Cours BTS Calcul matriciel

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1 Cours BTS Calcul matriciel S. B. Lycée des EK

2 s Notation On appelle matrice tout tableau de nombres réels ou complexes disposés sous la forme d un rectangle : a 1,1 a 1, a 1,p a 2,1 a 2, a 2,p a n,1 a n, a n,p n est le nombre de lignes et p est le nombre de colonnes. La matrice est dite de type (n, p).

3 s Notation ( ) est une matrice de type (2, 3) comportant deux lignes et trois colonnes.

4 s Notation Si la matrice comporte le même nombre de lignes et de colonnes, il s agit d une matrice carrée. Par exemple la matrice carrée de type (3, 3) :

5 s Notation Si la matrice ne comporte qu une ligne, il s agit d une matrice ligne. Par exemple ( )

6 s Notation Si la matrice ne comporte qu une seule colonne, on dit que 1 c est une matrice colonne : 3 2 Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls.

7 s Notation On note généralement a i,j le terme ou coefficient d une matrice où i désigne le numéro de la ligne et j le numéro de la colonne. On notera alors (a i,j ) 1 i n,1 j p une matrice ayant n lignes et p colonnes.

8 s Notation Dans la matrice ( ), on a a 2,3 = 0.

9 Deux matrices sont égales si et seulement si ces matrices sont de même type, c est-à-dire qu elles ont le même nombre de lignes et de colonnes, et si leurs coefficients de mêmes indices sont égaux deux à deux.

10 Propriétés Soient A = (a i,j ) et B = (b i,j ) deux matrices (n, p), c est-à-dire deux matrices à n lignes et p colonnes. Alors A + B = (a i,j + b i,j ). A + B est encore une matrice de type (n, p). Les matrices s additionnent "termes à termes". On note A la matrice opposée de A soit A = ( a i,j ) et on définit A B par A + ( B).

11 Propriétés On ne peut additionner des matrices que si elles sont de même type (même nombre de lignes et de colonnes). A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + O = A où O est la matrice nulle, la matrice de même type que A ne comportant que des zéros. A + ( A) = A A = O

12 Propriétés Soit A = (a i,j ) une matrice (n, p), et λ R (ou C). On pose : λa = (λa i,j ). La matrice λa est donc obtenue en multipliant tous les coefficients de la matrice A par λ et elle est du même type que A. Remarque : L écriture Aλ n existe pas.

13 Propriétés λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa λ(µa) = (λµ)a 0A = O

14 Propriétés s Pour pouvoir calculer le produit de deux matrices A et B, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde. Pour obtenir le terme de la i-ème ligne et de la j-ième colonne d une matrice produit, il faut multiplier chacun des termes de la i-ème ligne de la première matrice par chacun des termes de la j-ième colonne de la seconde matrice en respectant l ordre, et additionner alors les produits obtenus.

15 Propriétés s Soit A = (a i,j ) une matrice (n, m) et B = (b i,j ) une matrice (m, p) ; alors le produit C = A B = AB est une matrice (n, p) définie par C = (c i,j ) avec c i,j = 1 k m a i,k b k,j

16 Propriétés s A (B C) = (A B) C A (B + C) = A B + A C (B + C) A = B A + C A A (λb) = (λa) B = λ(a B) si A est une matrice carrée (n, n) et si I est une matrice carrée (n, n) telle que tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et tous les autres coefficients sont nuls, alors A I = I A = A si A est une matrice carrée (n, n) alors A A est noté A 2. Attention : même si les deux produits A B et B A existent, en général A B B A

17 Propriétés s ( ) = ( ( 1) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 5 ) ( 1) 1 ( 2) ( ) 9 1 = 10 7

18 Propriétés s ( ) = ( 1) ( 1) ( 1) =