THEORIE DES MECANISMES HYPERSTATISME, MOBILITE, LIAISON EQUIVALENTE

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1 THERIE DES MEANISMES HYPERSTATISME, MBILITE, LIAISN EQUIVALENTE. DEFINITINS..... Mécanisme..... Liaisons équivalentes...5. Mobilité Etude cinématique Définitions Mobilité interne Mobilité utile...6. Hyperstatisme Etude statique Etude statique Hyperstatisme Isostatisme Etude pratique : Système Bielle manivelle - Piston Relation entre hyperstatisme et mobilité Relation Etude pratique réelle : Système Bielle manivelle Piston Déterminer les inconnues hyperstatiques : Système Bielle manivelle Piston Réduire l hyperstatisme : Système Bielle manivelle Piston Liaisons équivalentes De liaisons en série : Robot De liaisons en parallèle : Liaison glissière...8 Page Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

2 . DEFINITINS... Mécanisme Rappelons la notion de mécanisme : Définition : Un système mécanique ou mécanisme est un ensemble de pièces positionner entre elles par des contacts (donc en liaisons) dans le but de réaliser une ou plusieurs fonctions n peut schématiser un mécanisme dans le cas général de la façon suivante : Entrées Mécanisme Sorties Un mécanisme est schématisé par : son plan de définition son schéma cinématique ou schéma de structure si il n est pas miminum son graphe des liaisons Pour l étude de l hyperstatisme et de la mobilité du mécanisme l utilisation des modèles schématisé (graphe des liaisons et schéma de structure ou cinématique) est suffisant.... A chaîne ouverte n qualifie un mécanisme de chaîne ouverte lorsque son graphe des liaisons n est pas bouclé.ela caractérise les mécanismes de type bras de robot : y r 5 D 5 4 B z r Exemple : Bras de robot Schéma cinématique : x r A Page Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

3 Graphe des liaisons : z r Ax r Bx r 4 5 x r Dy r 5 haîne ouverte : pas de boucle ou cycle... A chaîne fermée n qualifie un mécanisme de chaîne fermée lorsque son graphe des liaisons est bouclé ou présente un cycle. ela caractérise les mécanismes de type transformation de mouvement. Exemple : Système Bielle Manivelle - Piston Schéma cinématique : A Manivelle Bielle z r B Graphe des liaisons : z r Piston x r Bx r Az r haîne fermée : boucle ou cycle Bz r... A chaîne complexe Nombre cyclomatique Mécanisme à chaînes complexes : Définition : Un mécanisme à chaîne complexe est un mécanisme pour lequel le graphe des liaisons présente des cycles imbriqués (partie de chaînes fermées) avec ou sans des parties de chaînes ouvertes. Page Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

4 Exemple : Robot de manutention Schéma cinématique : z r D B y r A x r Graphe des liaisons : Az r z r hélicoïdale z r Partie à chaîne fermée : ici cycles indépendants ( Transformation de mouvement ) Bz r 4 z r Dz r Partie à chaîne ouverte : bras du robot chaîne ouverte -4 cycles : mais seulement indépendants par la pivot ( Az, r ) Bz, r par la pivot liaison en parallèle = cycle Nombre cyclomatique : Définition : Le nombre cyclomatique, noté g est le nombre de boucles indépendantes du graphe des liaisons d un mécanisme Page 4 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

5 Sur l exemple du robot de manutention ci-dessus, on a boucles (deux en traits pleins et une en pointillé) mais uniquement sont indépendantes (la pointillée étant la réunion des deux précédentes en traits pleins). n a donc γ=. Notons : l le nombre de liaisons du graphe des liaisons. n le nombre de solides du graphe des liaisons. n a la relation suivante entre ces deux quantités et le nombre cyclomatique : γ = l n + Vérifions la sur notre exemple : Le robot de manutention possède 5 solides et 6 liaisons. n a donc l = 6 et n = 5. e qui donne γ = 6 5+ = cycles indépendants.. Liaisons équivalentes Donnons uniquement les définitions à ce paragraphe. n reviendra sur la façon de déterminer les liaisons équivalentes au paragraphe 5. Liaison équivalente de liaisons en série : Prenons une structure d une partie de mécanisme représentée par le graphe des liaisons partiel ci-contre : L L Rechercher la liaison équivalente de la mise en série des liaisons L et L revient à chercher à avoir une liaison L eq telle que le graphe des liaisons soit équivalent à celui-ci : L eq Liaison équivalente de liaisons en parallèles : L Prenons une structure d une partie de mécanisme représentée par le graphe des liaisons partiel ci-contre : L L Rechercher la liaison équivalente de la mise en parallèle des liaisons L, L et L revient à chercher à avoir une liaison L eq telle que le graphe des liaisons soit équivalent à celui-ci : L eq Page 5 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

6 Liaison équivalente d un mécanisme : Prenons un mécanisme représenté par son graphe des liaisons ci-dessous Rechercher la liaison équivalente entre et revient à cher le graphe des liaisons soit équivalent à celui-ci : L L 4 L L 7 6 L eq de la chaîne ---8 L eq de la chaîne L L 5 L 8 7 L L 9 Puis enfin à : L eq de la chaîne L eq de la mise en parallèle des liaisons L eq, L eq et L eq 8. Mobilité Etude cinématique.. Définitions Mobilité interne Mobilité utile Notations : L : Nombre total de liaisons N : Nombre total de solides dans le mécanisme n ci : nombre d inconnues cinématiques da la liaison i = nombre de ddl de la liaison i N c : nombre total d inconnues cinématiques Nc = nci En écrivant une fermeture cinématique pour chaque cycle indépendant du graphe des liaisons, on obtient un système d équation à 6γ équations dans l espace et γ équations dans le plan : r { ( i V ) } fois M i + = r γ M Sur ces 6γ équations, seules r sont indépendantes. r : nombre d équations cinématiques indépendantes Définitions : n appelle mobilité d un mécanisme la quantité m = N r avec m = mu + mi m i : mobilités internes du mécanisme = mouvements possibles de solides ou d ensemble de solides n entraînant pas le mouvement des autres solides du mécanisme Page 6 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

7 m u : mobilités utiles du mécanisme (en général ou ) = mouvements à fournir (via un actionneur) au mécanisme pour le mettre en mouvement Exemple : Système Bielle Manivelle Piston dans l espace : Descriptif : y r x r A R θ α x r L B Paramétrage des solides uuur r A= Rx uuur r AB = Lx uuur r B = λx ur r Ω =γ& x γ β o : Bâti o : Mannivelle o : Bielle o : Piston Graphe des liaisons : De façon évidente, en les comptant sur le graphe des liaisons ou sur le schéma cinématique : L = 4 N = 4 N = { pivots pivot vérifie bien γ = L N + = 4 4+ = n a donc une seule fermeture cinématique à écrire : r { ( )} { ( )} { ( )} { ( V + V + V + V ) } = r -γ& -λ& Lϑ& sinα + λβ& + Lϑ& cosα + = -β& { ϑ& α & 44 D Ω A Ω uuuur r uuur r x r x r z r Bz r Az r Page 7 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.

8 Système d équations à 6 équations et 5 inconnues (N =5) = γ& = = β& + ϑ& + α& = λ& + Lϑ& Þ 4 équations indépendantes (en bleu) Þ r = 4 sinα = λβ& Lϑ& cosα = m = N r Þ m = = { + {. Une seule mobilité utile (entrée : rotation α, sortie : translation λ ) et pas de m u m i mobilité interne.. Hyperstatisme Etude statique.. Etude statique Pour un mécanisme à N solides, on a N-solides si l on ne comptabilise pas le bâti (sur lequel on ne peut pas faire d isolement donc sur lequel on ne peut pas appliquer le Principe Fondamental de la Statique PFS) n peut donc appliquer le Principe Fondamental de la Statique PFS N- fois, c est à dire 6 N équations. obtenir un système a Sur ces 6( N ) équations, seules r S sont indépendantes. Définitions : r S : nombre d équations issues de la statique INDEPENDANTES N = n nombre total d inconnues statiques S Si n Si nombre d inconnues statiques de liaison i... Hyperstatisme Isostatisme Définitions : n appele degré d hyperstatisme, noté h, d un système mécanique la quantité h = NS rs n dit qu un système est isotatique si h = (autant d équations indépendantes que d inconnues Þ le système a une solution unique Page 8 Emmanuel FARGES EduKlub S.A.