Chapitre 9 : Géométrie des solides

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1 Chapitre 9 : Géométrie des solides I. Solides à bases parallèles (sans pointe) 1. Le prisme droit Un prisme droit a une base qui est un polygone et des faces latérales qui sont des rectangles. Rappel : Un polygone est une figure fermée par des segments de droite Exemples : Prisme droit à base triangulaire et Parallélépipède rectangle Perspective Patrons base faces latérales hauteur Remarque : Quand on coupe un prisme droit par un plan parallèle à la base, la section trouvée est identique à la base. Le cube est un exemple particulier de prisme droit. Aire : A = somme des aires des faces (bases et faces latérales) Volume : V = B H avec B : aire de la base et H : hauteur du prisme 2. Cylindre de révolution Perspective Patron Remarque : Quand on coupe un cylindre de révolution par un plan parallèle à la base, la section trouvée est un cercle de même rayon que celui de la base. Aire: A = somme des aires des faces (bases et faces latérales) = 2 r rh = 2 r(r + H) Avec r : rayon de la base et H : hauteur du cylindre Volume : V=B H = r 2 H Avec B : base du cylindre Exemple : Calculer l aire et le volume d un cylindre de hauteur H = 3,6 cm et de base de rayon r = 1,3 cm Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 1 sur 14

2 II. Solides avec pointe 1. Les pyramides Les pyramides ont pour base des polygones et leurs faces latérales sont des triangles. Perspective Patron d une pyramide régulière à base carrée S arête latérale hauteur B C base H A D Remarque : Quand on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, la section trouvée est de même nature que celle de la base. Les pyramides régulières ont pour base des polygones réguliers (triangle équilatéral, carré, ), et les pieds des hauteurs des pyramides sont les centres de ces polygones. Leurs arêtes latérales sont alors de même longueur, les faces latérales sont donc des triangles isocèles. Aire : A = somme des aires de toutes les faces (base comprise) Volume : V= B H 3 Avec B : aire de la base H : hauteur de la pyramide 2. Le cône Un cône de révolution est un solide engendré par un triangle rectangle tournant autour de l un des côtés de l angle droit. sommet surface latérale hauteur génératrice base Remarque : Quand on coupe un cône par un plan parallèle à la base, la section trouvée est un cercle de rayon inférieur à celui de la base. Aire : A = somme de l aire de la surface latérale et de la base = r(r + G) Et G : longueur d une génératrice Avec r : rayon de la base Volume : V= 1 3 B H = 1 3 r2 H Avec B : aire de la base et H : hauteur du cône. Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 2 sur 14

3 III. La sphère Une sphère est un solide engendré par un cercle qui tourne autour d un de ses diamètres. Le centre et le rayon R du cercle sont appelés centre et rayon de la sphère. La sphère de centre O et de rayon R est donc l ensemble de tous les points qui sont situés à la distance R du point O. L intérieur de la sphère (l ensemble des points dont la distance à O est inférieure à R) s appelle la boule de centre O de rayon R. Remarque On ne peut pas construire le patron d une sphère. Aire de la sphère : A=4 R 2 Volume de la boule : V= 4 3 R3 avec R : rayon de la sphère Donner un nom à ces solides Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 3 sur 14

4 Associe chaque solide à son patron Calculer l aire latérale de ces solides : cm 3 cm 4 cm 4 cm 3 cm cm 7 cm 3 cm 3 cm a. b. c. d cm 6. 6 cm 6 cm 4 cm 9 cm e. f. g. Calculer le volume de ces solides et de la maison C 1. 6 cm 2. 3 cm 7 cm 3 cm cm 10 cm 4 cm 8 cm 7 cm 4 cm 5. 7 cm 6. 6 cm 4 cm 9 cm 7,50 m 6 m 6 m 12 m Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 4 sur 14

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6 Exercices de synthèse : Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 6 sur 14

7 Géométrie Calculer le volume et l aire totale du prisme ci dessous. Un jouet "Culbuto" est constitué d'une demie boule de rayon 4 cm surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 9 cm. Calculer le volume en cm 3 de ce jouet (arrondir le résultat au cm 3 ). Prisme Culbuto 5 4 /9 EXERCICE 1 SABCD est une pyramide régulière. S 8 cm a. Quelle est la nature de la base ABCD? D a. Quelle est la nature du triangle ABC? A H c. Indiquer la longueur des arêtes suivantes : BS= CS= DS= BC= CD= DA= b. Calculer la longueur AC en appliquant la propriété de Pythagore au triangle ABC : C B e. Calculer la longueur SH en appliquant la propriété de Pythagore au triangle AHS : EXERCICE 2 a. Indiquer les longueurs de [OS] et [OM] : S b. Calculer la longueur SM. c. Calculer l angle Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 7 sur 14 O 8 cm M

8 a SMO. IV. Quelques sections planes de solides Section d un pavé Section par un plan parallèle à une face La section d un pavé droit par un plan parallèle à une de ses faces est un rectangle identique à cette face. Section par un plan parallèle à une arête La section d un pavé droit par un plan parallèle à une de ses arêtes est un rectangle. Section du cylindre de révolution Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 8 sur 14

9 Section par un plan parallèle à l axe La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle. Section par un plan perpendiculaire à son axe La section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle identique à celui de la base. Section de pyramide et de cône Section par un plan parallèle à la base La section d une pyramide ou d un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Section de la sphère Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 9 sur 14

10 H O La section d une sphère par un plan est un cercle. La droite passant par le centre de ce cercle et par le centre de la sphère est perpendiculaire au plan. V. Agrandissements Réductions Rappels L agrandissement de rapport k d un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet par un nombre k > 1. La réduction de rapport k d un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet par un nombre positif k < 1. Dans un agrandissement, ou une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k², les volumes sont multipliés par k 3. Propriété La section d une pyramide (ou d un cône de révolution) par un plan parallèle à la base est une réduction de la base de la pyramide (ou du cône). La «petite pyramide» et le «petit cône» obtenus sont des réductions de la pyramide et du cône. Le rapport de réduction k est égal au quotient d une longueur de la petite pyramide ou du petit cône par la longueur correspondante de la pyramide ou du cône de départ. Exemples A l aide du théorème de Thalès, on obtient : k = SO SO = SA SA = A B = AB Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 10 sur 14

11 EXERCICE 1 Un aquarium a la forme d une calotte sphérique de centre O qui a pour rayon R = 1 et pour hauteur h = 19,2 cm I A R =12 O h =19,2 1. Calculer la longueur OI puis la longueur IA. 2. Le volume d une calotte sphérique est donné par la formule : V = h2 (3R h) où R est le rayon de la sphère et h est la hauteur de la calotte sphérique. 3 Calculer la valeur approchée du volume de cet aquarium au cm 3 prés 3. On verse 6 litres d eau dans cet aquarium. Au moment de changer l eau de l aquarium, on transvase son contenu dans un récipient parallélépipédique de 26 cm de longueur et de 24 cm de largeur. Déterminer la hauteur x de l eau dans le récipient. Arrondir le résultat au mm. EXERCICE 2 Un menuisier doit tailler des boules en bois de 10cm de diamètre pour les disposer sur une rampe d escalier. Il confectionne d abord des cubes de 10 cm d arête dans lesquels il taille chaque boule. O h D A O 1 B 1. Dans chaque cube, déterminer le volume (au cm 3 prés) de bois perdu, une fois la boule taillée. 2. Il découpe ensuite la boule de centre O suivant un plan pour la coller sur son emplacement. La surface ainsi obtenue est un disque D de centre O 1 et de diamètre AB =. Calculer à quelle distance du centre de la boule (h sur la figure) il doit réaliser cette découpe. Arrondir h au millimètre. EXERCICE 3 Une boîte de chocolats a la forme d une pyramide régulière de base carrée, sectionnée par un plan parallèle à la base. La partie supérieure est le couvercle et la partie inférieure contient les chocolats. On donne : AB = 30 cm SO = 18 cm SO = 6 cm 1. Calculer le volume de la pyramide SABCD. 2. En déduire celui de la pyramide SEFGH. 3. Calculer le volume du récipient ABCDEFGH qui contient les chocolats. E H O S F G D O Chapitre 9 : Géométrie des solides A Page 11 sur 14 B C

12 EXERCICE 4 : Voici 5 poupées russes. Le volume de la plus petite poupée (1) est de 6 cm³, Calculer le volume des quatre poupées, sachant que le coefficient d agrandissement est de 3/ EXERCICE 5: Trouver les longueurs, les aires et les volumes qui manquent. A B A B Aire = cm² 4 cm Agrandissement Réduction de rapport Aire = cm² 8 cm D C 8 cm Périmètre 31,4 cm D C cm Périmètre cm O M Agrandissement Réduction de rapport 3 cm O M Aire 49,3 cm² Aire cm 2 Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 12 sur 14 cm

13 EXERCICE 6 : Voici l oiseau «Mathus «espèce rarissime ne vivant que dans les livres de mathématique de madame Mathamort 1) Complète sa description (carré, rectangle.) et calcule son aire Corps Tête Cou Patte Queue Bec Description Aire Agrandissement Coefficient 2 2) Dans un agrandissement de rapport 2, Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 13 sur 14

14 les longueurs sont multipliées par. les aires sont.. par.. les volumes sont par Voici maintenant «Mathus» version «Solidus» en 3D avant agrandissement Complète le tableau ci dessous Corps Tête Cou Patte Queue Bec Description Volume de Mathus Volume de Mathus agrandi ( k = 2 ) Chapitre 9 : Géométrie des solides Page 14 sur 14