ou, n et p deux entiers naturels non nuls. colonne j 1,1 1,p ligne i i,j n,1 n,p
|
|
- Camille Laviolette
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre désigne ou, n et p deux entiers naturels non nuls. 1. L'ensemble M n,p() 1.1 Définition et vocabulaire Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans, toute famille de indexée par = 1;n 1;p. On note A = (a i,j) (i,j) et on représente A sous forme de tableau. a a colonne j 1,1 1,p a i,j a a n,1 n,p ligne i Proposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients. Notation: L'ensemble des matrices nxp à coefficients dans est noté M n,p() Vocabulaire: La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on la note 0 n,p. Si n = 1 A est une matrice ligne. Si p = 1, A est une matrice colonne Si n = p A est une matrice carrée d'ordre n. On note L i(a) = (a i,1,...,a i,p) la ième ligne de A et C j(a) = 1.2 Combinaisons linéaires de matrices a a 1,j n,j la jème colonne de A. Def: Soit A = (a i,j) (i,j) et B = (b i,j) (i,j), deux matrices de M n,p() et. On définit une loi interne d'addition en posant A+B = (a i,j+b i,j) (i,j) On définit une loi de produit externe en posant A = (a i,j) (i,j) Proposition 12.2: Soit A, BM n,p() et,, on a les règles de calcul suivantes : Propriétés de l addition (A+B)+C = A+(B+C) A+0 n,p = 0 n,p+a A+(-A) = (-A)+A = 0 n,p où A = (-a i,j) (i,j) A+B = B+A Propriétés de la multiplication par un scalaire (A+B) = A + B et (+)A = A + B (A) = ()A 1 lk.a = A Remarque : On verra ultérieurement que l ensemble M n,p() muni des deux opérations précédentes est un lk-espace vectoriel. Notation: Soit i et j deux entiers naturels. Le symbole de Kronecker ij est un entier qui vaut 1 si i = j et 0 sinon
2 Def: On note E i,j la matrice ( k,i. l,j) (k,l). C est à dire la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à la ligne i et à la colonne j Proposition 12.3 : Soit AM n,p(), A s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des matrices (E i,j) (i,j) : n p A a E a E i,j i,j i,j i,j i1 j1 j1 i1 p n Remarques : On verra ultérieurement que ces matrices forment une base de M n,p() appelée base canonique. 1.3 Produit de deux matrices Def : Soit n, p, m * et A = (a ij)m n,p() et B = (bij)m p,m(). On définit la matrice ABM n,m(lk) par AB = (c i,j) avec Pour tout (i,j) 1;n 1;m, c, i,j = p k1 a b a b a b... a b ik kj 1 i 1 j i 2 2 j ip pj b b b b b b b b b a a a c c c 1,1 1,k 1,p a a a c c c i,1 i,k i,p a a a c c c 1,1 1,j 1,m k,1 k,j k,m p,1 p,j p,m 1,1 1,j 1,m i,1 ij i,m n,1 n,k n,p n,1 n,j n,m Attention : Le produit matriciel a des propriétés différentes du produit de deux réels : Le produit AB n est pas toujours défini : il existe à condition que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Ce n'est pas une loi interne excepté dans le cas particulier des matrices carrées. Le produit n'est pas commutatif, même dans le cas de deux matrices carrées. Il existe A et B non nulles telles que AB = 0 donc la règle du produit nul est fausse. Si AB = AC on ne peut pas en déduire que B = C. Proposition 12.4 : Soit A M n,p(), B M p,m(), X M p,1() et Y M 1,n() a a a 1,1, 1,2 1,p x a x a x 1 1,1 1 1,p p a a a x 1,2, 2,2 2,p 2 a x a x 2,1 1 2,p p AX = = a a a x n,1 n,2 n,p p a x a x n,1 1 n,p p YA = y 1L 1(A) + y 2L 2(A) y nl n(a) = x 1C 1(A) + x 2C 2(A) +...+x pc p(a)
3 j 1,m, C j(ab) = A.C j(b) i 1,n, L i(ab) = L i(a).b i 1,n, j 1,m, c ij = L i(a).c j(b) avec C = AB Application: Ecriture matricielle d un système linéaire: Soit (S) un système de taille np et de matrice augmentée (A B). x 1 x2 Si on note X =, on a (S) AX = B et le système homogène associé est (H) AX = 0 x p Proposition 12.5: Propriétés du produit matriciel. AM n,p(), BM p,q(), CM q,m(), A(BC) = (AB)C AM n,p(), B,CM p,m(), A,BM n,p(), CM p,m(), lk, AM n,p(), BM p,m(), A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC (AB) = (A)B = A(B) AM n,p(), I n.a = A.I p = A où I n = = ( i,j) 1 i,j n Cas particulier important: Multiplication à droite et à gauche par E i,j. AM n,p(), E i,jm p,m(), A.E i,j est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf la jème colonne qui contient la ième colonne de A. AM p,m(), E i,jm n,p, E i,j.a est la matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf la ième ligne qui contient la jème ligne de A. Lorsque le produit est bien défini, E i,j.e k,l = j,ke i,l 1.4 Transposition Def: Soit AM n,p() avec A = (a i,j). La transposée de A est la matrice de M p,n() définie par t A = (a j,i) Dans la pratique: les lignes de A sont les colonnes de t A et inversement. Proposition 12.6: Propriétés de la transposition La transposition est linéaire c'est à dire, A,BM n,p(),,, t (A+B) = t A + t B AM n,p(), t ( t A) = A AM np(), BM p,m(), t (AB) = t B t A 2. Les matrices carrées 2.1 Calculs dans M n() Def: Une matrice nxn est appelée matrice carrée d'ordre n. L'ensemble de ces matrices est noté M n().
4 D après le paragraphe précédent : Toute matrice carrée s écrit comme combinaison linéaire des matrices (E i,j) 1 i,j n Soit A et B deux matrices carrées d ordre n, le produits matriciels AB existe et donne une matrice carrée d ordre n. Le produit est donc une opération interne dans M n(lk) En général on a AB BA. Lorsque AB = BA, on dit que A et B commutent Pour toute matrice carrée A, AI n = I na = A Def : On peut définir des puissances entières dans M n() de la façon suivante : AM n(), A 0 = I n et k, A k+1 = A k.a = A.A k Proposition 12.7 : Si A et B commutent dans M n() alors on peut appliquer les formules du binôme et de Bernoulli. m, (A+B) m = m m k mk m k mk m A B B A k k et A m B m = (A-B) k0 k0 2.2 Matrices carrées particulières a) Matrices diagonales Def: Soit AM n(). m1 k0 k A B m 1 k A = (a i,j) est diagonale ssi (ij a i,j = 0) Si A est diagonale et si i 1;n, a ii =, A = I n est dite scalaire. Exemple: D = diag(d 1,...d n) Notation: D n() est l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n. Proposition 12.8 : Toute combinaison de matrice diagonales est une matrice diagonales diag(d 1,...d n) diag(d' 1,...,d' n) = diag(d 1d' 1,...,d nd' n) p, (diag(d 1,...,d n)) p = diag(d 1 p,...,d n p ) b) Matrices triangulaires Def: Soit AM n(). A = (a i,j) est triangulaire supérieure lorsque tous ses coefficients situés sous sa diagonale sont nuls c est à dire que (i > j a i,j = 0). A = (a i,j) est triangulaire inférieure lorsque tous ses coefficients situés au-dessus de sa diagonale sont nuls c est à dire que (i < j a i,j = 0). Exemple: T triangulaire supérieure. Notations: On note T n + () (resp T n - ()) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de M n().
5 Proposition 12.9 : Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure. Dans les deux cas la diagonale du produit est (t 11t' 11,...,t nnt' nn). c) Matrices symétriques et antisymétriques Def: Soit AM n() A est symétrique lorsque t A = A c est à dire que i,j 1;n, a j,i = a i,j A est antisymétrique lorsque t A = -A c est à dire que i,j 1;n, a j,i = - a i,j Remarque: Une matrice antisymétrique est nécessairement de diagonale nulle. Notation: On note S n() l'ensembles des matrices symétriques et A n() celui des matrices antisymétriques. 3. Matrices carrées inversibles 3.1 Le groupe linéaire GL n() Def: Soit AM n(). A est inversible lorsque il existe BM n() tel que AB = BA = I n. Dans ce cas, B est unique, est appelé inverse de A et noté A -1. Attention : 0 n n est pas inversible mais il existe des matrices non nulles non inversibles. Exemples à connaître: Une matrice diagonale est inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Si D = diag(d 1,...d n) avec i 1;n d i0 alors D -1 = diag(d 1-1,...,d n -1 ). I n est inversible et I n -1 = I n. Notation/vocabulaire: L'ensemble des matrices inversibles est noté GL n() et appelé groupe linéaire d ordre n. Remarque : Si une matrice A est inversible alors AB = AC A -1 (AB) = A -1 (AC) (A -1 A)B = (A -1 A)C B=C On peut donc "simplifier par A" l'égalité AB = AC. Proposition 12.10: Compatibilité avec les opérations matricielles: Soit A, BGL n() et *. A est inversible et (A) -1 1 = A 1 AB est inversible et (AB) -1 = B -1 A -1 t A est inversible et ( t A) -1 = t (A -1 ) 3.2 OEL, matrices élémentaires : Rappels du chapitre 11 : Il y a trois type d OEL pour les matrices : Les permutations ( L i L j ), les dilatations ( L i L i ) et les transvections (L i L i + L j ) Deux matrices A et A sont équivalentes en ligne lorsqu on peut passer de l une à l autre par une succession d OEL. On note A A' L Def : Soit un scalaire non nul, on appelle matrices élémentaires les matrices carrées suivantes : Les matrices de permutation : P i,j obtenue en appliquant L i L j à I n. P i,j = I n - E i,i - E j,j + E i,j + E j,i les matrices de dilatations : D i obtenue en appliquant L i L i à I n. D i = I n + (-1)E i,i
6 Les matrices de transvections T ij obtenue en appliquant L i L i + L j à I n. T ij = I n + E ij Proposition : Soit A une matrice de M n,p() L'opération L i L j correspond à multiplier à gauche par P i,j L'opération L i L i correspond à multiplier à gauche par D,i L'opération L i Li + Lj correspond à multiplier à gauche par T i,j, Conséquences: Soit A et A deux matrices de M n,p() Les matrices élémentaires sont inversibles et (P ij) = P ji, (D i) -1 = D, T 1 ij = T ij(-) A et A sont équivalentes en ligne ssi il existe une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = EA 3.3 Algorithme de Gauss-Jordan Def : Une matrice est échelonnée réduite lorsqu elle est échelonnée, que tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne Exemple : i Proposition : Toute matrice est équivalente en ligne à une unique matrice échelonnée réduite. Démo : L algorithme du pivot de Gauss permet d échelonner en ligne la matrice. Si la matrice est de rang r on note p 1, p 2,, p r ses pivots et on applique l algorithme suivant : Pour i allant de n à 1, faire : 1 L i L p i i Pour j allant de i+1 à 1, faire : L jl j - p jl i FindePour. Cet algorithme, donne une matrice échelonnée en ligne et réduite dont on admet l unicité. Corollaire : Pour toute matrice A, il existe une unique matrice échelonnée réduite R et une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = ER 3.3 Caractérisations des matrices inversibles et calcul pratique de l inverse : Théorème 12.1: Caractérisations des matrices inversibles. Soit AM n(), les propositions suivantes sont équivalentes : A est inversible Le système AX = 0 a une unique solution A L I n Pour tout BM n,1(), le système AX = B a une unique solution. Pour tout BM n,1(), le système AX = B a au moins une solution.
7 Plan de la démonstration : puis Conséquence pratique : Soit A,BM n() vérifiant BA = I n, on a AX = 0 B(AX) = 0 X = 0 donc le système AX = 0 admet une unique solution et par suite A est inversible. On a de plus AB = I n A -1 (AB) = A -1 B = A -1. Ainsi l égalité BA = I n suffit pour affirmer que A et B sont inversibles et inverses l une de l autre. Dans la pratique : Méthodes de calcul de l inverse Méthode 1 : Résolution d un système linéaire On considère le système (S) AX = B où B est quelconque dans M n,1(). On résout ce système. Si il a une unique solution alors A est inversible et on a : (S) X = A -1 Y, ce qui permet de récupérer A -1 Méthode 2 : Utilisation de l algorithme de Gauss-Jordan Par une succession d'oel on transforme M en l unique matrice échelonnée réduite R qui lui est équivalente en ligne. Parallèlement, on applique les mêmes OEL sur I n : on obtient une matrice B. Or A est inversible ssi R = I n et on a donc A = EI n et I n = EB soit AB = I n et par suite B = A Complément : O.E.C Def et Proposition 12.13: Opérations élémentaires sur les colonnes (O.E.C) d une matrice. Soit AM n,p(), les opérations élémentaires sur les colonnes de A sont : L échange de deux colonnes (permutation) l'opération C i C j correspond à multiplier à droite par P i,jgl p() La multiplication d'une colonne par un scalaire (dilatation) l'opération C i C i correspond à multiplier à droite par D,i GL p() L ajout à une colonne d'un multiple d'une autre colonne (transvection) l'opération C i C i + C j correspond à multiplier à droite par T i,j, GL p() Vocabulaire : Deux matrices A et A sont dites équivalentes en colonne lorsqu on peut passer de l une à l autre par une succession d OEC ou encore lorsqu il existe une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = A E. On note A A' Def : A est échelonnée (réduite) en colonne lorsque sa transposée est échelonnée (réduite) en ligne. C
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailMATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE
MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE Michel Rigo http://www.discmath.ulg.ac.be/ Année 2007 2008 CRYPTOGRAPHIE. N. F. Art d écrire en chiffres ou d une façon secrète quelconque. Ensemble
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailÉquations d amorçage d intégrales premières formelles
Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailMATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailLicence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)
Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détail201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1
Chapitre1 Matrices 1 201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 EXERCICES 1.2 1. a) 1 3 Ë3 7 3 2 Ë 1 16 pas défini d) 16 30 17 3 e) Ë 7 68 22 16 13 Ë 5 18 6 2. a) 0 4 4 4 0 4 Ë4 4 0 Ë 0 4 32 4 4 0 4 32 32 4 0 4 4
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailPlus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailVecteurs. I Translation. 1. Définition :
Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailExercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailInitiation à la programmation en Python
I-Conventions Initiation à la programmation en Python Nom : Prénom : Une commande Python sera écrite en caractère gras. Exemples : print 'Bonjour' max=input("nombre maximum autorisé :") Le résultat de
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détail3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailpar Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis
LA CATÉGORIE Θ DE JOYAL EST UNE CATÉGORIE TEST par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis Résumé. Le but principal de cet article est de prouver que la catégorie cellulaire Θ de Joyal est une catégorie
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailDémonstration de la conjecture de Dumont
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) 71 718 Théorie des nombres/combinatoire Démonstration de la conjecture de Dumont Bodo Lass http://france.elsevier.com/direct/crass1/ Institut Camille Jordan, UMR
Plus en détail