FICHE DE RÉVISION DU BAC
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- Christophe Plamondon
- il y a 7 ans
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1 systèmes d équations suites 1. Vocabulaire 2.Calcul matriciel 3. suites Prérequis Plan du cours 1. Vocabulaire Définition : Une matrice de dimension est un tableau de nombres comportant lignes colonnes. On note le coefficient de la ligne de la colonne. est une matrice de dimension. correspond au coefficient. Matrice ligne : Une matrice ligne est une matrice de dimension. est une matrice ligne. Matrice colonne : Une matrice colonne est une matrice de dimension. 1
2 est une matrice colonne. Matrice carrée : Une matrice carrée d ordre n est une matrice de dimension. est une matrice carrée d ordre 3. Matrice diagonale : Une matrice diagonale est une matrice carrée telle que pour tout. est une matrice diagonale. Matrice identité : Une matrice identité est une matrice diagonale d ordre n telle que pour tout. On la note. Une matrice identité est toujours carrée. Matrice nulle : Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la note. 2
3 triangulaires : - Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée telle que pour tout. - Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée telle que pour tout. est une matrice triangulaire supérieure. est une matrice triangulaire inférieure. Matrice stochastique : Une matrice stochastique est une matrice carrée telle que pour tout pour tout pour tout. Ces matrices vont servir à résoudre des problèmes de probabilité. est une matrice stochastique. 2. Calcul matriciel Egalité de matrices : Deux matrices A B sont égales si seulement si tous leurs coefficients sont égaux. sont égales. Somme de matrices : La matrice somme des matrices A B de même dimension est une matrice de même dimension telle que pour tout pour tout ses coefficients sont égaux à. On ne peut additionner que des matrices de même dimension. 3
4 Propriétés : (commutativité) (associativité) Produit d une matrice par un nombre : Le produit d une matrice A par un nombre k est une matrice ka telle que pour tout pour tout ses coefficients sont égaux à. Propriété : (distributivité) Produit de matrices : Soient une matrice A de dimension une matrice B de dimension. La matrice C produit des matrices A B ( est une matrice de dimension telle pour tout pour tout Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut donc que le nombre de colonnes de la première soit égale au nombre de lignes de la deuxième. Attention : (non commutativité) 4
5 Propriétés : (associativité) (distributivité) Puissances de matrices : Soit A une matrice carrée d ordre n. Soit p un entier strictement positif. On pose : Propriétés : - Si avec a c réels, on peut écrire où I est la matrice identité. On a alors pour tout entier n strictement positif : 5
6 Opposée : La matrice opposée d une matrice A est la matrice, notée, telle que : Ses coefficients sont les opposés des coefficients de la matrice A. ont la même dimension. L opposée est unique. est l opposée de Inverse : La matrice inverse d une matrice carrée A est la matrice carrée, notée, telle que : Seule une matrice carrée peut avoir une matrice inverse, une matrice inverse est toujours une matrice carrée. Attention : si l opposée d une matrice existe toujours, ce n est pas le cas pour l inverse. Si l inverse existe, elle est unique. Matrice inversible : On dit qu une matrice A est inversible si sa matrice inverse existe. Propriété : Si A B sont inversibles, aussi. Déterminant : Soit A une matrice carrée d ordre 2. On appelle déterminant de A le nombre réel, note, tel que : 6
7 Propriété : Soit A une matrice carrée d ordre 2. A est inversible si seulement si. Son inverse est alors : est la matrice inverse de Matrice diagonalisable : Une matrice carrée A est diagonalisable s il existe une matrice P inversible une matrice D diagonale telle que : Toutes ces matrices sont carrées. On a également : Propriété : est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les puissances coefficients diagonaux de : des 7
8 3. suites Ecriture matricielle d un système linéaire : Un système linéaire d équations peut s écrire comme une équation de matrices. - Résoudre revient à résoudre l équation avec Si la matrice A est inversible, alors la solution X de l équation est : - Résoudre revient à résoudre l équation avec Si la matrice A est inversible, alors la solution X de l équation est : Suites géométriques de matrices : Soient A une matrice carrée une matrice colonne. Soit la suite de matrices colonnes définie par par la relation de récurrence : Pour tout, on a : (formule explicite). On rrouve les résultats des suites géométriques. Convergence : - Si converge alors la matrice colonne est la solution de : Attention : si dans l ensemble des réels la solution de l équation (avec ) est, ce n est pas le cas pour les matrices. 8
9 Système linéaire de suites définies par récurrence : - Soit la suite définie par la relation de récurrence suivante : pour tout (a b réels donnés) On pose On a alors une suite de matrices définie par récurrence : pour tout (suite géométrique) Formule explicite : pour tout - Soient les suites définies par la relation de récurrence suivante : pour tout (a, b, c d réels donnés) On pose On a alors une suite de matrices définie par récurrence : pour tout Formule explicite : pour tout Suites arithmético-géométriques de matrices : (suite géométrique) Soient A une matrice carrée, B une matrice colonne une matrice colonne. Soit la suite définie par par la relation de récurrence : Si est inversible alors : - il existe une suite telle que pour tout : est une suite géométrique d où : avec On rrouve les résultats des suites arithmético-géométriques. 9
10 Système linéaire de suites définies par récurrence : - Soient les suites définies par la relation de récurrence suivante : pour tout (a, b, c d réels donnés) On pose On a alors une suite de matrices définie par récurrence : pour tout (suite arithmético-géométrique) 10
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