Parallélogrammes particuliers

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1 Tout est dans le socle. I.Le rectangle Parallélogrammes particuliers 1) éfinition n appelle rectangle un quadrilatère qui a quatre angles droits. remarque 1: si un quadrilatère a trois angles droits, alors il en a quatre. émonstration: on considère un quadrilatère, avec: () (), () () et () (). Il faut montrer que () est perpendiculaire à (). () (), () (). eux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc () // ( ). () () et () // ( ). Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre. onc () (). 2) Propriétés du rectangle. Les rectangles sont des parallélogrammes particuliers. Ils ont donc toutes les propriétés des parallélogrammes. Il existe des parallélogrammes qui ne sont pas des rectangles. émonstration: est un rectangle. Tous ses angles sont droits, donc ses angles opposés sont droits. Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux, alors c'est un parallélogramme. orollaire: si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Illustration: est un rectangle. onc = et = () // () et () // () Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Illustration: est un rectangle. onc = et [] et [] ont le même milieu. n reconsidère à nouveau notre rectangle. n sait que est donc un parallélogramme. onc ses diagonales se coupent en leur milieu. e plus les triangles rectangles et ont un angle droit et les côtés de cet angle ont la même longueur. Les deux triangles sont donc isométriques. onc les hypoténuses des deux triangles ont la même longueur.

2 3) omment reconnaître un rectangle Si un quadrilatère a au moins trois angles droits, alors c'est un rectangle. 'est la remarque faite après la définition. Théorème admis: si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle. utre formulation: si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et deux côtés perpendiculaires, alors c'est un rectangle Illustration: est un parallélogramme et d est un angle droit. onc est un rectangle. émonstration: est un parallélogramme avec () perpendiculaire à (). d est un angle droit, et on sait que les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux. onc d = d. e plus est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. onc () // ( ) omme () est perpendiculaire à (), on peut appliquer le théorème: " Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre." onc () () a donc trois angles droits: d, d, et d. Par le théorème précédent, c'est donc un rectangle. Théorème admis: si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle. utre formulation: Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur, alors c'est un rectangle. Illustration: est un parallélogramme avec =. onc est un rectangle. émonstration: n considère un parallélogramme. n note ' le symétrique de par rapport à. onc est le milieu de [ ' ]. onc ' =. est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur. onc =. r, on sait que ' = donc ' = est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. onc () // (). omme,, et ' sont alignés, les droites () et (') sont la même droite. onc (') // (). ans ': (' ) // ( ) et ' =. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. onc ' est un parallélogramme. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur, donc = '.

3 r on sait que =. n en déduit donc que = '. Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice d'un segment, onc appartient à la médiatrice de [']. également puisque c'est le milieu de [']. onc () est la médiatrice de [']. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. onc () est perpendiculaire à la droite ('), c'est-à-dire la droite (). est donc un parallélogramme ayant un angle droit. 'est donc un rectangle. II. Le losange 1) éfinition n appelle losange un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur. 2) Propriétés du losange Si un quadrilatère est un losange, alors il a quatre côtés de même longueur. 'est la définition Illustration. est un losange. onc = = = Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles.. Illustration: est un losange. onc () // ( ) et () // ( ) émonstration: Si est un losange, alors il a tous ses côtés de la même longueur. onc ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme. onc est un parallélogramme. onc ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. orollaire: Tous les losanges sont des parallélogrammes particuliers. remarque 1: Un losange a donc toutes les propriétés des parallélogrammes. Il existe des parallélogrammes qui ne sont pas des losanges. Théorème admis: si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Illustration: est un losange. onc () () et [] et [] ont le même milieu. émonstration: est un losange. Ses diagonales sont [] et []. omme est un losange, tous ses côtés on la même longueur. onc =, et =. Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. onc et appartiennent à la médiatrice de []. onc () est la médiatrice de []. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. onc () est perpendiculaire à (). 3) omment reconnaître un losange. Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange. 'est la définition. Illustration: est un quadrilatère tel que: = = =.

4 onc est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange. Illustration: est un parallélogramme tel que =. onc est un losange. émonstration: n considère un parallélogramme tel que =. omme c'est un parallélogramme, ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux. onc = et =. onc tous les côtés de ont la même longueur. onc c'est un losange. Théorème admis: si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange. utre formulation: si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et de même milieu, alors c'est un losange. Illustration: est un parallélogramme et () (). onc est un losange. émonstration. n considère un parallélogramme de centre dont les diagonales sont perpendiculaires. n a donc () (). La droite () est donc la droite perpendiculaire à [] passant par son milieu. 'est donc la médiatrice de []. Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment. onc =, est donc un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur. 'est donc un losange. III. Le carré 1) éfinition n appelle carré un quadrilatère ayant quatre angles droits et tous les côtés de la même longueur. remarque 1: Les carrés sont donc des rectangles particuliers et des losanges particuliers. Ils ont donc toutes les propriétés des rectangles et des losanges. 2) Propriétés du carré Si un quadrilatère est un carré alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires deux à deux. Illustration: est un carré. onc () () () () () () () () Si un quadrilatère est un carré alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Illustration: est un carré. onc () // () et () // ()

5 Si un quadrilatère est un carré alors ses côtés ont tous la même longueur. Illustration: est un carré. onc = = = Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales sont perpendiculaires, ont le même milieu et la même longueur. Illustration: est un carré. onc () (), = et [] et [] ont le même milieu. Toutes ces propriétés se déduisent de celles des rectangles et des losanges. 3) omment reconnaître un carré. Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c'est un carré. émonstration: n considère un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. Il a donc quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur. 'est donc un carré. Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré. utre formulation: si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c'est un carré. Illustration: est un losange et d est un angle droit. onc est un carré. émonstration: n considère un losange, dont les côtés () et () sont perpendiculaires. est un losange, donc un parallélogramme particulier. omme il a un angle droit, c'est aussi un rectangle. est à la fois un rectangle et un losange. 'est donc un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré. utre formulation: si un quadrilatère a quatre angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré. Illustration: est un rectangle tel que =. onc est un carré. émonstration: n considère un rectangle, tel que =. est un rectangle donc un parallélogramme particulier. Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. onc est un losange. est à la fois un rectangle et un losange. 'est donc un carré.

6 Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires, alors c'est un carré. utre formulation:si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, de même milieu et de même longueur, alors c'est un carré. Illustration. est un parallélogramme tel que: () () et =. onc est un carré. émonstration: n considère un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires. Un parallélogramme ayant des diagonales de même longueur est un rectangle. onc est un rectangle. Un parallélogramme ayant des diagonales perpendiculaires est un losange. onc est un losange. est à la fois un rectangle et un losange. 'est donc un carré. IV. Parallélogrammes particuliers et axes de symétrie Théorème admis: si un quadrilatère est un rectangle, alors il a deux axes de symétrie: les médiatrices de ses côtés. émonstration: PRTIE : n montre que les médiatrices des côtés sont des axes de symétrie d'un rectangle. n considère un rectangle. n note (d) la médiatrice de []. Elle coupe () et I et () en J. I est le milieu de [], et (I) (I). Première partie: montrons que J est le milieu de []. Le quadrilatère IJ a donc trois angles droits. 'est donc un rectangle. Ses côtés opposés sont de même longueur, donc I = J. e même, IJ est un rectangle et I = J. r, I est le milieu de [], donc I = I. n en déduit que J = J. omme de plus, J appartient (), ela veut dire que J est le milieu de []. euxième partie: montrons que (d) est la médiatrice de []. (d) est perpendiculaire à () et () est parallèle à (). onc (d) est perpendiculaire à (). omme J est le milieu de [], on peut utiliser la définition de la médiatrice d'un segment. n obtient que (d) est la médiatrice de [] Troisième partie: montrons que (d) est un axe de symétrie de. (d) étant la médiatrice de [] et [], cela implique que par la symétrie d'axe (d), le symétrique de est et le symétrique de est. onc le symétrique de [] est []. e plus (d) étant la médiatrice de [] et [], cela implique que par cette même symétrie, [] et [] sont invariants (c'est-à-dire) qu'ils sont leurs propres symétriques. onclusion, (d) est un axe de symétrie de. e même on montre que la médiatrice de [] est un axe de symétrie de.

7 PRTIE : on montre que si une droite est un axe de symétrie d'un rectangle, alors c'est la médiatrice d'un des côtés du triangle. n considère un rectangle, et on note (d) un axe de symétrie de ce rectangle. Quatre cas sont possibles: 1 er cas: le symétrique de est. 2 e cas: le symétrique de est. 3 e cas: le symétrique de est. 4 e cas: le symétrique de est. 1 e cas: le symétrique de, c'est. (d) passe par le point.e ne peut donc être que la droite (). ela veut donc dire que le symétrique de est le point, donc que () est la médiatrice de []. onc que () est perpendiculaire à (). e qui n'est pas le cas. donc (d) ne passe pas par le point. 2 e cas: par la symétrie d'axe (d), le symétrique de, c'est. onc (d) est la médiatrice de []. 'est en même temps la médiatrice de [] (on l'a vu en partie ) 3 e cas: le symétrique de, c'est. ela veut dire alors que (d) est la médiatrice de [] n a alors deux possibilités: - le symétrique de c'est (et alors le symétrique de, c'est ) - le symétrique de, c'est (et alors le symétrique de, c'est. Si le symétrique de, est et le symétrique de est, cela signifie que (d) est la droite (). onc que () et () sont perpendiculaires. e qui n'est pas le cas. Si le symétrique de est, alors (d) est la médiatrice de []. (d) est donc la médiatrice de [] et de []. ela implique que les droites () et () sont parallèles. e qui est impossible, puisque ce sont les diagonales du rectangle. 4 e cas: Par la symétrie d'axe (d), le symétrique de, c'est. onc (d) est la médiatrice de []. 'est en même temps la médiatrice de [] (on l'a vu en ). ans les deux cas, (d) est la médiatrice de deux côtés du rectangle. Théorème admis: Si un quadrilatère est un losange, alors il a deux axes de symétrie: les supports de ses diagonales. émonstration: on considère un losange. PRTIE : =, et = =, et =. onc () est la médiatrice de [] et () est la médiatrice de []. onc Par la symétrie d'axe (): le symétrique de est le symétrique de est le symétrique de est le symétrique de est Par la symétrie d'axe () le symétrique de est le symétrique de est le symétrique de est le symétrique de est onc () et () sont des axes de symétrie de. PRTIE : y a-t-il d'autres axes de symétrie? n note (d) un axe de symétrie de. n a encore 4 cas:

8 1 er cas: le symétrique de est. 2 e cas: le symétrique de est. 3 e cas: le symétrique de est. 4 e cas: le symétrique de est. 1 er cas: le symétrique de est. (d) passe donc par le point En conséquence, le symétrique de est. onc (d) est la droite () 2 e cas: le symétrique de est. donc (d) est la médiatrice de []. Voilà un contre-exemple qui montre que ce n'est pas possible. 3 e cas: le symétrique de est. (d) est donc la médiatrice de []. r la médiatrice de [] est () (d) 4 e cas: le symétrique de est. donc (d) est la médiatrice de []. Voici un contre-exemple qui montre que ce n'est pas possible. (d) Théorème admis:un carré a quatre axes de symétrie: les supports de ses diagonales et les médiatrices de ses côtés. Un carré est un losange et un rectangle particulier. Il a donc les même axes de symétrie que ces deux figures. En a-t-il d'autres? n note (d) un axe de symétrie d'un carré. n cherche le symétrique de par cette symétrie d'axe (d). 1 er cas: c'est. (d) est alors la droite () 2 e cas: c'est. (d) est alors la médiatrice de []. 3 e cas: c'est. (d) est alors la droite () 4 e cas: c'est. (d) est alors la médiatrice de []. remarque 1: Tous les parallélogrammes particuliers: rectangles, losanges, et donc carrés ont un centre de symétrie: le point d'intersection des diagonales.