Rappels de géométrie euclidienne. Les configurations

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1 ERNIÈRE IMPRESSIN LE 11 mars 015 à 1:17 Rappels de géométrie euclidienne. Les configurations Table des matières 1 Rappels de géométrie euclidienne 1.1 Euclide Éléments du plan Les quadrilatères roites dans un triangle 7.1 Le théorème des milieux Les médianes Les hauteurs Les médiatrices Les bissectrices Le théorème de Thalès Le triangle rectangle 1.1 entre du cercle circonscrit Le théorème de Pythagore Trigonométrie dans le triangle rectangle Les angles Égalité entre deux angles pplication ngles dans un cercle PUL MILN 1 SENE S

2 1. RPPELS E GÉMÉTRIE EULIIENNE 1 Rappels de géométrie euclidienne 1.1 Euclide Un des premiers pensionnaires du Muséum d lexandrie, communauté scientifique ayant pour but de rassembler dans un même lieu tout le savoir du monde au troisième siècle avant notre ère. Euclide, à travers un ensemble de 1 livres «Les éléments», fait le point sur les connaissances en géométrie plane, sur la théorie des nombres puis sur la géométrie dans l espace. e plus Euclide codifie la démonstration mathématique qui est toujours en usage aujourd hui. Elle est basée sur le schéma suivant : n sait que : hypothèses de l énoncé, définitions, postulat r : propriétés, théorème onc : ce que l on veut montrer. Exemple : Soit un triangle rectangle en. Montrer que les angles et Ĉ sont complémentaires. n sait que : est rectangle en soit  = 90 r la somme des angles dans un triangle vaut 180 onc +Ĉ = 90. Les angles et Ĉ sont complémentaires. 1. Éléments du plan Le plan Euclidien est infini dans les deux dimensions qui le compose. Il n y a pas de repère, innovation qui viendra beaucoup plus tard au XVII e siècle avec escartes. a) Le point Élément du plan qui n a pas de partie. Il est noté par une majuscule :,,,... Si l on veut désigner un point inconnue : M, N,... b) La droite Une droite est définie par deux points. Elle est illimitée à chaque extrémité. Notation : Si la droite est déterminée par les points et, on note la droite (). n peut noter une droite par une majuscule (), ( ) (noter la présence de parenthèse pour ne pas confondre la droite avec un point) ou une minuscule d, δ (les parenthèse ne sont pas nécessaires). () ou () ou d PUL MILN SENE S

3 1. RPPELS E GÉMÉTRIE EULIIENNE Rapport entre deux droites 1) eux droites d 1 et d peuvent être parallèles. Elles n ont aucun point commun ou elles sont confondues : d 1 //d d 1 et d n ont aucun point commun ou d 1 = d ) eux droites peuvent être sécantes si elles ne sont pas parallèles. Elles se coupent alors en un point. Si trois droites se coupent en un point, elles sont concourantes. ) eux droites peuvent être perpendiculaires si elle se coupe en angle droit. n note alors d 1 d Si deux droites sont perpendiculaires à une troisièmes elles sont parallèles entre elles. } d 1 d d d alors d 1 //d c) emi-droite Une demi-droite est une droite limitée à une extrémité. Si une demi-droite est limitée en et passe par, on la note [). [) d) Le segment Un segment est une droite limitée aux deux extrémités. Si le segment est limité en et, il est noté []. Si le plan est doté d une unité de mesure, on note la distance entre et. Le milieu d un segment, divise celui-ci en deux parties égale. Si I est le milieu du segment [], on note I = m[]. I I = I = PUL MILN SENE S

4 1. RPPELS E GÉMÉTRIE EULIIENNE e) L angle Un angle est un secteur du plan délimité par deux demi-droites. n distingue alors deux types d angles : Les angles saillants (ou géométriques) notés : Â compris entre 0 et 180. Les angles rentrants compris entre 180 et 60 ngle rentrant ngle saillant ngles saillants n distingue parmi les angles saillants, les types suivants : Les angles aigus : compris entre 0 et 90 Les angles droits : 90 Les angles obtus : compris entre 90 et 180 Les angles plats : 180 n dit que deux angles sont complémentaires, supplémentaires si leur somme vaut respectivement 90 et 180. α+ β = 90 α et β complémentaires les angles dans un triangle rectangle α+ β = 180 α et β supplémentaires les angles que forment deux droites sécantes 1. Les quadrilatères a) Parallélogramme Il existe 6 définitions, toutes équivalentes, du parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère dont 1) les côtés opposés sont deux à deux parallèles. ) les côtés opposés sont deux à deux de même longueur. ) deux côtés sont parallèles et de même longueur. 4) les diagonales se coupent en leur milieu. (centre de symétrie) 5) deux angles consécutifs quelconques sont supplémentaires. 6) les angles opposés sont égaux deux à deux. PUL MILN 4 SENE S

5 1. RPPELS E GÉMÉTRIE EULIIENNE Remarque : l aide de la définition ) (égalités de distances), on peut tracer la parallèle à un point extérieur à une droite () donnée. Tracer cette droite revient à tracer le point tel que soit un parallélogramme. n reporte donc la distance à partir de et la distance à partir de. n obtient ainsi le point. La droite cherchée est la droite (). Exemple : Soit,,,, E et F six points tels que et EF soient des parallélogrammes. émontrer que le quadrilatère EF est un parallélogramme. Faisons une figure : n trace un parallélogramme, on place le point E, puis on détermine F tel que EF soit un parallélogramme. Soit I 1 le centre de. omme est un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu donc I 1 est le milieu de [] et []. E Soit I le centre de EF. omme EF est un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu donc I est le milieu de [] et [EF]. I 1 I F omme I 1 et I sont le milieu de [], on en déduit que I 1 = I. omme I 1 = I alors [] et [EF] ont le même milieu. Les diagonales de EF se coupent en leur milieu donc EF est un parallélogramme. b) Le losange éfinition 1 : Losange. Les 4 définitions sont équivalentes. Un losange est : 1) un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur. ) un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu perpendiculairement. ) un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont de même longueur. 4) un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires Remarque : Un losange possède deux axes de symétrie : les diagonales. Les diagonales sont les bissectrices des angles formés par côtés consécutifs. Un losange permet ainsi de tracer la bissectrice d un angle. PUL MILN 5 SENE S

6 1. RPPELS E GÉMÉTRIE EULIIENNE c) Le rectangle éfinition : Rectangle. Les 4 définitions sont équivalentes. Un rectangle est : 1) un quadrilatère qui a trois angles droits. ) un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et qui se coupent en leur milieu. ) un parallélogramme qui a 1 angle droit. 4) un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur. Remarque : Un rectangle possède deux axes de symétrie : les médiatrices des côtés. omme les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu, un rectangle est inscriptible dans un cercle. d) Le carré éfinition : arré. Les trois définitions sont toutes équivalentes. Un carré est : 1) un losange et un rectangle. ) un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur et 1 angle droit. ) un quadrilatère dont les diagonales de même longueur, se coupent en leur milieu perpendiculairement. Remarque : Un carré possède quatre axes de symétrie : les deux diagonales et les médiatrices des côtés. Un carré est un quadrilatère régulier (côtés de même longueur inscriptible dans un cercle). e) Le trapèze éfinition 4 : Trapèze Un trapèze est un quadrilatère qui a côtés parallèles. es côtés parallèles sont appelés les «bases» du trapèze. petite base grande base PUL MILN 6 SENE S

7 . RITES NS UN TRINGLE éfinition 5 : Trapèzes particuliers Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède un augle droit. Un trapèze isocèle est un trapèze dont les deux bases ont même médiatrice. Il possède alors un axe des symétrie. roites dans un triangle.1 Le théorème des milieux a) Le théorème direct Théorème 1 : ans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième en son milieu. { I = m[] J = m[] I Si alors (IJ)//() IJ = 1 J b) La réciproque du théorème des milieux Théorème : ans un triangle, la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième. { I = m[] (IJ)//() I Si alors J = m[] IJ = 1 J PUL MILN 7 SENE S

8 . RITES NS UN TRINGLE émonstration : émontrons la réciproque du théorème des milieux. Soit un triangle et I, J les milieux respectifs des côtés [] et []. Soit le point K le symétrique de I par rapport à J. n a alors la figure suivante : omme K est le symétrique de I par rapport à J, J est le milieu de [IK]. omme J est le milieu de [], le quadrilatère KI a ses diagonales qui se coupent en leur milieu donc KI est un parallélogramme. I J K omme KI est un parallélogramme, les côtés [I] et [K] sont parallèles de même longueur. omme I est le milieu de [], on a alors les côtés [I] et [K] parallèles de même longueur. Le quadrilatère IK est alors un parallélogramme. omme IK est un parallélogramme, les côtés [IK] et [] sont parallèles de même longueur. omme J est le milieu de [IK], la droite (IJ) est parallèle à () et IJ = 1 Exemple : Quadrilatère de Varignon ( ) : Soit est quadrilatère quelconque. Soit I, J, K et L les milieux respectifs des segments [], [], [] et []. 1) Quelle la nature du quadrilatère IJKL? ) Quelle condition doit vérifier pour que IJKL soit : a) un rectangle b) un losange c) un carré 1) n a la figure ci-contre. ans le triangle, on sait que I est le milieu de [] et L le milieu de [], donc d après la réciproque du théorème des milieux, on a : L K (IL)//() et IL = 1 (1) ans le triangle, on sait que J est le milieu de [] et K le milieu de [], donc d après la réciproque du théorème des milieux, on a : I J (JK)//() et JK = 1 () es propriétés (1) et (), on en déduit : (IL)//(JK) et IL = JK onc le quadrilatère IJKL possède deux côtés parallèles de même longueur, donc IJKL est un parallélogramme. PUL MILN 8 SENE S

9 . RITES NS UN TRINGLE ) a) Pour que IJKL soit un losange, comme IJKL est un parallélogramme, il suffit que IL = IJ (). ans le triangle, I et J sont les milieux de [] et [] donc d après la réciproque du théorème des milieux : (IJ)//() et IJ = 1 (4) omme IL = 1 d après (4), on doit avoir = IJKL est un losange si, et seulement si, les diagonales de sont de même longueur. b) Pour que IJKL soit un rectangle, comme IJKL est un parallélogramme, il suffit que (IL) (IJ). après (1) et (4), on doit avoir () () IJKL est un rectangle si, et seulement si, les diagonales de sont perpendiculaires. c) Pour que IJKL soit un carré, IJKL doit être un losange et un rectangle, donc d après les questions a) et b), le quadrilatère doit avoir des diagonales perpendiculaires de même longueur. L K ans la figure ci-contre, on a d abord tracé les diagonales [] et [] de même longueur et perpendiculaires. n a ensuite placer les milieux I, J, K et L obtenant le carré IJKL. I J. Les médianes éfinition 6 : Une médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Propriété : Les trois médianes sont concourantes en un point G appelé le centre de gravité. Il est situé au deux tiers du sommet ou à un tiers de la base. n peut effectuer cette figure à la règle et au compas en déterminant les milieux, et des côtés du triangle en traçant les médiatrices respectives de [], [] et []. G G = G = 1 PUL MILN 9 SENE S

10 . RITES NS UN TRINGLE. Les hauteurs éfinition 7 : Une hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Propriété : les trois hauteurs sont concourantes en un point Ω appelé orthocentre. n peut effectuer cette figure à la règle et au compas. e plus, contrairement au centre de gravité, l orthocentre peut être à l extérieur du triangle comme sur la figure ci-contre. Pour tracer certaines hauteurs, il est nécessaire de prolonger les côtés du triangle. ela se produit lorsque l angle au sommet est supérieur à 90. Ω F.4 Les médiatrices éfinition 8 : La médiatrice d un segment [] est la droite dont les points sont équidistants des points et. Elle coupe alors ce segment en son milieu perpendiculairement. Propriété : Les trois médiatrices d un triangle sont concourante en un point appelé le centre du cercle circonscrit. Remarque : omme les trois médiatrices sont concourant en, d après la définition d une médiatrice, est alors équidistant de, et. est donc le centre du cercle circonscrit..5 Les bissectrices éfinition 9 : La bissectrice d un angle divise celui-ci en deux parties égales. Propriété : Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit. PUL MILN 10 SENE S

11 . RITES NS UN TRINGLE.6 Le théorème de Thalès a) Théorème direct Théorème : : Soit deux droites () et ( ) sécante en. Si ( ) //( ) alors, on a : n peut avoir les deux configurations suivantes : = = Exemple : ans la figure ci-dessous, on a (MN) // (). À l aide des indications portées sur la figure, calculer N et MN. omme (MN) // (), nous avons une configuration de Thalès, donc M = N = MN Si on pose x = N, de la première égalité, on a : 4, 5 = x x+1 1,5 M 5 N 1 n fait un produit en croix, (x+1) = 4, 5x x+ = 4, 5x x 4, 5x = 1, 5x = x = e la seconde égalité, on a : 4, 5 = MN 5 n fait un produit en croix, MN = 5 4, 5 = 15 4, 5 = 10 onclusion : N = et MN = 10. b) Réciproque du théorème de Thalès Théorème 4 : Soit,, d une part et,, d autre part alignés dans cet ordre. Si = alors, on a : ( ) //( ) Exemple : n donne la figure ci-après, montrer que () et (MN) sont parallèles. PUL MILN 11 SENE S

12 . LE TRINGLE RETNGLE alculons les deux rapports : M =, 5 4, 5 = 7 9,5 5,5 N n a donc : = 5, 5 6, 75 = 1 7 = 7 9 M = N donc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et () sont parallèles. Le triangle rectangle.1 entre du cercle circonscrit M 1 N 1,5 Théorème 5 : Le centre du cercle circonscrit dans un triangle rectangle se trouve au milieu de l hypoténuse. Réciproquement, le triangle inscrit dans un cercle de diamètre [] est rectangle en émonstration : 1) Théorème direct. Soit un triangle rectangle en. Soit I le milieu de [] et l intersection de la droite passant par I et parallèle à () avec le segment []. J est l intersection de la droite passant par et parallèle à () avec le segment []. n a alors la figure ci-contre. J omme I est le milieu de [] et (I) // (), d après le théorème des milieux, on a : milieu de [] omme () () et (I) // () alors on a : (I) (). I e ces deux propriétés, on en déduit que (I) est la médiatrice de []. omme est le milieu de [] et (J) // (), d après le théorème des milieux, on a : J milieu de []. omme () () et (J) // () alors on a : (J) (). e ces deux propriétés, on en déduit que (J) est la médiatrice de []. est donc l intersection des médiatrices, donc le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit. PUL MILN 1 SENE S

13 . LE TRINGLE RETNGLE ) Réciproque. Soit le cercle de centre. Le triangle est inscrit dans le cercle et [] est un diamètre. n appelle I le milieu de []. n a alors la figure ci-contre. I omme est le centre du cercle circonscrit et I milieu de [], alors la droite (I) est la médiatrice de []. omme et I sont les milieux respectifs de [] et [], d après le théorème des milieux, la droite (I) est parallèle à (). (I) est la médiatrice de [], donc () (I) et (I) // (), on en déduit que () (). Le triangle est rectangle en.. Le théorème de Pythagore a) Le théorème direct Théorème 6 : ans un triangle rectangle le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si est rectangle en, on a donc : = + Exemple : est un triangle rectangle en, avec = 5 et = 7 après le théorème de Pythagore : 5 = + = = 5+49 = 74 = 74 8, 6 7 b) Sa réciproque Théorème 7 : Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Si le triangle est tel que : = + lors le triangle est rectangle en Remarque : e théorème d une grande efficacité met en évidence la propriétés du triplet pythagoricien, 4, 5. En effet : + 4 = 9+16 = 5 = 5 Un triangle de dimension, 4, 5 est donc rectangle. PUL MILN 1 SENE S

14 4. LES NGLES. Trigonométrie dans le triangle rectangle a) éfinition éfinition 10 : ans un triangle rectangle en, on définit les rapports suivants (qui ne dépendent que de la mesure des angles) : sin = cos = tan = côté opposé hypoténuse = côté adjacent hypoténuse = côté opposé côté adjacent = côté adjacent côté opposé hypoténuse b) Propriétés ans un triangle rectangle en, on a : Les angles et Ĉ sont complémentaires omme le côté opposé à correspond au côté adjacent à Ĉ et inversement, on a alors : sin = cos Ĉ et cos = sin Ĉ n a les relations suivantes : tan = sin cos, sin +cos = 1, 1+tan = 1 c) Tableau des lignes trigonométriques remarquables cos ngle α sin α cos α tan α Les angles 4.1 Égalité entre deux angles n distingue 4 configurations où deux angles sont égaux PUL MILN 14 SENE S

15 // 4. LES NGLES pposés par le sommet orrespondants / // / / / 1 lternes-internes lternes-externes pplication émontrer que la somme des angles d un triangle est égal à 180. Faisons une figure, sur laquelle on trace la droite d parallèle à (). n a alors les égalités suivantes : β α γ d β 1 = β γ 1 = γ β + α+γ = 180 alternes-internes alternes-internes β 1 γ 1 La somme des angles dans un triangle vaut donc ngles dans un cercle Théorème 8 : ngles inscrits, angle au centre, tangente ans un cercle, l angle au centre vaut deux fois l angle inscrit. Â = Â α (T) ans un cercle, deux angles qui interceptent le même arc sont égaux. Â = Â ans un cercle, la tangente en un point est perpendiculaire au rayon. () (T) α α PUL MILN 15 SENE S