Loi binomiale. Xavier Hallosserie. avril Lycée Blaise Pascal. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
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- Thierry Chabot
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1 Loi binomiale Xavier Hallosserie Lycée Blaise Pascal avril 2016 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
2 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
3 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
4 Définition 1 Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l une appelée succès, notée S, de probabilité p, p 1 p S S Exemple : Le lancer d une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli. Si le «succès» est l obtention de pile, «l échec» sera l obtention de face. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
5 Définition 1 Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l une appelée succès, notée S, de probabilité p, l autre appelée échec, notée S, de probabilité 1 p. p 1 p S S Exemple : Le lancer d une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli. Si le «succès» est l obtention de pile, «l échec» sera l obtention de face. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
6 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
7 Définition 2 La loi de probabilité ci-dessous est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. issue succès (S) échec ( S ) probabilité p 1 p Exemple : Le lancer d une pièce équilibrée suit une loi de Bernoulli de paramètre 0, 5. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
8 Définition 3 Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ; On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note «X suit B(p)»). k 1 0 P (X = k) p 1 p Propriété 1 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors : Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
9 Définition 3 Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ; P (X = 0) = 1 p. On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note «X suit B(p)»). k 1 0 P (X = k) p 1 p Propriété 1 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors : Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
10 Définition 3 Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ; P (X = 0) = 1 p. On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note «X suit B(p)»). k 1 0 P (X = k) p 1 p Propriété 1 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors : son espérance mathématique est E(X) = p ; Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
11 Définition 3 Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ; P (X = 0) = 1 p. On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note «X suit B(p)»). k 1 0 P (X = k) p 1 p Propriété 1 Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors : son espérance mathématique est E(X) = p ; sa variance est V (X) = p(1 p). Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
12 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
13 Définition 4 Un schéma de Bernoulli est la répétition d épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
14 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
15 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
16 Définition 5 On considère un schéma de Bernoulli constitué de n épreuves et on note X la variable aléatoire égale au nombre de succès. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est notée B(n ; p). Exemple : On lance trois fois successivement un dé à 6 faces. On appelle succès l événement «obtenir la face 1». S S S 5 6 S S S 5 6 S S S S 5 6 S S S 5 6 S Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
17 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
18 Propriété 2 Pour tout entier k, 0 k n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté (lire «k parmi n»). Ces nombres sont appelés les coefficients binomiaux. ( ) n k Propriété 3 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors pour tout entier k, avec 0 k n, ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k. k Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
19 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
20 Propriété 4 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : son espérance mathématique est E(X) = np ; Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
21 Propriété 4 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : son espérance mathématique est E(X) = np ; sa variance est V (X) = np(1 p) ; Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
22 Propriété 4 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : son espérance mathématique est E(X) = np ; sa variance est V (X) = np(1 p) ; son écart-type est σ(x) = np(1 p). Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
23 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
24 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
25 Propriété 5 Pour tout entier n, n 1, ( ) n = 1 et 0 ( ) n = 1. n Preuve : Un seul chemin ne réalise aucun succès et un seul chemin réalise n succès. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
26 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
27 Propriété 6 Pour tous entiers n et k, n 1 et 0 k n, ( ) ( ) n n =. k n k Preuve : Il y a autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs, c est à dire n k succès. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
28 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
29 Propriété 7 Pour tous entiers n et k, n 1 et 0 k n 1, ( ) ( ) n n + = k k + 1 ( ) n + 1. k + 1 Preuve : ( ) n + 1 est le nombre de chemins réalisant k + 1 succès sur n + 1 épreuves. k + 1 Parmi ceux là il y en a : ( ) n qui commencent par un succès ; k Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
30 Propriété 7 Pour tous entiers n et k, n 1 et 0 k n 1, ( ) ( ) n n + = k k + 1 ( ) n + 1. k + 1 Preuve : ( ) n + 1 est le nombre de chemins réalisant k + 1 succès sur n + 1 épreuves. k + 1 Parmi ceux là il y en a : ( ) n qui commencent par un succès ; k ( ) n qui commencent par un échec. k + 1 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
31 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
32 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
33 Dans une population, on suppose qu un caractère est présent dans la proportion p. Pour juger de cette hypothèse, on prélève au hasard et avec remise, un échantillon de taille n et on calcule pour cet échantillon la fréquence f du caractère étudié. On cherche à savoir pour quelles valeurs de f, on peut décider d accepter ou de rejeter l hypothèse. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
34 Dans une population, on suppose qu un caractère est présent dans la proportion p. Pour juger de cette hypothèse, on prélève au hasard et avec remise, un échantillon de taille n et on calcule pour cet échantillon la fréquence f du caractère étudié. On cherche à savoir pour quelles valeurs de f, on peut décider d accepter ou de rejeter l hypothèse. population proportion p? Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
35 Dans une population, on suppose qu un caractère est présent dans la proportion p. Pour juger de cette hypothèse, on prélève au hasard et avec remise, un échantillon de taille n et on calcule pour cet échantillon la fréquence f du caractère étudié. On cherche à savoir pour quelles valeurs de f, on peut décider d accepter ou de rejeter l hypothèse. population proportion p? échantillon fréquence f Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
36 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
37 La v.a. X égale au nombre d individus de l échantillon qui présentent [ le] caractère étudié suit la loi binomiale de paramètre n et p. On partage l intervalle 0 ; n en trois [ ] [ ] [ ] intervalles 0 ; a 1, a ; b, b + 1 ; n de façon à ce que : p(x a 1) 0, 025 p(x b + 1) 0, 025 Pour cela on détermine a et b de la façon suivante : Définition 6 [ a L intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f est l intervalle n n] ; b où : a est le plus petit entier tel que p(x a) > 0, 025 ; b est le plus petit entier tel que p(x b) 0, 975. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
38 Sommaire 1. Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli 2. La loi binomiale 2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux 2.3 Espérance et variance de la loi binomiale 3. Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers 3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal 4. Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation 4.2 Règle de décision Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
39 [ a Si f n n] ; b alors on accepte l hypothèse selon laquelle la proportion du caractère dans la population est égale à p ; [ a Si f / n n] ; b alors on rejette cette hypothèse au risque d erreur de 5% la probabilité de rejeter l hypothèse alors qu elle est vraie est inférieure à 5% Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 13 avril / 30
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