O est le milieu de [] et O est le milieu de []. - onc, dans la symétrie centrale de centre O, a pour symétrique le point et a pour symétrique le point. - Le segment [] a donc pour symétrique le segment []. - Or tu sais que le symétrique d'un segment est un segment de même longueur. - onc les longueurs et sont de même longueur. ans tout parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur.

2 3 ème PROPRT: omplète : Si est un parallélogramme, et si O est le milieu de ses deux diagonales alors, dans la symétrie de centre O : a pour image et a pour image Le segment [] a donc pour image le segment []. Or, dans une symétrie centrale, le symétrique d un segment est un segment qui lui est parallèle, donc [] est parallèle à []. autre part : Une symétrie centrale conserve les longueurs, donc =. onclusion : () parallèle à () et = ( On démontrerait de la même manière que () // ( ) et = ) Un parallélogramme a deux côtés opposés parallèles et de même longueur 4 ème PROPRT: l'aide de ton rapporteur, mesure les angles onclure : = n est-il de même pour et? Oui.omplète: et : = 140 ; = 140. ans tout parallélogramme, les angles opposés ont même mesure. émonstration : Si est un parallélogramme, et si O est le milieu de ses diagonales alors, dans la symétrie de centre O : a pour image a pour image. a pour image. a pour image. a pour image. a pour image. L angle a pour image l angle et l angle a donc pour image l angle. Or dans la symétrie centrale, le symétrique d un angle est un angle de même mesure, donc = et =. xercice n 1 : 2,5 cm 2 cm 35 xercice n 2 : On sait que : GH et GLK sont deux parallélogrammes. après la propriété :Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de la même longueur. onc : H = G et G = KL onclusion : H = KL K H G L

3 xercice n 3 : après (1) et (3), on a : = émontrons que : = et ( // () On sait que : et sont deux parallélogrammes après la propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur. onclusion : Pour le parallélogramme, on a : = (1) et () // () (2) Pour le parallélogramme, on a : = (3) et () // () (4) On sait que : après (2) et (4), on a () // () car si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. onclusion : = et () // ( xercice n 4 : On sait que : est un parallélogramme. après la propriété : Si un quadrilatère est un parallèlogramme alors ses angles opposés sont de même mesure onc : = = 30 et = = 150 TVT 2 : RONNTR UN PRLLLOGRMM - utour des diagonales M N Q P 3 ) n déduire la nature de chacun de ces quadrilatères : MNPQ est un parallèlogramme. Si un quadrilatère a des diagonales qui ont même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme émonstration : On considère les segments [MN] et [NQ] de même milieu. On trace le quadrilatère MNPQ. ( Voir figure cidessus).les diagonales de ce quadrilatère ont donc le même milieu. ans la symétrie de centre : - le symétrique du point M est le point P et le symétrique du point N est le point Q onc le symétrique de la droite (MN) est la droite (QP). Or, on sait que le symétrique d une droite est une droite parallèle, donc les droites (MN) et (QP) sont parallèles. - le symétrique du point N est le point Q et le symétrique du point P est le point M. onc le symétrique de la droite (NP) est la droite (MQ). Or, on sait que le symétrique d une droite est une droite parallèle, donc les droites (NP) et (MQ) sont parallèles. onclusion : Les côtés opposés du quadrilatère MNPQ sont parallèles. Le quadrilatère MNPQ est donc un parallélogramme.

4 . utour du centre de symétrie Si un quadrilatère admet un centre de symétrie, alors ce quadrilatère un parallèlogramme. - utour des côtés Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallèlogramme Si un quadrilatère a deux côtés opposés qui sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallèlogramme. utour des angles Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors ce quadrilatère est un parallèlogramme xercice n 5 : (1) (2) On sait que : - milieu de [] car [] est un diamètre du cercle (1) de centre ; - milieu de [] car [] est un diamètre du cercle (2) de centre. Or, si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu alors c est un parallélogramme. onc : est un parallélogramme xercice n 6 : On sait que : - milieu de [] ; - milieu de [ ] car est le symétrique du point par rapport à. - Or, si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu alors c est un parallélogramme. onc : est un parallélogramme xercice n 7 :. On sait que : - milieu de [] car est le symétrique du point par rapport à ; - milieu de [] car est le symétrique du point par rapport à. Or, si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu alors c est un parallélogramme. onc : est un parallélogramme

5 xercice n 8 : On sait que : - () parallèle à () car est un parallélogramme ; - = = 2 cm. Or, si un quadrilatère à deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. onc : omme = et ( ) // ( ) alors est un parallélogramme xercice n 9 : On sait que : = = 130 et = = 50 Or, si un quadrilatère à ses angles opposés de la même mesure alors c est un parallèlogramme. onc : est un parallélogramme xercice n 10 : Rappel sur la définition du rectangle, du losange et du carré 1 ) 5 cm 4,5 cm 3 cm 40 4 cm Rectangle Losange arré 2 ) - Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. - Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur - Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur TVT 3 : UTOUR U RTNGL 1 ) On a deux rectangles Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit Si un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle

6 2 ) On considère le rectangle ci-contre : a. Propriété qui permet d affirmer que les côtés opposés du rectangle sont parallèles : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles. b. Le rectangle a ses côtés opposés parallèles, c est donc un parallélogramme ; son centre de symétrie est donc le point O milieu des diagonales. c. La droite d 1 est la médiatrice des segments [] et [] La droite d 2 est la médiatrice des segments [] et [] Les droites d 1 et d 2 se coupent au point O On a ainsi : O = O et O = O On a donc : = d 1 O d 2 Le rectangle a un centre de symétrie et deux axes de symétrie. Ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu. 3 ) M Les diagonales d un parallélogramme ayant même longueur, les angles de ce parallélogramme semblent être droits. Q J N Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et on même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle xercice n 11 : P xercice n 12 : 1 ) 2 ) 3 cm 2 cm 30 4 cm

7 xercice n 13 : On sait que : Les diagonales [] et [] se coupent en leur milieu car : - milieu de [] car est le symétrique de par rapport à ; - et milieu de [] car est le symétrique de par rapport à. Les diagonales ont la même longueur car est un triangle isocèle donc : = = = Si les diagonales d un quadrilatère ont la même longueur et se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un rectangle. onclusion : est un rectangle. TVT 4 : UTOUR U LOSNG 1 ) Par pliage, on fait apparaître deux axes de symétries 3 cm 130 H Les angles opposés ont la même mesure car dans la symétrie axiale, le symétrique d un angle est un angle de même mesure. 2 ) Le losange GH a ses angles opposés de même mesure, c est donc un parallélogramme ; son centre de symétrie est le point O, milieu des diagonales. 3 ) la diagonale [G] est la bissectrice des angles H HG ; elle est aussi la médiatrice du segment [HG]. La diagonale [H] est la bissectrice des angles HG G ; elle est aussi la médiatrice du segment [G]. Les diagonales [G] et [H] sont perpendiculaires au point O. Le losange GH a un centre de symétrie, le point d intersection des diagonales, et deux axes de symétrie portant ses diagonales. Les diagonales sont perpendiculaires en leur milieu. xercice n 14 : 1 ) 2 ) O G et et xercice n 15 : 30 2 cm 2,4 cm 3 cm 3 cm 2 cm xercice n 16 :

8 xercice n 17 : TVT 5 : UTOUR U RR d 1 d 2 J 2 ) Un carré a quatre angles droits don c est un rectangle. Un carré a quatre côtés de la même longueur donc c est un losange. Le carré est donc à la fois un rectangle et un losange. O d 3 3 ) Un carré possède un centre de symétrie, le point O et quatre axes de symétrie : d 1 ; d 2 ; d 3 et d 4. 4 ) Les diagonales d un carré sont de la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. xercice n 18 : L On sait que : est le symétrique de par rapport à, donc milieu de [] est le symétrique de par rapport à, donc milieu de []. insi, les diagonales se coupent donc en leur milieu. e plus comme est un triangle isocèle en, alors = soit encore =. Les diagonales ont donc même longueur. t comme est un triangle rectangle en, les droites () et () sont perpendiculaires. Les diagonales sont donc perpendiculaires. après la propriété : si un quadrilatère à ses diagonales de même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, alors se quadrilatère est un carré. onclusion : est un carré. K d 4 xercice n 19 : On sait que : [] est un diamètre du cercle de centre O, donc O est milieu de []. La médiatrice du segment [] coupe le cercle en et, donc d après la définition de la médiatrice, () perpendiculaire à () et O milieu de [] car tous points d un cercle sont à égale distance du centre. ilan : On a = ; () perpendiculaire à () et O milieu de () et (). après la propriété : si un quadrilatère à ses diagonales de même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, alors se quadrilatère est un carré. onclusion : est un carré. O

9 xercice n 20 : Un organigramme a. Le quadrilatère est un losange. b. Hypothèses: est milieu de [] est le milieu de [] () et () sont perpendiculaires [] et [] ont le même milieu est un parallélogramme onclusion est un losange xercice n 21 : b. est un rectangle car si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle. c. est un parallélogramme donc les diagonales [] et [] se coupent en leur milieu. e plus comme est un triangle rectangle en alors les diagonales sont perpendiculaires. onc si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires alors c est un losange. onclusion : est un losange.

10 H G xercice n 22 : b. G est un triangle équilatéral, donc : = G = G. HG est un triangle équilatéral, donc : H = HG = G où : = G = G = H = HG c. On sait que = G = GH = H après la propriété : Si un quadrilatère à quatre côtés de même longueur alors c est un losange, onc : GH est un losange d. Les droites (G) et (H) sont perpendiculaires car dans un losange les diagonales se coupent en leur milieu. xercice n 23 : Sur la figure ci-dessous, est un parallélogramme, les angles G et sont droits. a. On sait que : est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles. G onc () est parallèle à (). insi, comme G est un point de [] alors les droites () et (G) sont parallèles. b. On sait que () et (G) sont parallèles et (G) perpendiculaire à (G) onc si deux droites sont parallèles et l une est perpendiculaire à une troisième droite alors l autre est perpendiculaire à cette troisième. onc les droites (G) et () sont perpendiculaires. c. après la propriété : Si un quadrilatère à trois angles droits alors c est un rectangle lors G est un rectangle. d. On sait que G est un rectangle après la propriété : Si un quadrilatère est un rectangle alors c est diagonales sont de la même longueur. onc G =. xercice n 24: Parallélogramme Rectangle Losange arré 2 paires de côtés parallèles X côtés consécutifs perpendiculaires X côtés opposés de même longueur X côtés consécutifs de même longueur X diagonales se coupent en leur milieu X diagonales de même longueur diagonales perpendiculaires angles opposés égaux X xercice n 25 : a) Un trapèze étant ses deux bases de même longueur. parallélogramme b) Un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur. parallélogramme c) Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur. losange d) Un parallélogramme ayant un angle droit. rectangle e) Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. parallélogramme f) Un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. rectangle g) Un quadrilatère ayant des diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu. losange h) Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et qui n'est pas un losange. quelconque i) Un quadrilatère ayant une diagonale pour axe de symétrie et qui n'est pas un losange. quelconque. TVT 6 :

11 - NGLS JNTS : 1. Observe les figures et leurs légendes, puis complète la description de deux angles adjacents. xoy et zot xoy et yoz xoy et xoz ne sont pas adjacents sont adjacents ne sont pas adjacents eux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun et son situés de part et d autre de ce côté t 2. tv = tu+ uv = = v u x z 3. Les angles xy et xz ne sont pas adjacent car ils n ont pas le même sommet. y - NGLS OMPLMNTRS T NGLS SUPPLMNTRS Paires d angles complémentaires Paires d angles complémentaires a+ e = = 90 b+ d = = 90 NGLS OPPOSS PR L SOMMT c+ f = = 180 g+ b = = ans la symétrie centrale, le symétrique d un angle est un angle de même mesure. onc 3. = sont deux angles opposés par le sommet =

12 NGLS LTRNS-NTRNS 1. onstruis les symétriques et des points et par rapport au point. ' ' 2. ans la symétrie centrale, le symétrique d un angle est un angle de même mesure. onc Les droites () et ( ) sont parallèles. = ' '