Chapitre 1 Nature des nombres Divisibilité

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1 ème Chapitre Nature des nombres Divisibilité I_ Nature des nombres A. Nombres entiers Définition Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers positifs. Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs. ; ; ; ; ; 5;... sont des nombres entiers positifs et donc des nombres entiers naturels. ; ; ; ; ; ; sont des nombres entiers relatifs. Remarques Un nombre entier naturel est également un nombre entier relatif. est un nombre entier relatif mais n'est pas un nombre entier naturel puisque ce n'est pas un nombre positif. B. Nombres décimaux Définition Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient d'un entier relatif par une n puissance de, c'estàdire qui peut s'écrire sous la forme p où n et p sont des nombres entiers relatifs., = = ; = = ; 59 =, = 5 = Les nombres, ; et 59 sont donc des nombres décimaux. 5 =, La division ne se termine jamais. n'est pas un nombre décimal. Remarques Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale (partie après la virgule dans l'écriture décimale) est constituée uniquement de., est un nombre décimal mais n'est pas un nombre entier. C. Nombres rationnels Définition Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme de quotient de deux nombres entiers relatifs. ; 5 9 et sont des nombres rationnels. Remarques Un nombre entier relatif est un nombre rationnel. = Un nombre décimal est un nombre rationnel., =, Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels comme et. Ces nombres sont appelés des nombres irrationnels. =, est l'écriture décimale

2 Nombres entiers ;... Nombres décimaux, ;,5... Nombres rationnels ; 5... II_ Divisibilité A. Division euclidienne ou entière Faire la division euclidienne de deux nombres entiers consiste à trouver le quotient et le reste entiers de la division. La division euclidienne s'écrit sous la forme: dividende reste diviseur quotient dividende, diviseur, quotient et reste sont des nombres entiers et on a: dividende = diviseur quotient + reste reste < diviseur Exemple = 6 + < 6 B. Définition de la divisibilité Dans le cas où le reste de la division euclidienne d'un nombre entier A par un nombre entier B est nul, on dit alors que: A est divisible par B. A est un multiple de B. B est un diviseur de A. Exemple = + est divisible par. est un multiple de. est un diviseur de. divise.

3 C. Critères de divisibilité Un nombre entier est divisible par s'il est pair, c'est à dire si son chiffre des unités est,,, 6 ou. Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est ou 5. Un nombre entier est divisible par si son chiffre des unités est. Un nombre entier est divisible par si ses deux derniers chiffres forment un multiple de. Un nombre entier est divisible par si la somme de ses chiffres est un multiple de. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. chiffre des unités somme des chiffres deux derniers chiffres divisibilité par: = 6 = = 5 oui oui oui oui oui non + + = 9 = = 9 oui non non non oui oui = 5 non oui non non non non D. Définition d'un nombre premier Un nombre premier est un nombre entier qui n'admet comme diviseur que et luimême. admet comme diviseurs, et donc n'est pas un nombre premier. 6 admet comme diviseurs, 6, et donc 6 n'est pas un nombre premier. ; ; ; 5; ; ; ; ; 9; ; 9... sont des nombres premiers. III_ Diviseurs communs à deux nombres entiers Exemple Déterminons les diviseurs communs de et. Commençons par chercher les diviseurs de. = = = 6 = = = 6 = = 6 On obtient une étape déjà écrite précédemment donc le processus s'arrête. Les diviseurs de sont,,,, 6,,, 6,, et. Cherchons à présent les diviseurs de. = = 6 = = = 5 + = 6 = + = 9 = 9 On obtient une étape déjà écrite précédemment donc le processus s'arrête. Les diviseurs de sont,,,, 6,, 9,,,, 6 et. Les diviseurs communs de et sont donc,,,, 6,, et. Le plus grand diviseur commun de et est donc. On note PGCD( ; ) =

4 IV_ Fractions irréductibles A. Définition de deux nombres premiers entre eux Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le PGCD vaut. PGCD( ; ) = donc et ne sont pas deux nombres premiers entre eux. 5 et sontils premiers entre eux? Les diviseurs de 5 sont : et 5 (5 est un nombre premier) Les diviseurs de sont : et ( est un nombre premier) PGCD(5 ; ) =. Donc 5 et sont premiers entre eux. 6 et sontils premiers entre eux? Les diviseurs de 6 sont : ; ; et 6 (6 n'est pas un nombre premier) Les diviseurs de sont : ; ; 5 et ( n'est pas un nombre premier) PGCD(6 ; ) =. Donc 6 et ne sont pas premiers entre eux. et sontils premiers entre eux? Les diviseurs de sont : ; ; et ( n'est pas un nombre premier) Les diviseurs de sont : ; ; 5 et ( n'est pas un nombre premier) PGCD( ; ) =. Donc et sont premiers entre eux. 5 et sontils premiers entre eux? Les diviseurs de 5 sont : et 5 (5 est un nombre premier) Les diviseurs de sont : ; ; 5 et ( n'est pas un nombre premier) PGCD(5 ; ) = 5. Donc 5 et ne sont pas premiers entre eux. et 5 sontils premiers entre eux? Les diviseurs de sont : ; ; et ( n'est pas un nombre premier) Les diviseurs de 5 sont : et 5 (5 est un nombre premier) PGCD( ; 5) =. Donc et 5 sont premiers entre eux. B. Définition d'une fraction irréductible Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux; c'est une fraction que l'on ne peut plus simplifier. C. Obtention d'une fraction irréductible Propriété: A partir d'une fraction, on obtient une fraction irréductible en simplifiant la fraction de départ par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur. D. Exercice type Exercice type. Déterminons si la fraction est irréductible.. Transformons la fraction en fraction irréductible.

5 Rédaction type. Les nombres et sont tous les deux divisibles par donc la fraction n'est donc pas une fraction irréductible. est simplifiable par et. Simplifions par PGCD( ; ) soit pour obtenir une fraction irréductible. = = V_ Algorithmes de calcul du PGCD de deux nombres entiers A. Algorithme des différences Introduction : 6 divise et 6 divise. On remarque que 6 divise également, la différence de et. On en déduit la propriété: PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a b) où a et b sont des nombres entiers avec a > b.. Déterminons le PGCD de et par l'algorithme des différences. Le PGCD de et est la dernière différence non nulle de l'algorithme. Donc PGCD( ; ) =. Déterminons le PGCD de 96 et 5 par l'algorithme des différences Le PGCD de 96 et 5 est la dernière différence non nulle de l'algorithme. Donc PGCD(96 ; 5) = B. Algorithme d'euclide ou algorithme des divisions Introduction : 6 divise et 6 divise. On remarque que 6 divise également, le reste de la division euclidienne de par. Cet algorithme utilise la propriété: PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) où a, b et r sont des nombres entiers avec a > b et r est le reste de la division euclidienne de a par b.

6 . Déterminons le PGCD de et par l'algorithme d'euclide. Le PGCD de et est le dernier reste non nul de l'algorithme. Donc PGCD( ; ) =.. Déterminons le PGCD de 96 et 5 par l'algorithme d'euclide Le PGCD de 96 et 5 est le dernier reste non nul de l'algorithme. Donc PGCD(96 ; 5) =.