Optique Géométrique TD Série N 1

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1 Université Pierre et Marie Curie - LP1 - UE nnée [email protected] Optique Géométrique TD Série N 1 Faisceaux lumineux ; lois de Snell-Descartes ; Notion de stigmatisme ; pproximation de Gauss ; Relation de conjugaison des dioptres sphériques. (Remarque : les quantités en gras désigneront des valeurs algébriques). 1) Réflexion totale On dispose d un flotteur mince,de rayon R au centre duquel on a planté un clou, perpendiculaire au plan du disque. La tête du clou est à la distance b du centre du disque. Le disque est placé dans l eau, le clou étant immergé. quelle condition le clou est-il visible pour un observateur placé dans l air? On prendra pour l indice de l eau n= ) Incidence de Brewster Un dioptre plan sépare l air d un milieu n. Pour quelle valeur de l angle d incidence le rayon réfléchi est-il perpendiculaire au rayon réfracté? 3) Mesure de l indice d un prisme On considère le prisme montré présenté sur la Fig. 1. i r r' i' Figure 1 : Déviation d'un rayon par un prisme Soit l angle que font les deux faces traversées par le rayon incident (la face opposée s appelle la base du prisme). Montrer que la déviation angulaire du faisceau entrant est égal à D= i + i. On cherche à déterminer l indice du prisme : L expérience montre que pour une radiation monochromatique donnée, la déviation D passe par une valeur minimum. Soit Dm la valeur de cette angle de déviation minimale. Déterminer la condition sur r et r pour que D=Dm. En déduire ensuite la condition sur i et i. En déduire la valeur de i en fonction de et de Dm et enfin la valeur de l indice du prisme. 4) Faisceau parallèle et miroir sphérique Soit la configuration optique de la Fig. 2 : Le point C est le centre du miroir sphérique et S son sommet. Le faisceau entrant est parallèle à l axe CS du miroir. UE LP103 Optique géométrique TD 1-27/10/09 1/6

2 i I C M S x Figure 2 a) Montrer que CM = R/( 2 cos i). b) Exprimer CM en fonction de R et de l ordonnée y du point I. Faire une figure et tracer quelques rayons. En déduire que si l on est dans les conditions de Gauss tous les rayons viennent pratiquement converger au même point de l axe. Donner la position de ce point. quoi correspond ce point? c) Déterminer la valeur maximale de y pour laquelle on a stigmatisme (approché) à mieux que 10%. 5) Mesure de l indice d un liquide Deus fils parallèles distants de a sont maintenues à la surface d un liquide d indice n, grâce à des flotteurs (non représentés sur la Fig. 3). Le liquide est placé dans un récipient dont le fond est garni de mercure formant un miroir plan. Soit h la hauteur du liquide au-dessus du mercure ; cette hauteur est réglable grâce à un dispositif à vases communicants. On observe l un des fils sous une incidence i donnée et on règle h de façon que l image de l autre fils coïncide avec le fil observé. Donner l expression de n en fonction de i,a et h. UE LP103 Optique géométrique TD 1-27/10/09 2/6

3 i a h Figure 3 : Indice d un liquide 6) Principe de Fermat et loi de Descartes pour la réfraction Le but de cette exercice est de redémontrer la formule de Descartes de la réfraction en appliquant le principe de Fermat : On considère deux milieux séparés par un dioptre (voir Fig. 5). Dans le milieu (1) la lumière se déplace à la vitesse V1 et dans le milieu (2) à la vitesse V2. O y i M r B milieu 2 x milieu 1 Figure 4 Soit deux points et B fixes, le premier dans le milieu 1 et le second dans le milieu. Soit un point M quelconque situé sur l interface entre les deux milieux (interface repérée par l axe des abscisses Ox). On désignera par i l angle que fait le segment M avec l axe des ordonnées Oy et r l angle que fait le segment MB avec Oy. Calculer le temps que mettrait la lumière si elle pouvait parcourir le segment M et le segment MB. En appliquant le principe de Fermat en déduire ensuite que : V2 sin i = V1 sin r. En définissant n=c /V où V est la vitesse dans un milieu donné et C la vitesse de la lumière dans le vide, retrouver la formule de Descartes pour la réfraction. 7) Dioptre plan-sphérique Soit la configuration optique de la Fig. 6. La lentille «demi-boule plan» convexe est éclairée par un faisceau parallèle. On se propose d estimer les limites quantitatives permettant d avoir UE LP103 Optique géométrique TD 1-27/10/09 3/6

4 un «bon» stigmatisme de ce système optique. Soit un rayon arrivant parallèlement à l axe optique et situé à une distance h de cet axe. a) Etablir la relation liant S et h en fonction de R et des angles i et r. b) u delà de quelle valeur de h il n a plus de rayon émergent (on déterminera pour cela l angle r au delà duquel il n y a plus de rayon émergent)? c) Montrer que le foyer image F de ce dioptre plan-sphérique est situé en SF = R/(n-1)..N. pour n=1.5. R h r I i O S Figure 5 8) Fibre optique a) On considère une fibre optique (Figure 6) constituée par un cylindre centrale (le cœur) d indice n2 et d une gaine cylindrique d indice n1<n2. Montrer que tout rayon situé dans un plan méridien de la fibre et faisant un angle θ avec l axe reste prisonnier de la fibre si θ<β où est β un angle que l on exprimera en fonction de n1 et n2. Figure 6 b) Soit L la longueur de la fibre et c la vitesse de la lumière dans le vide ; calculer la différence de temps mis par le rayon parcourant le moins de temps dans la fibre et celui parcourant le plus de temps..n. : n2=1.6, n1=1, c= m/s et pour L prendre successivement L= 1m, 100 m et 10 km. Remarque : Les rayons lumineux d inclinaisons différentes n ont pas le même chemin optique à parcourir dans la fibre d indice uniforme (n2=n0). Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans la fibre subit un élargissement temporel lorsqu elle ressortira de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d informations à grandes distances par ce type de fibre. 9) Dioptre sphérique Soit un dioptre sphérique de rayon de courbure R, de centre C et de sommet S (Figure 7). Le dioptre sépare un milieu d indice n1 et l autre d indice n2. Soit un rayon partant du point, passant par le point I et émergent au point. On suppose que ce rayon vérifie les conditions UE LP103 Optique géométrique TD 1-27/10/09 4/6

5 de Gauss, autrement dit a est très petit ce qui implique que SI << R. Exprimer en fonction de n1, n2 et R la relation reliant S à S. Soit B un point situé dans le plan passant par et orthogonal à l axe SC. Ce point est à une distance de l axe petite devant R si bien que le rayon passant par B et S vérifie les conditions de Gauss. Le rayon issu de B émerge en B (voir Figure 8). On notera a l angle algébrique entre S et I et a entre S et I. Montrer que ' B B ' = Γ où Γ est une constante qui ne dépend que de la position de et de et des autres constantes du système. Déterminer cette constante en fonction du rapport S/S, de n1 et n2. Démontrer ensuite l invariant de Lagrange Helmholtz, à savoir : n = ' ' ' 1 B a n2 B a Figure 7 Figure 8 On considère maintenant un faisceau parallèle et étroit (de section très petite devant R) qui se propage dans le milieu d indice n1 suivant l axe SC (voir Figure 9). Montrer que les rayons constituants ce faisceau convergent tous au point F représenté sur la figure. Exprimer SF en fonction de n1, n2 et R. UE LP103 Optique géométrique TD 1-27/10/09 5/6

6 n 1 n 2 >n 1 S F C Figure 9 Comment se comporte le dioptre lorsque n2<n1 et que devient l'image? Justifier à l'aide d'un schéma. Retrouver cette propriété à l'aide de la relation de conjugaison. 10) Stigmatisme d un miroir plan On considère un miroir plan et un objet lumineux. Construire l image de à travers le miroir. Montrer que ce système optique assure un stigmatisme exact (rigoureux). On considère maintenant un objet B, construire son image à travers le miroir. UE LP103 Optique géométrique TD 1-27/10/09 6/6