FONCTION AFFINE a et b étant deux nombres fixés, on appelle fonction affine tout processus opératoire qui au nombre x associe le nombre ax + b :

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1 ONCTIONS AINES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ONCTION LINEAIRE Soit a un nombre fié. On appelle fonction linéaire de coefficient a le processus opératoire qui au nombre associe le produit a. «je multiplie par a» Une fonction linéaire de coefficient a nommée f se note f : a a ( On lit «la fonction f qui à associe a) Eemple : La fonction f : a est une fonction linéaire de coefficient - L image d un nombre par une fonction f se note f ( ). Eemple : Soit la fonction f : a 7. Calcul de l image de - par la fonction f On a : f ( - ) = 7 ( - ) = est l image de par la fonction f ; on note f( ) = -14 Représentation graphique La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine du repère. Eemple : La représentation graphique de la fonction linéaire f : a est la droite D passant par l origine et par le point A( ; - 6 ) En effet f ( ) = - = - 6 La droite D a alors pour équation y = - et on dit que - est le coefficient directeur de la droite D. y = f() 1 4 A( ; -6 ) ONCTION AINE a et b étant deu nombres fiés, on appelle fonction affine tout processus opératoire qui au nombre associe le nombre a + b : on multiplie par a puis on ajoute b a a + b Une fonction affine nommée f se note f : a a + b ( On lit «la fonction f qui à associe a + b) Eemples : 1. La fonction f telle que : a est une fonction affine avec a = et b = -. Soit g la fonction telle que : a - 8 est l image de par la fonction g car g ( - ) = ( - ) - = - 6 = - 8. On note g ( - ) = - 8 Cas particuliers

2 La fonction linéaire définie par f ( ) = a est une fonction affine avec b = 0 La fonction constante définie par f ( ) = b est une fonction affine avec a = 0 Représentation graphique La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l ordonnée à l origine. Eemple : La représentation graphique de la fonction linéaire f : a est la droite D passant par le point A ( 4 ; 5 ) et le point B ( -1 ; - 5) En effet f (4 ) = 4 = 5 et f ( - 1 ) = ( - 1 ) = - 5 La droite D a alors pour équation y = - On dit que est le coefficient directeur et que f ( 0 ) = - est son ordonnée à l origine. Remarque : La représentation graphique d une fonction constante est une droite qui est parallèle à l ae des abscisses. B ( -; -5 ) y = f() A( 4; 5) ordonnée à l'origine * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Eercices d entraînement Eercice n 1 : Brevet Juin 005 : GROUPE EST - problème Un théâtre propose deu tarifs pour la saison : - Tarif S : 8 par spectacle. - Tarif P : achat d une carte de 0 donnant droit à un tarif préférentiel de 4 par spectacle. 1. Recopie et compléter le tableau suivant, sachant que M. Scapin a choisi le tarif S et M. Purgon, le tarif P. Nombre de spectacles Dépense de M. Scapin en Dépense de M. Purgon en. On suppose maintenant que M. Scapin et M. Purgon ont chacun assisté à spectacles.. Eprimer, en fonction de, le pri s() payé par M. Scapin puis le pri p() payé par M. Purgon.. Résoudre l équation 8 = A quoi correspond la solution de cette équation? Sur une feuille de papier millimétré, mettre en place un repère orthogonal ( placer l origine O en bas à gauche, prendre 1 cm pour 1 spectacle sur l ae des abscisses et 1 cm sur l ae des ordonnées ). 4. Représenter graphiquement les fonctions s et p définies respectivement par s() = 8 et p() = Déterminer par lecture graphique, en faisant apparaître sur le dessin les tracés nécessaires : a. le résultat de la question. b. le tarif le plus avantageu pour un spectateur qui assisterait à 8 spectacles durant la saison. c. le tarif le plus avantageu pour M. Harpagon qui ne souhaite pas dépenser plus de 50 pour toute la saison. A combien de spectacles pourra-t-il assister? retrouver ce dernier résultat par le calcul. Eercice n : Brevet Juin 005 : GROUPE NORD - problème M. Martin habite Petitville. M. Gaspard habite à une distance de 900 km de Petitville.

3 A huit heures du matin, les deu personnes commencent à rouler l une vers l autre : - M. Martin quitte Petitville en roulant à 60 km/h. - M. Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90km/h. On note le temps écoulé depuis huit heures du matin ( est eprimé en heures). Ainsi, quand l est huit heures du matin, = 0. Après avoir roulé une heure, c est-à-dire quand = 1, M. Martin est à 60 km de Petitville et M. Gaspard est lui à 810 km de Petitville. 1. A quelle distance de Petitville, M Martin se situe-t-il? : quand = 4 quand = 10. A quelle distance de Petitville, M Gaspard se situe-t-il? : quand = 4 quand = 10. Eprimer en fonction de la distance qui sépare M. Martin de Petitville. Eprimer en fonction de la distance qui sépare M. Gaspard de Petitville. 4. On donne les fonctions f : a 60 et g : a Recopier les tableau suivants et les compléter : f() g() 5. Représenter graphiquement les fonctions f et g sur une feuille de papier millimétré en prenant : - en abscisse : 1 cm pour une durée d une heure ; - en ordonnée : 1 cm pour une distance de 100 km. 6. A l aide d une lecture graphique, déterminer : a. la durée au bout de laquelle les deu personnes se croisent. b. A quelle distance de Petitville se croisent-il? aire apparaître les pointillées nécessaires. 7. a. Retrouver le résultat de la question 6.a., en résolvant une équation. b. Retrouver le résultats de la question 6.b., par le calcul. Eercice n : Brevet Juin 005 : GROUPE SUD - problème On dispose d un séjour rectangulaire dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire. Pour cela, on veut installer une cloison. Voici ci-dessous une représentation de la pièce. La partie est le cagibi et la partie représente le séjour après la création du cagibi. La cloison a été dessinée en pointillés. Dans l eercice, on considèrera que la cloison a une épaisseur nulle. Les trois parties sont indépendantes. A 1 m D 4 m B Partie I On considère ici que = cm. 1. Quelle est la longueur de la cloison ( en pointillés)?. Calculer la valeur ( à 1 près) de angle HDC?. Calculer la valeur ( à 1 près ) de l angle DHB? Partie II 1. a. Eprimer la surface au sol du cagibi en fonction de, sous la forme f() = b. Eprimer la surface au sol du séjour en fonction de, sous la forme g() = H m C

4 . On admet que f() = et que g() = 48. a. Quelle est la nature de la fonction f? Quelle est la nature de la fonction g? b. Tracer dans un repère ( en abscisses : 1 cm pour 0,5 unité et en ordonnées 1 cm pour 5 unités) les représentations graphiques des fonctions f et g pour compris entre 0 et 10.. On veut que le séjour ait une surface minimale de 5 m². a. Lire sur le graphique la valeur maimale de pour que cette condition soit respectée. b. Ecrire une inéquation qui traduise que la surface de séjour doit être supérieure ou égale à 5 m². c. Résoudre cette équation. Partie III On réalise une maquette de cette pièce, avant la création du cagibi, à l échelle 1/ Rappeler ce que signifie «échelle 1/00».. Quelle sera, sur la maquette, la longueur du mur de 1 m?. La surface réelle du séjour est de 48 m². Quelle est la surface du sol du séjour dans la maquette ( en cm²). 4. Le volume du séjour de la maquette st 1,15 cm. Quel est le volume réel du séjour ( en cm, puis en m )? Eercice n 4 : 1. Question de cours Soit f la fonction définie par : f ( ) = a. a. Quelle est la nature de cette fonction? b. Quelles est la nature de sa représentation graphique? c. Comment appelle-ton le nombre a? En donner une interprétation graphique. f (5) d. On effectue le calcul. Que calcule-t-on? 5 e. On sait que f ( 7 ) =. Détermine la fonction f en écrivant f ( ) en fonction de. La représenter graphiquement.. Vrai-fau Questions Réponses 5 Soit f la fonction définie par f ( ) = a. f est une fonction linéaire. V b. L image de 6 par f est un nombre entier V c. Un nombre peut avoir plusieurs images par cette fonction? V 5 V d. L antécédent de 1 par f est e. Le point A ( ; 5 ) est sur la représentation graphique de f V Eercice n 5 : Dans le repère ci-dessous, on a tracé la représentation graphique d une fonction f.

5 4 b B J A 0 I 5 d 1. Justifier que la fonction f est une fonction linéaire.. En utilisant point A, montrer que f ( ) =.. En laissant des traces graphiques, a) Déterminer l image de 6 par f ; b) Lire l antécédent de par f. 4. Retrouver les résultats de la question précédente par le calcul. 5. Un élève affirme que la valeur eacte de b est,4. A-t-il raison? Justifier. Eercice n 1 : 1. CORRIGE

6 Nombre de spectacles Dépense de M. Scapin en 7 10 Dépense de M. Purgon en Avec le Tarif S, on a : 4 8 = ( ) 9 8 = 7 ( ) 15 8 = 10 ( ). s ( ) = 8 et p ( ) = Résolution de l équation 8 = On a : 8 = = 0 4 = 0 0 = 4 = 5 L équation admet comme solution 5. M. Scapin et M. Purgon paieront le même pri pour 5 spectacles Avec le Tarif P, on a : = 6 ( ) = 56 ( ) = 80 ( ) 4. Représentation graphique des fonction s et p. Soit ( D 1 ) la droite représentative de la fonction s. s est une fonction linéaire d équation y = y 0 40 Soit ( D ) la droite représentative de la fonction p. p est une fonction affine d équation y = y a. Graphiquement l abscisse du point d intersection des droites ( D 1 ) et ( D ) est 5. C'est-à-dire lorsque le pri payé est le même pour M. Scapin et M. Purgon. ( On retrouve donc le résultats de la question. ) b. Soit ( D ) la droite d équation = 8. On constate que l ordonnée du point d intersection de (D) avec D ), donc le tarif P est plus ( D ) est inférieure à l ordonnée du point d intersection de ( D ) avec ( 1 avantageu que le tarif S. c. Soit ( D ) la droite d équation y = 50. L abscisse du point d intersection de ( D ) avec ( D 1 ) est comprise entre 6 et 7. L abscisse du point d intersection de ( D ) avec ( D ) est comprise entre 7 et 8. Donc pour un pri de 50 maimum, M. Harpagon devrait choisir le tarif P ou il pourra assister à 7 spectacles. Par le calcul, on a : Avec le Tarif S ,5 Il peut assister à 6 spectacles Avec le Tarif P ,5 Il peut assister à 7 spectacles. Le Tarif P est donc le plus intéressant.

7 y Dépenses ( en ) D Tarif S D 1 Tarif P 65 D D' Nombre de spectacles Eercice n : 1. Distance parcourue par M. Martin quand = 4 (h) On a : 4 60 = 40. M. Martin se trouve à 40 km de Petitville quand il roulé 4 heures. Distance parcourue par M. Martin quand = 10 (h) On a : = 600. M. Martin se trouve à 600 km de Petitville quand il roulé 10 heures.. Distance de Petitville quand M. Gaspard a roulé 4 heures. On a : = = 540. M. Gaspard se trouve à 540 km de Petitville quand il roulé 4 heures. Distance de Petitville quand M. Gaspard a roulé 10 heures. On a : = = 0. M. Martin se trouve à Petitville quand il roulé 10 heures.. Epression en fonction de de la distance parcourue. Pour M. Martion : distance = 60 Pour M. Gaspard : distance = Soient les fonctions : f : a 60 et g : a

8 f() g() Représentations graphiques Soit d la droite représentative de la fonction linéaire f Soit d la droite représentative de la fonction affine g y Distance ( en km ) d d' Durée (en h) 6. a. Durée au bout de laquelle les deu personnes se croisent. Graphiquement la durée est l abscisse du point d intersection des deu droites, c'est-à-dire 6 heures. b. La distance de Petitville au bout de laquelle les deu personnes se croisent. Graphiquement la distance est l ordonnée du point d intersection des deu droites, c'est-à-dire 60 km. 7. a. Il faut résoudre l équation f ( ) = g( ) Soit 60 = = = 900 = 900 : 150 = 6 La solution de l équation est 6 Durée au bout de laquelle les deu personnes se croisent b. Il faut calculer l image de 6 soit par la fonction f ou soit par la fonction g. En prenant la fonction f, on a : pour = 6, f ( 6 ) = 60 6 = 60 La distance de Petitville au bout de laquelle les deu personnes se croisent.

9 Eercice n : Partie I 1. Longueur de la cloison HD Dans le triangle DCH rectangle en C, d après le théorème de Pythagore, on a : HD ² = HC ² + CD ² HD ² = ² + 4 ² HD ² = 5 HD = 5 HD = 5 Conclusion : La longueur de la cloison est 5 m. Calcul de la mesure de l angle HDC HC Dans le triangle DCH rectangle en C, on a : tan HDC = = = 0, 75. d où HDC 7 DC 4. Calcul de la mesure de l angle DHB Calcul de l angle CHD Sachant que dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires, alors : HDC + CHD = 90 soit CHD = 90 HDC Calcul de l angle DHB Comme BHC est un angle plat, alors DHB = 180 DHC Conclusion : La mesure de l angle DHB est environ 17 Partie II 1. a. Surface du sol du cagibi en fonction de DC HC 4 On a : f ( ) = = =. f ( ) = b. Surface du so ; du séjour en fonction de DC HC On a : g( ) = AD DC = 1 4 = 48. g ( ) = 48. a. Nature de la fonction f La fonction f est une fonction linéaire La fonction g est une fonction affine b. Représentations graphiques des fonctions Soit la droite d la représentation graphique de la fonction f f() 0 0 Soit la droite d la représentation graphique de la fonction g. 0 9 g() 48 0

10 y L'aire en m² A d' , d Longueur HC en m. a. Graphiquement, la valeur minimale de pour laquelle le séjour ait une surface minimale de 5 m² est l abscisse du point, soit 6,5 (m) b. Inéquation qui traduit que la surface du séjour doit être supérieure ou égale à 5 m² Il faut g ( ) 5, l inéquation est donc 48 5 c. Résolution de l inéquation : 6,5 Conclusion : Tous les nombres inférieures ou égau à 6,5 sont solutions. On retrouve la solution de la question.a. Partie III 1. Signification de l échelle 1/00 Une échelle au 1/00 signifie que 1 cm sur la maquette représente 00 cm dans la réalité.. Longueur du mur de 1 m sur la maquette. On a : 1 m = 1 00 cm 100 D où = 6. Sur la maquette le mur de 1 m mesure 6 cm 00. Surface du sol du séjour sur la maquette 1 Soit k le coefficient de réduction, on a : k = Soit A la surface du séjour de la maquette, on a : A = k 48 = 48 = 0, Avec 0,001 m² = 1 cm², la surface du séjour sur la maquette est de 1 cm² 4. Volume réel du séjour 1 Soit V le volume réel du séjour, on a : V k = V = 1, D où : V = 1,15 00 = Avec cm = 105 m, le volume du séjour est de 105 m

11 Eercice n 4 :. Question de cours Soit f la fonction définie par : f ( ) = a. f. Quelle est la nature de cette fonction? Le processus est «Je multiplie par a». la fonction f est donc une fonction linéaire. g. Quelles est la nature de sa représentation graphique? La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine du repère. h. Comment appelle-ton le nombre a? En donner une interprétation graphique. a est appelé coefficient directeur. Il oriente ( dirige) la droite ( la droite monte si a est positif et elle descend si a est négatif.) i. On effectue le calcul f (5). Que calcule-t-on? On calcule le coefficient directeur. 5 j. On sait que f ( 7 ) =. Détermine la fonction f en écrivant f ( ) en fonction de. La représenter graphiquement. La fonction f est définie par : f ( ) = a. Cherchons le coefficient a. Avec f ( 7 ) =, on a : = 7 a soit a = 7 La fonction f est f ( ) = 7. Représentation graphique de la fonction f : f ( ) = f( ) 0 f ( 0 ) = 7 0 = 0 et f ( 7 ) = 7 7 = f()

12 . Vrai-fau Questions Soit f la fonction définie par f ( ) = 5 Réponses f. f est une fonction linéaire. V g. L image de 6 par f est un nombre entier V h. Un nombre peut avoir plusieurs images par cette fonction? V i. L antécédent de 1 par f est 5 V j. Le point A ( ; 5 ) est sur la représentation graphique de f V Eercice n 5 : Dans le repère ci-dessous, on a tracé la représentation graphique d une fonction f. 4 b B J A 0 I 4,55 6 d 1. Justifier que la fonction f est une fonction linéaire. La représentation graphique est une droite qui passe par l origine du repère.. En utilisant point A, montrer que f ( ) =. Vérifions que les coordonnées ( ; ) du point A appartient à la droite d. Pour =, on a f ( ) = =. Donc le point A appartient à la droite d qui est la représentation graphique de la droite de f. Ainsi : f ( ) =.. En laissant des traces graphiques, c) Déterminer l image de 6 par f ; L image de 6 par f est 4 d) Lire l antécédent de par f. L antécédent de par f est 4,5. 4. Retrouver les résultats de la question précédente par le calcul.

13 1 Pour l image de 6 par f, on a : f ( 6) = 6 = = 4 L image de 6 est donc 4 9 Pour l antécédent de, on a à résoudre : = soit = : = = = 4, 5 L antécédent de est donc 4,5. On retrouve les résultats de la question. 5. Un élève affirme que la valeur eacte de b est,4. A-t-il raison? Justifier. Si la valeur eacte de b est,4, alors l image de 5 est,4. 10 On a : f ( 5 ) = 5 =,. Conclusion : La valeur eacte de b n est pas,4