Milieux, parallèles et triangles

Transcription

1 hapitre. Milieux, parallèles et triangles.théorème de la droite des milieux Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux cotés dans le socle est le milieu de [] llustration: Dans, est le milieu de [] donc () // () Démonstration On considère un triangle quelconque. On le milieu de [] et le milieu de []. On appelle K le point tel que K soit un parallélogramme.. 1) K est un parallélogramme. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc (K ) // ( ) et K =. ) Dans K, est le milieu de [] donc = et on sait que K =. Donc K = () et () étant confondues, on a (K) // ( ) Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Donc K est un parallélogramme. K 3) K est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Donc () // ( K) et = K ( ) // ( K) et,, et K sont alignés. Donc ( ) // ().. milieux de cotés et longueurs Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du troisième. dans le socle est le milieu de [] llustration: Dans, est le milieu de [] donc = 1 Démonstration. vec la figure et les résultats de la démonstration du. omme est le milieu de [K] = 1 K donc = 1. Milieux et parallèles Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. pas dans le socle est le milieu de [] llustration: Dans, () est parallèle à (). Donc est le milieu de [] Démonstration On considère un triangle. On note le milieu de []et le milieu de [].

2 La parallèle à () passant par coupe () en K. 1) dans le triangle, est le milieu de [] et est le milieu de [] Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés donc ( ) // ( ). Or ( K ) // () Par un point extérieur à une droite, il ne passe qu'une seule droite parallèle à cette droite. Donc (K) et ( ) sont confondues. ) Les points et K sont tous les deux l'intersection des droites () et ( ). ls sont donc confondus. V. Théorème de l'égalité des trois rapports appelé aussi théorème de proportionnalité dans les triangles pas dans le socle Dans un triangle, si M [] [], alors M = = M (M) // () exemple 1: Résolution d'un exercice type. On considère le triangle tel que = 6 = 8 et = 9 On note le point M sur {] tel que M = On note le point sur [ ] tel que les droites (M) et () sont parallèles. alculer et M. M [] Dans le triangle, [], (M) // () M On peut appliquer le théorème de Thales: = = M En particulier, M = Donc = M = 9 6 = 3 d' M d M = M Donc M = M M = 8 6 M = 8 3 M = 8 3 Une démonstration inspiré de la proposition du livre V des Eléments d'euclide Première partie Soit a, b, c et d strictement positifs. Montrer que si a b = c d, alors a a + b = c c + d Deuxième partie 1) On considère un triangle quelconque. On note M un point de []. La droite parallèle à () passant par M coupe () en. On note le pied de la hauteur issue de de M et ' le pied de la hauteur issue de de M. (') et () sont perpendiculaires à (M). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc (') est parallèle à (). On sait déjà par construction que (') est parallèle à (). Le quadrilatère ' a donc ses côtés opposés parallèles deux à deux. 'est donc un parallélogramme. De plus, il a un angle droit en. Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle. Donc ' est un rectangle. ' M H H' Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur. Donc = '.

3 ) On note M et M les aires de M et M M = 1 M Or = '. M = 1 M ' Donc M = M 3) On note H le pied de la hauteur issue de du triangle M. M = 1 M H et M = 1 M H 1 M H M M = donc = M M 1 M H M M. 4) On note H' le pied de la hauteur issue de M du triangle M. M = 1 M H'M et M = 1 M H'M donc M = M. Or M = M donc Troisième partie M M = M M donc M M =. M M = M donc d'après la première partie, M + M = + Or M [] donc = M + M et [] donc = +. Donc M =. Quatrième partie on note et ' les pieds de perpendiculaires à (M) et () passant par. Par démonstration analogue à la précédente, on a M = ' =. De plus, on a ' = = ' et ['] donc ' = + ' = 1 ' = M + M + M = 1 M + 1 ' + 1 M ' M H H' = 1 ( M + + M ) = 1 ( M ( + ) + ) = 1 (M ' + ) Donc ' = M ' + ' = M ' + (' ) = M ' (' ') = M ' = M ' ' = M ' d' d (M [) orollaire: dans un triangle, si ( [), (M) // () alors M = = M Effectivement, si deux nombres sont égaux, leurs inverses le sont aussi. M

4 V. Utilisation de ces théorèmes pour les droites remarquables du triangle: Rien dans les programmes de quatrième ne parle de cette partie. Toutefois, les programmes de cinquième énoncent le résultat et il y est indiqué que la démonstration est possible en quatrième. ela ne fait pas partie du socle. 1) Les médianes d'un triangle Définition: une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. Un segment-médiane d'un triangle est un segment dont les extrémités sont un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. ) Un théorème dans le triangle ut: peut-on prouver les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point? ases du problème ' On note ' le milieu de []. On note ' le milieu de []. ' On note ' le milieu de []. Les droites ( ') et ( ') se coupent en G. G On veut montrer que ce point G est également sur la droite ( ') ' On note " le symétrique de par rapport à G. Etape 1: (') et (') sont deux médianes de, et se coupent en G. " est le symétrique de par rapport à G, par définition du symétrique d'un point par une symétrie centrale, G est le milieu de ["]. Etape : Dans le triangle ", G est le milieu de [ " ] { ' est le milieu de [ ] Dans un triangle la droite passant par les milieux de deux côtés Donc (G') est parallèle à ("). Or, ' et G sont alignés, donc (G') et (G) sont confondues. Donc (G) // ("). Etape 3: (G) // ( " ) {( G ) // (") Si un quadrilatère à ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Donc G" est un parallélogramme. Dans le triangle ", G est le milieu de[ " ] { ' est le milieu de[ ] Dans un triangle la droite passant par les milieux de deux côtés Donc (G') est parallèle à ("). Or, ' et G sont alignés, donc (G') et (G) sont confondues. Donc (G) // ("). G" est un parallélogramme { ' est le milieu de[ ] Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Donc [G"] et [] ont le même milieu. Donc ' est le milieu de [G"]. Etape 4: ' est le milieu de [G"], donc ' (G"). Or (G") Donc, ', G et " appartiennent à (') qui est la troisième médiane de G est un point commun à ('), (') ('). onclusion: "les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un même point." Position de G sur le segment médiane: G appartient à ['] Donc ' = G + G' soit G = ' G'. ' est le milieu de [G"] Donc G' = 1 G" et G est le milieu de ["], donc G" = G Donc G' = 1 G Donc G = ' 1 G G + 1 G = ' 3 G = ' donc G = 3 '. Théorème: les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. On a de plus: 3 ' G = 3 G = ' G = 3 '

5 utre formulation: le centre de gravité se trouve aux deux tiers des segments-médianes à compter des sommets. orollaire: le centre de gravité d'un triangle se situe au tiers des segments-médianes à compter des milieux des côtés.