Chapitre 11 Rotation d un corps rigide autour d un axe fixe

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Pierre Guérin
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1 Chapitre 11 otation d un corps rigide autour d un axe fixe 11.0 Introduction Dans ce chapitre, nous analyserons les mouvements d objets qui tournent autour d un axe fixe en direction ou en position. Chute roulement Chute d une cheminée Avez-vous d autres exemples? 1

objets qui tournent autour d un axe fixe en direction ou en

2 Chapitre 11 otation d un corps rigide autour d un axe fixe 11.0 Introduction Grande roue, roues de bicyclette stationnaire ou en roulement, rotation de la Terre autour de son axe, rotation des CD, DVD, boule de quille, manivelle, portes, moteurs, satellites en rotation autour de leur axe. Nous traiterons: la cinématique ( description, variables angulaires ) des mouvements de rotation, la dynamique (cause, lois de Newton) les principes de conservation: énergie et quantité de mouvement. Bref, nous reverrons l ensemble des concepts ou grandeurs physiques que nous avons abordés depuis le début du cours pour la translation.

manivelle, portes, moteurs, satellites en rotation autour de leur axe.

3 Chapitre 11 otation d un corps rigide autour d un axe fixe 11.0 Introduction Quels genres de mouvements analyserons-nous? Quelles seront les équations utiles pour décrire le mouvement? Nous étudierons les mouvements circulaires uniformes (MCU) à vitesse constante et les mouvements circulaires uniformément accélérés (MCUA), combinées avec de la translation Nous avons déjà analysé en partie ces types de mouvements en utilisant des variables linéaires, nous utiliserons cette fois des variables angulaires. 3

Nous étudierons les mouvements circulaires uniformes (MCU) à vitesse constante et les mouvements circulaires uniformément

4 11.0 Introduction Dans les cas où nous aurons une accélération angulaire constante, nous aurons un MCUA. Les équations du mouvement seront de la même forme qu un m.r.u.a soit : Pour la position angulaire θ θ + ot + o Pour la vitesse angulaire 1 α t o + αt ( + ) / moy o θ 0 En fonction du déplacement angulaire o + α θ Nous utiliserons ces équations pour décrire le mouvement d objets qui tournent avec une vitesse angulaire variable autour d un axe de rotation qui demeure fixe. 4

5 11.1 Cinématique de rotation Quelles définitions de variables angulaires et d équations du mouvement de rotation allons-nous prendre? Prenons par exemple le mouvement de rotation d une roue de bicyclette autour d un axe fixe A) Position angulaire thêta θ (rad) Sens positif anti-horaire y θ s + Par définition θ s / x 5

Prenons par exemple le mouvement de rotation d une roue de bicyclette autour d

6 11.1 Cinématique de rotation y + A) Position angulaire thêta θ (rad) Sens positif anti-horaire Par définition θ s θ s x 1 rad 57,3 o B) Déplacement angulaire delthêta θ (rad) Par définition : θ ( θ θ ) o s Un tour ou une circonférence π rad 6

rad 57,3 o B) Déplacement angulaire delthêta θ (rad) Par

7 11.1 Cinématique de rotation B) Déplacement angulaire θ (rad) θ ( θ θ ) o s y π rad x elation avec les variables linéaires Un tour ou une circonférence : s C π Un quart de tour ou un quart de circonférence π rad C) Vitesse angulaire oméga rad/s Pas de tours par minute ou tours par seconde dans les équations. 7

C π Un quart de tour ou un quart de circonférence π rad C) Vitesse angulaire

8 11.1 Cinématique de rotation C) Vitesse angulaire oméga moyenne rad/s y définition θ θ - moy t t - t θ o o rad/s x D) Vitesse angulaire oméga rad/s égale la dérivée de la position angulaire par rapport au temps dθ dt rad/s Positif sens antihoraire en général définition 8

angulaire oméga rad/s égale la dérivée de la position angulaire par

9 11.1 Cinématique de rotation D) Vitesse angulaire oméga rad/s y égale la dérivée de la position angulaire par rapport au temps dθ dt rad/s Orientation du vecteur vitesse angulaire oméga y Sur l axe de rotation X x Positif sens anti-horaire en général pouce x doigts ègle de la main droite HYperphysics otation, angular velocity, vector 9

vitesse angulaire oméga y Sur l axe de rotation X x Positif sens anti-horaire en

10 11.1 Cinématique de rotation Lorsque la vitesse angulaire oméga est constante nous aurons un mouvement circulaire uniforme MCU Quelle sera l équation du mouvement? Selon la définition de la vitesse moyenne nous aurons y θ θ - moy t t - t θ o o rad/s Éq. MCU θ θ o + t rad Avec t o 0 On définit également la fréquence f par le nombre de tours ou de révolutions par seconde comme l inverse de la période T le temps pour un tour f 1 T 10

Selon la définition de la vitesse moyenne nous aurons y θ θ - moy t t - t θ o o rad/s Éq.

11 11.1 Cinématique de rotation Dans un MCU, on utilise la relation suivante pour distinguer entre la vitesse angulaire et la fréquence angulaire «f» π πf T elation entre les variables linéaire et angulaire : v t Par définition s θ Vitesse tangentielle ds dt dθ dt v t 11

fréquence angulaire «f» π πf T elation entre les variables

12 11.1 Cinématique de rotation elation entre les variables linéaire et angulaire v t Par définition s ds dt θ dθ dt Alors, vitesse tangentielle v t Ainsi, plus une particule est située loin de l axe de rotation, plus sa vitesse tangentielle est grande pour une même vitesse angulaire v t r v t r 1

v t Ainsi, plus une particule est située loin de l axe de rotation, plus

13 11.1 cinématique de rotation Lorsque la vitesse angulaire varie nous aurons besoin de E) Accélération angulaire moyenne alpha α rad/s α moy o t t o rad/s F) Accélération angulaire alpha α rad/s α d dt rad/s Lorsque la roue tourne de plus en plus vitesse, α et sont dans le même sens si non ces vecteurs sont en sens contraires 13

Accélération angulaire alpha α rad/s α d dt rad/s Lorsque la roue tourne de plus

14 11.1 cinématique de rotation α Accélération angulaire positive. Augmentation de la vitesse α Accélération angulaire négative Diminution de la vitesse Vu de face et α sortent Vu de face sort α entre X 14

15 11.1 cinématique de rotation elation ente les variables angulaire et linéaire : v t v On a vu que t α donc Accélération tangentielle dv t dt d dt α v t a r Accélération radiale v a r α Accélération linéaire a a + r 15

α donc Accélération tangentielle dv t dt d dt α v t a

16 11.1 cinématique de rotation elation ente les variables angulaire et linéaire Accélération radiale Accélération tangentielle α v a r α u θ Accélération linéaire a a + r a r u r a a r u r + a u θ t m/s α Déjà vu au chapitre 4 16

tangentielle α v a r α u θ Accélération linéaire a a + r

17 11.1 cinématique de rotation Exemple : Vous montez un seau d eau d un puits comme l indique la figure ci-dessous. Le rayon du cylindre est de 5 cm. Partant du repos, le seau atteint 4 m/s après 1,0 m de montée. Situation Déterminez : A) L accélération angulaire du cylindre Problème: Je cherche α Solution possible α α 17

Partant du repos, le seau atteint 4 m/s après 1,0 m de montée.

18 11.1 cinématique de rotation Exemple : Vous montez un seau d eau d un puits comme l indique la figure ci-dessous. Le rayon du cylindre est de 5 cm. Partant du repos, le seau atteint 4 m/s après 1,0 m de montée. Situation Problème: Je cherche α Solution possible α α Pour le seau, nous avons un m.r.u.a D où v v + a o t y v y 16 8 m/s 18

19 11.1 cinématique de rotation Situation Pour le seau, nous avons un m.r.u.a D où v y v v + a 16 o 8 m/s t y 8 α 160 0, 05 rad/s ésultat probable L accélération angulaire du cylindre est de 160 rad/s Pour sa part, la vitesse angulaire finale sera donnée par v t 4 0, rad/s 19

probable L accélération angulaire du cylindre est de 160 rad/s Pour

20 11.1 cinématique de rotation Situation ésultat probable L accélération angulaire du cylindre est de 160 rad/s Celui-ci sera donné par Pour sa part, la vitesse angulaire finale sera donnée par v t 4 0, 05 B) Déterminez le nombre de tours effectué par le cylindre. B) Nb 1,0 m C π 80 rad/s C π 3,14 0,05 0,314 m 1,0 m Nb 3, 18 0,314 0

angulaire finale sera donnée par v t 4 0, 05 B) Déterminez le nombre de tours

21 11.1 cinématique de rotation Situation C) Déterminez la vitesse angulaire moyenne moy La vitesse angulaire moyenne sera donnée par moy θ t + ( i f ) Puisque l accélération angulaire est constante moy ( + i f ) (0 + 80) 40 rad/s ésultat probable : La vitesse angulaire moyenne sera de 40 rad/s 1

22 11.1 Cinématique de rotation En résumé, dans les cas où nous aurons une accélération angulaire constante, nous aurons un MCUA. Les équations du mouvement seront de la même forme qu un m.r.u.a soit : Pour la position angulaire Pour la vitesse angulaire θ θ + ot + o o + αt 1 α t ( + ) / moy o En fonction du déplacement angulaire o + α θ Nous utiliserons ces équations pour décrire le mouvement d objets qui tournent avec une vitesse angulaire variable autour d un axe de rotation qui demeure fixe.

23 11.1 Cinématique de rotation ésumé Schéma avec les définitions et les variables de la cinématique de rotation et les liens avec les variables de la translation Pour la position angulaire θ rad Pour la vitesse angulaire rad/s Accélération angulaire α rad/s s s θ Équations ; θ v t m.c.u α m.c.u.a À compléter 3

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