Fiche de soutien. Nom : Groupe : Date : Exploration en géométrie CST Les figures équivalentes p. 68 à 80

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1 Fiche de soutien Qu est-ce que des figures équivalentes? Pour définir correctement des figures équivalentes, il faut considérer les trois cas possibles de figures géométriques : les figures en une seule dimension (traits ou lignes), les figures en deux dimensions (figures planes) et les figures en trois dimensions (solides). Pour que deux traits soient dits équivalents, ils doivent avoir la même longueur. Exemple : Les deux traits ci-dessous mesurent 5 cm. Pour que deux figures planes soient dites équivalentes, elles doivent avoir la même aire. Exemple : Les deux figures ci-dessous ont une aire de 12 unités carrées. Pour que deux solides soient dits équivalents, ils doivent avoir le même volume. Exemple : Les deux solides ci-dessous ont un volume de 4 unités cubes. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible G-5

2 Fiche de soutien (suite) Comment déterminer si des figures sont équivalentes? Méthode du calcul de la longueur, de l aire ou du volume, selon le cas Il suffit de calculer la mesure demandée pour les deux figures et vérifier si c est la même dans les deux cas. Méthode de décomposition et de superposition Il s agit de décomposer la première figure et de construire la seconde à l aide de tous les éléments de la décomposition. Exemple : Montrer que les deux solides illustrés ci-dessous sont équivalents. Réponse : Quelques propriétés concernant les figures équivalentes De tous les polygones équivalents à n côtés, c est le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. De deux polygones réguliers convexes équivalents, c est le polygone ayant le plus de côtés qui a le plus petit périmètre. (À la limite, c est le cercle équivalent qui a le plus petit périmètre.) De tous les prismes à base rectangulaire de même aire totale, c est le cube qui a le plus grand volume. De tous les prismes à base rectangulaire de même volume, c est le cube qui a la plus petite aire totale. De tous les solides de même aire totale, c est la boule qui a le plus grand volume. De tous les solides de même volume, c est la boule qui a la plus petite aire totale. G-6 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc

3 Fiche de soutien (suite) 1. À l aide de la méthode de décomposition et de superposition, montrez que les figures ci-dessous sont équivalentes. a) Les figures sont équivalentes. Démarche : b) Les figures sont équivalentes. Démarche : 2. Sachant que les droites d 1 et d 2 sont parallèles, montrez que les trois triangles ci-dessous sont équivalents. Les trois triangles sont équivalents. Démarche : L aire d un triangle est donnée par de la hauteur., où b est la mesure de la base et h la mesure Les trois triangles ont la même base, selon la représentation ci-dessus. Ils ont également la même hauteur, car d 1 et d 2 sont des droites parallèles et la distance entre ces deux droites représente la hauteur des trois triangles. Les trois triangles ont donc la même aire. Par conséquent, ils sont équivalents. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible G-7

4 Fiche de soutien (suite) 3. Observez bien le carré ci-contre. Quelle est la mesure des côtés d un triangle équilatéral qui serait considéré comme équivalent à ce carré? La mesure des côtés d un triangle équilatéral qui est équivalent au carré est d environ 7,6 cm. Démarche : L aire du carré est de 25 cm 2, soit A carré = 5 5. L aire du triangle équilatéral doit également être de 25 cm 2. On sait que A triangle =. On a donc = 25. Par la relation de Pythagore, on sait que + h 2 = b 2. On peut exprimer h en fonction de b et on obtient : L aire du triangle peut alors s écrire en fonction de la variable b. = 25 = 25 b 2 = b = b 7,5984 cm 4. Observez bien le prisme à base rectangulaire ci-contre. a) Quelle est la mesure du rayon d une boule équivalente à ce prisme? Le rayon d une boule équivalente au prisme est d environ 5,64 cm. Démarche : Le volume du prisme est de 750 cm 3, soit V prisme = Le volume de la boule doit également être de 750 cm 3. On sait que V boule =. On a donc = 750. Il suffit d isoler la variable r. = 750 4πr 3 = 2250 r 3 = r = r 5,6363 cm b) Sans faire de calculs, nommez le solide ayant la plus petite aire. La boule. G-8 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc

5 Exercices supplémentaires 1. Dans chaque groupe de figures ci-dessous, déterminez lesquelles sont des figures équivalentes. a) b) Les figures 1 et 3 sont équivalentes, de même que les figures 2 et 4. c) Les figures 1 et 2 sont équivalentes. Les figures 1 et 5 sont équivalentes, de même que les figures 3 et Un rectangle mesure 10 cm sur 4 cm. Quelles sont les dimensions du carré ayant la même aire que ce rectangle? Les côtés du carré mesurent environ 6,32 cm. Démarche : L aire du rectangle est de 40 cm, soit L aire du carré doit également être de 40 cm. On sait que A carré = c 2. On a donc c 2 = 40. D où c 6,3246 cm, soit c =. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible G-9

6 Exercices supplémentaires (suite) 3. Soit un cube dont l aire totale est de 24 cm 2. a) Quel est le rayon d une boule considérée comme équivalente à ce cube? Le rayon de la boule mesure environ 1,24 cm. Démarche : L aire du cube doit également être de 24 cm 2 et A cube = 6c 2. On a donc 6c 2 = 24. Les côtés du cube mesurent 2 cm, soit c =. Le volume du cube mesure 8 cm 3, soit V cube = c 3 = 2 3. Le volume de la boule mesure également 8 cm 3 et V boule =. On a donc 8 =. En isolant la variable r, on obtient r 1,2407 cm, soit r =. b) Quelle est l aire de cette boule? L aire de la boule est d environ 19,32 cm 2, soit A boule = 4πr 2 4π 1,24 2. c) Lequel des deux solides a l aire la plus grande? Le cube. 4. Observez bien les deux figures suivantes. Les mesures sont en centimètres. Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour qu il soit considéré comme équivalent au triangle rectangle? Les dimensions du rectangle doivent être d environ 3,46 cm sur 1,73 cm. Démarche : La base du triangle mesure 4 cm, soit b = par la relation de Pythagore. L aire du triangle rectangle est de 6 cm 2, soit A triangle = =. L aire du rectangle est également de 6 cm 2 et A rectangle = b h = 2x x. On a donc 6 = 2x 2. Il suffit alors d isoler la variable x. 6 = 2x 2 3 = x 2 x = 1,732 cm 2x = 2 3,464 cm G-10 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc

7 Évaluation des connaissances Fiche 1 1. Une pizzeria offre deux formats de pizzas rondes, soit grand ou petit. Elle achète de la pâte à pizza sous forme de boules dont le rayon est de 6,5 cm. On utilise une boule de pâte pour une pizza de grand format et une demi-boule pour une pizza de petit format. Déterminez le diamètre de chaque format de pizza sachant qu avant la cuisson une grande pizza a une hauteur de 1,5 cm et une petite pizza une hauteur de 1,3 cm. Le diamètre d une grande pizza est d environ 31,24 cm et celui d une petite pizza d environ 23,74 cm. Démarche : Le volume d une boule de pâte est d environ 1150,35 cm 3, soit V = = 1150,3465. Le volume d une demi-boule de pâte est d environ 575,175 cm 3, soit 1150,35 2. Faire une grande pizza revient à faire une pizza de forme cylindrique dont la hauteur est de 1,5 cm et le volume d environ 1150,35 cm 3. On a V = πr 2 h. D où r = 15,62 cm. Le diamètre d une grande pizza est d environ 31,24 cm, soit 2 15,62. Faire une petite pizza revient à faire une pizza de forme cylindrique dont la hauteur est de 1,3 cm et le volume d environ 575,175 cm 3. On a V = πr 2 h. D où r = 11,87 cm. Le diamètre de la petite pizza est d environ 23,74 cm, soit 2 11,87. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible G-11

8 Évaluation des connaissances Fiche 1 (suite) 2. L été, Bruno tond des pelouses. Un de ses contrats est pour un grand parc municipal comprenant un terrain de baseball et un terrain de soccer. Bruno a remarqué qu il met autant de temps à tondre la pelouse sur le terrain de soccer que sur le terrain de baseball. Le terrain de soccer, rectangulaire, mesure 20 m sur 38 m. Le terrain de baseball a la forme d un quartier de cercle. Bruno doit non seulement tondre la surface du terrain, mais aussi le contour du terrain de baseball délimité par une clôture. Estimez la longueur de cette clôture. La longueur de la clôture est d environ 111,09 m. Démarche : On peut supposer que le terrain de soccer et le terrain de baseball ont des superficies égales, puisque Bruno met le même temps pour tondre les deux terrains. L aire du terrain de soccer est de 760 m 2, soit L aire du terrain de baseball est donc également de 760 m 2. Le terrain de baseball est représenté par un quart de cercle. Donc A =. D où r = = 31,11 m. Le rayon du quart de cercle représentant le terrain de baseball est d environ 31,11 m. La circonférence d un cercle de même rayon que le terrain de baseball est d environ 195,47 m, soit C = 2πr 2π 31,11. La longueur de la clôture entourant le terrain de baseball est d environ 111,09 m, soit ,11. G-12 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc

9 Évaluation des connaissances Fiche 2 1. Maude sert du jus d orange frais dans son restaurant. On estime que, lorsqu une orange est pressée, la moitié de son volume peut être transformée en jus. Maude paye 0,35 $ pour chaque orange. Sachant que le rayon moyen d une orange est de 3,2 cm, que les verres, de forme cylindrique, ont une hauteur de 7 cm et un rayon de 2,4 cm, et qu ils sont remplis à 75 % de leur capacité, estimez le coût de production d un verre de jus d orange. Le coût de production d un verre de jus d orange est d environ 0,48 $. Démarche : Le volume du verre utilisé est d environ 126,669 cm 3, soit V = πr 2 h = π(2,4) 2 7. Comme le verre est rempli à 75 % de sa capacité, le volume de jus d orange contenu dans un verre est d environ 95 cm 3, soit 126,669 0,75. Le volume d une orange est d environ 137,258 cm 3, soit V = =. Comme la moitié du volume d une orange peut être transformée en jus, une orange fournit un volume de jus d environ 68,629 cm 3, soit 137, Le nombre d oranges nécessaires pour faire un verre de jus est d environ 1,384, soit 95 68,629. Comme le coût d une orange est de 0,35 $, le coût d un verre de jus d orange est d environ 0,48 $, soit 0,35 1,384. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible G-13

10 Évaluation des connaissances Fiche 2 (suite) 2. Un triangle rectangle a une base de 8 cm et une hauteur de 10 cm. On veut tracer une ligne dans ce triangle, parallèle à la base, de façon à séparer le triangle en deux figures équivalentes (soit en un triangle et un trapèze). Quelle sera la longueur de cette ligne? La longueur du segment séparant le triangle ABC en deux figures équivalentes sera d environ 5,66 cm. Démarche : On a illustré le triangle ABC pour représenter cette situation. On veut tracer une ligne de telle sorte que le triangle ADE soit équivalent au trapèze BDEC. L aire du triangle ADE doit être égale à l aire du trapèze BDEC. On peut également déduire que l aire du triangle ADE est égale à la moitié de l aire du triangle ABC. L aire du triangle ABC est de 40 cm 2, soit A = =. L aire du triangle ADE est de 20 cm 2, soit Soit x = et y =. On trouve l équation suivante. = 20 xy = 40 y = On sait également que les triangles ADE et ABC sont semblables, puisqu ils ont trois angles isométriques. On trouve alors l équation suivante. = y = On peut trouver la valeur de x en comparant les deux équations obtenues précédemment. = 5x 2 = 160 x = x 5,66 cm G-14 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc