Traitement du Signal. La Transformée de Fourier Discrète
|
|
- Coralie Laframboise
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Traitement du Signal James L. Crowley Deuxième Année ESIMAG première Bimestre 2002/2003 Séance 9 : 2 décembre 2002 La Transformée de Fourier Discrète La Transformée de Fourier Discrète...2 Formule du Jour :...2 otation pour la racine d'unité...3 Propriétés de W...4 Démonstration de la orthogonalité :...4 Définition de la Transformée de Fourier Discrète...6 Interpretation en Algebre Linéaire...7 Les Propriétés de la DFT...8 Analyse du Transforme de Fourier Discrete...9 Utilisation de la TFD pour le convolution Convolution Apériodique...11 Filtrage par Produit de Transformée de Fourier Discrète...12 Convolution Circulaire (ou périodique)...13 Convolution par TFD...14 Convolution avec un signale de durée non-borné...15
2 La Transformée de Fourier Discrète Formule du Jour : Définition de la Transformée de Fourier Discrète (TFD ou DFT en Anglais) Définition : Soit une séquence de échantillons x(n) pour n [0, 1] TFD{x(n)} = X(k) = 1 x(n) e j2π nk n=0 = n=0 1 x(n) W nk La TFD comprend des fréquence de k cycles sur échantillons, k [ 2, 2 1] TFD Inverse : TFD 1 {X(k)} = x p (n) = 1 /2 1 X(k) e j2π nk k= /2 = 1 k= /2 /2 1 X(k) W nk Intérêt : Il existe un algorithme qui permettent de calculer la transformée d une séquence de échantillons avec un coût de calcul Log 2 multiplications. Ceci permet un filtrage rapide par multiplications dans le domaine Fourier. Si est 2 p, on peut utiliser l algorithme rapide (FFT) de Cooley - Tukey. 9-2
3 otation pour la racine d'unité La transformée de Fourier Discrete est définit à l'aide d'une exponentielle complexe. L'exponentielle complexe "discrète" est définie par la substitution de n pour t. e j2πfn = Cos(2πfn) + j Sin(2πfn) Par exemple pour f = 1 2π ou ω = (une cycle pour echantillons), Cos( 2πn 2πn ) + j Sin( ) a la forme : On peut definir : W = e j2π 1 = Cos (2π 1 ) j Sin(2π1 ) Les n puissances de W pour n [0,..., 1] divise le circle unitaire (Théorem de de Moivre). W n est une séquence W (n) = Cos (n 2π ) j Sin(n2π ) W n = (e j2π 1 ) n = e j2πn W n = (Cos (2π 1 ) j Sin(2π1 ) )n = Cos (2π n ) j Sin(2πn ) Im 2 2π 2π Re 9-3
4 Propriétés de W W n+m = W n W m W n mod = W n pour tour entier m : W m = 1 W /2 = 1 Une puissance entier "k" est ajouté afin de definir une ensemble de séquences (signals) orthogonales. k [ 2, 2 1] ou bien k [0, 1] W nk = e 2πj nk = W k (n) = Cos (2πn k ) j Sin(2πnk ) Les k fonctions W nk = W k (n) = e 2πj nk pour k [ 2, 2 1] sont orthogonale sur n [0, 1]. <W nk 1, W nk 2 > = Ν k 1 = k 2 0 sinon Démonstration de la orthogonalité : Orthogonalité: <W nk 1, W nk 2 > = Ν si k 1 = k 2 0 sinon Demonstration : -1 : <x(n), y(n)> = x(n) y*(n) n=0 <e j2π k 1 n,), e j2π k 2 n > = 0-1 e j2π k 1 n e+j2π k 2 n 9-4
5 Deux cas : Si k 1 = k 2 alors 0-1 = e j2π (k 2 k 1 ) n Ν k 1 = k 2 = 0 0 sinon -1 e j2π (k 2 k 1 ) n = 0-1 e j2π (0) n = = -1 1 Si k 1 k 2 alors k 3 = k 1 k 2 > 0 et e j2πn k 3 = 0. 0 On peut, ainsi faire une projection reversible d'une séquence de echantillons, x(n) sur les signals de la forme W nk = W k (n) = e 2πj nk. 9-5
6 Définition de la Transformée de Fourier Discrète (TFD ou DFT en Anglais) Soit une séquence de échantillons x(n) pour n [0, 1] TFD{x(n)} = X(k) = 1 x(n) e j2π nk n=0 = n=0 1 x(n) W nk La TFD comprend des fréquence de k cycles sur échantillons, k [ 2, 2 1] TFD Inverse : TFD 1 {X(k)} = x p (n) = 1 /2 1 X(k) e j2π nk k= /2 = 1 k= /2 /2 1 X(k) W nk 9-6
7 Les Propriétés de la DFT 1) Linéarité : TFD{a x(n) + b y(n)) = a TFD(x(n)) + b TFD(y(n)} 2) Renversement temporel : TFD{x(-n)} = X(-k) 3) Conjugaison : TFD{x*(n)} = X*(-k). 4) Rétard en temps. TFD{ x(n + no)} = X(k) e j2π n o 5) Rétard en fréquence. TFDI{ X(k-ko)} = x(n) e j2πk o 6) Symmetrie : si x(n) est REEL pour 0 n -1 alors Re{ X(k) } = Re{ X( -k) } Im{ X(k) } = -Im{ X( -k) } X(k) = X( -k) si x(n) = x(-n) Alors Im{ X(k) } = 0 OTE : dans ce cas X(k) = X*(k) 7) Convolution Circulaire : TFD( x(n) y(n) } = X(k) Y(k) TFD{x(n) y(n)} = X(k) Y(k). Il s agit d une convolution circulaire. Pour cette raison, le filtrage numérique par TFD demande certaines précautions. 9-7
8 Analyse du Transforme de Fourier Discrete. L'exponentielle complexe "discrète" est définit par : e j 2πn = Cos(2πfn) + j Sin(2πfn) Pour un Transformée de Fourier, il faut spécifer le range de f, et de. W nk = (e j2π k ) n = e j2πnk W nk = (Cos (2π k ) j Sin(2πk ) )n = Cos (2π nk ) j Sin(2πnk ) Par exemple pour = echantillons il y a fréquences : f k = k Im n=2 n=2 Im n=1 n=2 Im n=1 n=1 Re Re Re k=1 k=2 k=3 Le fréquence le plus bas et f = 0 est k=0 Le deuxième fréquence k=1 et f = 1 : 1 cycle per échantillons f = 1 2π ou ω = (une cycle pour echantillons), Cos( 2πn 2πn ) + j Sin( ) a la forme : n Cos(n2π/) sin(2πn/)
9 Cos(n2π/) Le deuxième bas fréquence est 2 cycles per. Donc k = 2. W n2 = Cos (n 4π ) j Sin(n4π ). f = 2 ou ω = 4π Im 2 2π 2π Re Cos(n4π/) 9-9
10 Pour k = 3 : W n3 = Cos (n 6π ) j Sin(n6π ). f = 3 pour k = 4 W n4 = Cos (n 8π ) j Sin(n8π ). f = 4 ou ω = 6π ou ω = 8π 9-10
11 Interpretation en Algebre Linéaire La transformée de Fourier Discrète peut être vue comme une transformation linéaire appliqué au vecteur x(n) afin de rendre le vecteur X(k). Les lignes de cette transformation sont les complexes exponentielles. X(k) = F x(n) F est une matrice avec les coefficients f kn = W nk = e 2πj nk où bien : X(0) X(1)... X( 1) X(0) X(1)... X( 1) = = W 0 0 W W 0-1 W 1 0 W W W -1 0 W W -1-1 x(0) x(1)... x(-1) e 2πj0.0 e 2πj e 2πj0.(-1) e 2πj1.0 e 2πj e 2πj1.(-1)... e 2πj(-1).1 e 2πj(-1).2... e 2πj(-1).(-1) ote que les coefficient X(k) sont périodique en k avec période. Donc X( /2) = X(/2), X( /2+1) = X(/2+1), X( 1) = X( 2) etc. x(0) x(1)... x(-1) 9-11
12 Utilisation de la TFD pour le convolution Convolution Apériodique Soit deux séquence échantillonnée numérique de durée finie, x(n) de durée x y(n) de durée y tel que et n [0, x -1] et x(n) pour n [0, x -1] y(n) pour n [0, y -1]. Les séquences apériodique sont nuls hors de leur intervalle de définition. La convolution apériodique de x(n) avec y(n) est une produit de x(n) et y( n) pour chaque position entre 0 et x + y -2. y(n) = x(n) * y(n) = x + y -2 x(m).y(n m) = m=0 x + y -2 x(n m).y(m) m=0 La taille de la résultat est de = x + y 1 échantillons. Le premier valeur non nul est cré pour n = 0 : x(m) non-nul pour 0 m x -1, y(n-m) non-nul pour y(n) - y +1 m 0 n = x + y 1 : x(n) non-nul pour 0 n x -1, y(n-m) non-nul pour y(n) x 1 m x + y 1 ie. ( n- y -1 < m < n) La convolution coût O( x y ) opérations. x(n) 0 x -1 * y(n) 0 y -1 z(n) 0 x + y 1 Soit M = Min( x, y ) Le premier et dernier M echantillons de z(n) sont des effets de bords. 9-12
13 Filtrage par Produit de Transformée de Fourier Discrète. Un des intérêt principale de la TFD est qu'il permet de faire les convolutions de deux signaux de taille échantillons avec un coût de calcul de l'ordre de 2 Log() en lieu de 2. Mais le TFD réalise une convolution périodique. Ceci peut poser un piège. Signal Périodique : Soit l'opérateur MODULO : "mod". (int rend le partie entier d'une réel). m mod = m int{m/} exemples 18 mod 10 = 8, 3 mod 2 = 1 Soit x(n) et y(n) non-null pour n [0,..., -1] x p (n) = x(n mod ) y p (n) = y(n mod ). Soit x(n) et y(n) non-null pour n [0, -1] z p (n) = ITFD { TFD{x(n)}. TFD {y(n)} } où z p (n) = z p (n + k) pour k [, ] on dit que TFD{x(n)}. TFD {y(n)} x y(n) est convolution circulaire (où périodique) z p (n) = x y(n) = x p * y p(n) ou x p (n), y p (n), z p (n) sont des signals périodiques en Il est possible de calculer une convolution apériodique, x * y(n), par une produit de TFD. Mais pour ce faire, il faut incruster x(n) et y(n) dans des séquences périodiques en ajoutant les zéros. 9-13
14 Convolution Circulaire (ou périodique) x p (n), périodique avec périod, x p (n) = x p (n + k) pour k [, ] Soit x(n) une période de x p (n) x(n) = x p (n) pour n [0... 1] 0 sinon Soit y p (n), périodique avec périod, y p (n) = y p (n + k) pour k [, ] Soit y(n) une période de y p (n) y(n) = y p (n) pour n [0... 1] 0 sinon x y(n) 1 = x p y p (n) = xp (m).y p (n m) m=0 x(m) y(m) y(n m) n 9-14
15 Convolution par TFD Convolution Circulaire par TFD. TFD{x p (n) y p (n)} = TFD{x p (n)}. TFD {yp (n)} = X p (k). Y p (k). et par dualité TFD( x p (n). y p (n) } = TFD{x p (n)} TFD {y p (n)} = X p (k) Y p (k) Un des intérêt principale de la TFD est qu'il permet de faire les convolutions de deux signaux de taille échantillons avec un coût de calcul de l'ordre de 2 Log() in lieu de 2. Mais le TFD réalise un convolution périodique. Ceci peut poser une piège. Soit x(n) de durée n [0, x -1] et y(n) de durée n [0, y -1]. Il est possible de calculer un convolution aperiodique, x(n) * y(n), par une produit de TFD. Mais pour ce faire, il faut incruster x(n) et y(n) dans des séquence périodique x p (n) et y p (n) de taille = x + y 1. Les échantillons de x p (n) entre x 1 et x + y 1 sont zéro. Les échantillons de y p (n) entre y 1 et x + y 1 sont zéro. X p (k) = TFD {x p (n)} coût O( ln ) Y p (k) = TFD {y p (n)} coût O( ln ) Z p (k) = X p (k). Y p (k) coût O() z p (n) = TFDI{ Z p (k)} coût O( ln ) Cout total 3 O( ln ) + O() = O( ln ). Comparé à O( x y ) pour x(n) y(n) On est gagnant si ( x + y ) ln ( x + y ) < x y 9-15
16 h La Transformée de Fourier Discrète Séance 9 Convolution avec un signale de durée non-borné En pratique, on rencontre souvent des situations où il faut filtrer un signale de longue durée (voir illimité). C'est, par exemple, la cas lorsque on désire filtrer un signal représente la parole, le bourse, ou le sortie d'une capteur. Le calcul d'une TFD sur une longue durée pose certains problèmes pratiques. Pour un séquence longue, la coût en mémoire et en temps de calcule d'une TFD est prohibitif. De plus, pour obtenir le premier échantillon du résultat, on doit attendre la fin de tous le calculs. exemple : 10 seconds de parole au raison de 20 K échantillons per second = 200 K. Transformé de Fourier demande 200 K Log 2 ( 200 K) opérations et donne 200K échantillons on fréquence. On n'a pas besoins d'un tel précision en fréquence mais on a souvent besoins des résultats avec une retard inférieur à une seconde. Soit le filtre à convolué, h(n), est de durée h tel que et n [0, h -1] Le séquence a traiter, x(n) est d'une durée illimité. On choisit une taille = x + yh 1 en puissance de 2. (ex 1024). 1) Incrustrer h(n) dans une sequence h (n) de taille. 2) Caluler H(k) = TFD{h (n)} une fois 3) Appliquer la TFD sur des sections de x(n) de n [ debut, fin ] de taille M = h Attention: Les premiers h et les derniers h echantillons sont corrompus par l'effet de bord. x(n) h( h n) h( h +1 n) h( 1 n) corompus utilisable corompus M x(n) est decoupé en sections de taille x = h + 1 tous les M = 2 h + 1 echantillons. 9-
17 9-17
Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailTraitement du signal avec Scilab : la transformée de Fourier discrète
Traitement du signal avec Scilab : la transformée de Fourier discrète L objectif de cette séance est de valider l expression de la transformée de Fourier Discrète (TFD), telle que peut la déterminer un
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détail5.2 Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème
. Théorème de Fourier et Transformée de Fourier Fourier, Joseph (788). Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème Théorème «de Fourier»: N importe quelle courbe peut être décomposée en une superposition
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailLABO 5-6 - 7 PROJET : IMPLEMENTATION D UN MODEM ADSL SOUS MATLAB
LABO 5-6 - 7 PROJET : IMPLEMENTATION D UN MODEM ADSL SOUS MATLAB 5.1 Introduction Au cours de séances précédentes, nous avons appris à utiliser un certain nombre d'outils fondamentaux en traitement du
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailINTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE
INTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE Le schéma synoptique ci-dessous décrit les différentes étapes du traitement numérique
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailUtiliser des fonctions complexes
Chapitre 5 Utiliser des fonctions complexes Construire une formule conditionnelle avec la fonction SI Calculer un remboursement avec la fonction VPN Utiliser des fonctions mathématiques Utiliser la fonction
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailSUJET ZÉRO Epreuve d'informatique et modélisation de systèmes physiques
SUJET ZÉRO Epreuve d'informatique et modélisation de systèmes physiques Durée 4 h Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, d une part il le signale au chef
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailLicence Professionnelle de Génie Industriel Université Paris VI-Jussieu ; CFA Mecavenir Année 2003-2004. Cours de Génie Electrique G.
Licence Professionnelle de Génie Industriel Université Paris VI-Jussieu ; CFA Mecavenir Année 2003-2004 Cours de Génie Electrique G. CHAGNON 2 Table des matières Introduction 11 1 Quelques mathématiques...
Plus en détailProjet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR
Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Introduction En analyse d images, la segmentation est une étape essentielle, préliminaire à des traitements de haut niveau tels que la classification,
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailModule 7: Chaînes de Markov à temps continu
Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Patrick Thiran 1 Introduction aux chaînes de Markov à temps continu 1.1 (Première) définition Ce module est consacré aux processus à temps continu {X(t), t R
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailTransmission d informations sur le réseau électrique
Transmission d informations sur le réseau électrique Introduction Remarques Toutes les questions en italique devront être préparées par écrit avant la séance du TP. Les préparations seront ramassées en
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. Les quanta s invitent
TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS III CHAPITRE I Les quanta s invitent I-1. L Univers est en constante évolution 2 I-2. L âge de l Univers 4 I-2.1. Le rayonnement fossile témoigne 4 I-2.2. Les amas globulaires
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailChapitre 7. Récurrences
Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,
Plus en détailGéométrie discrète Chapitre V
Géométrie discrète Chapitre V Introduction au traitement d'images Géométrie euclidienne : espace continu Géométrie discrète (GD) : espace discrétisé notamment en grille de pixels GD définition des objets
Plus en détailAutomatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN
Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe
Plus en détailModèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques
Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailGrandes lignes ASTRÉE. Logiciels critiques. Outils de certification classiques. Inspection manuelle. Definition. Test
Grandes lignes Analyseur Statique de logiciels Temps RÉel Embarqués École Polytechnique École Normale Supérieure Mercredi 18 juillet 2005 1 Présentation d 2 Cadre théorique de l interprétation abstraite
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailAnalyse des Systèmes Asservis
Analyse des Systèmes Asservis Après quelques rappels, nous verrons comment évaluer deux des caractéristiques principales d'un système asservi : Stabilité et Précision. Si ces caractéristiques ne sont pas
Plus en détailAtelier C TIA Portal CTIA04 : Programmation des automates S7-300 Opérations numériques
Atelier C TIA Portal CTIA04 : Programmation des automates S7-300 Opérations numériques CTIA04 Page 1 1. Les types de données sous S7 300 Il existe plusieurs types de données utilisées pour la programmation
Plus en détailData first, ou comment piloter l analyse par les données
CNRS & Patrick Flandrin École Normale Supérieure de Lyon Data first, ou comment piloter l analyse par les données M2 de Physique Cours 2012-2013 1 Table des matières 1 Introduction 4 2 Rappel sur les analyses
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailMéthodes d ondelettes pour la segmentation d images. Applications à l imagerie médicale et au tatouage d images
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE THESE pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L INPG Spécialité : Mathématiques Appliquées préparée au Laboratoire de Modélisation et Calcul (LMC / IMAG) dans le
Plus en détail10ème Congrès Français d'acoustique Lyon, 12-16 Avril 2010
10ème Congrès Français d'acoustique Lyon, 12-16 Avril 2010 Le compressed sensing pour l holographie acoustique de champ proche II: Mise en œuvre expérimentale. Antoine Peillot 1, Gilles Chardon 2, François
Plus en détailDUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées
DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Francois.Kauffmann@unicaen.fr Université de Caen Basse-Normandie 3 novembre 2014 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat
Plus en détailMarkov processes and applications to queueing/risk/storage theory and mathematical biology
Markov processes and applications to queueing/risk/storage theory and mathematical biology Florin Avram Contents 1 Introduction aux processus stochastiques/aléatoires 3 2 Marches aléatoires et récurrences
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailPartie 1: Gestion de l interférence entre symboles
Partie 1: Gestion de l interférence entre symboles Philippe Ciblat Télécom ParisTech, France Algo de Viterbi Egalisation OFDM Section 11 : Algorithme de Viterbi Philippe Ciblat Gestion de l interférence
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailChapitre 1. Une porte doit être ouverte et fermée. 1.1 Les enjeux de l'informatique quantique
Chapitre Une porte doit être ouverte et fermée Crois et tu comprendras ; la foi précède, l'intelligence suit. Saint Augustin. Les enjeux de l'informatique quantique La puissance de calcul des ordinateurs
Plus en détailÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailJ AUVRAY Systèmes Electroniques TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMERIQUES : SIGNAUX EN BANDE DE BASE
RANSMISSION DES SIGNAUX NUMERIQUES : SIGNAUX EN BANDE DE BASE Un message numérique est une suite de nombres que l on considérera dans un premier temps comme indépendants.ils sont codés le plus souvent
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détail1.1.1 Signaux à variation temporelle continue-discrète
Chapitre Base des Signaux. Classi cation des signaux.. Signaux à variation temporelle continue-discrète Les signaux à variation temporelle continue sont des fonctions d une ou plusieurs variables continues
Plus en détailUne introduction aux codes correcteurs quantiques
Une introduction aux codes correcteurs quantiques Jean-Pierre Tillich INRIA Rocquencourt, équipe-projet SECRET 20 mars 2008 1/38 De quoi est-il question ici? Code quantique : il est possible de corriger
Plus en détailLois de probabilité. Anita Burgun
Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage
Plus en détailSAS ENTERPRISE MINER POUR L'ACTUAIRE
SAS ENTERPRISE MINER POUR L'ACTUAIRE Conférence de l Association des Actuaires I.A.R.D. 07 JUIN 2013 Sylvain Tremblay Spécialiste en formation statistique SAS Canada AGENDA Survol d Enterprise Miner de
Plus en détailNON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX
NON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX Vêlayoudom MARIMOUTOU Laboratoire d Analyse et de Recherche Economiques Université de Bordeaux IV Avenue. Leon Duguit, 33608 PESSAC, France tel. 05 56 84 85 77 e-mail
Plus en détailLABO 5 ET 6 TRAITEMENT DE SIGNAL SOUS SIMULINK
LABO 5 ET 6 TRAITEMENT DE SIGNAL SOUS SIMULINK 5.1 Introduction Simulink est l'extension graphique de MATLAB permettant, d une part de représenter les fonctions mathématiques et les systèmes sous forme
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailCOURS COLLÉGIAUX PRÉALABLES À L ADMISSION
Le candidat est tenu d avoir complété tous les cours préalables à la date limite prévue, soit le 15 septembre pour le trimestre d automne et le 1 er février pour le trimestre d hiver. L Université peut
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailLa transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications. Elise Raphael Semestre d automne 2009-2010
La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d automne 009-010 1 Contents 1 Transformée de Fourier sur un groupe fini 3 1.1 Dual d un groupe
Plus en détailCours de Master Recherche
Cours de Master Recherche Spécialité CODE : Résolution de problèmes combinatoires Christine Solnon LIRIS, UMR 5205 CNRS / Université Lyon 1 2007 Rappel du plan du cours 16 heures de cours 1 - Introduction
Plus en détailMouad Ben Mamoun Master Offshoring Informatique Appliquée
Cours Evaluation de performances des Systèmes Informatiques Mouad Ben Mamoun Master Offshoring Informatique Appliquée Département d Informatique, Université Mohammed V-Agdal email:ben mamoun@fsr.ac.ma
Plus en détailCREATION D UNE EVALUATION AVEC JADE par Patrick RUER (www.mathenvideo.comuv.com)
TABLE DES MATIERES I) Le logiciel JADE 2 II) Etablissements 3 1) Configuation de l établissement 3 2) Importation des classes avec SCONET 4 3) Les groupes d élèves 6 4) Les variables supplémentaires 6
Plus en détailLes Conditions aux limites
Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailINTRODUCTION AUX SYSTEMES D EXPLOITATION. TD2 Exclusion mutuelle / Sémaphores
INTRODUCTION AUX SYSTEMES D EXPLOITATION TD2 Exclusion mutuelle / Sémaphores Exclusion mutuelle / Sémaphores - 0.1 - S O M M A I R E 1. GENERALITES SUR LES SEMAPHORES... 1 1.1. PRESENTATION... 1 1.2. UN
Plus en détail