Transformée de Fourier Principe et Propriétés. par Vincent Choqueuse, IUT GEII
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- Juliette Beauchamp
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1 Transormée de Fourier Principe et Propriétés par Vincent Choqueuse, IUT GEII
2 . Problématique Problématique Contexte : La décomposition en série de Fourier présuppose que le signal soit périodique. Touteois, les signaux naturels sont rarement périodiques. Objecti : Étendre la notion de série de Fourier aux signaux apériodiques. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés / 33
3 . De la décomposition à la transormée de Fourier De la décomposition à la transormée de Fourier Principe : Pour les signaux s(t) apériodiques, nous allons considérer que s(t) est périodique mais de période T. Signaux périodiques : Comme T =, on peut écrire c n = T (T ) s(t)e jπ T n t dt et s(t) = c n e jπ T n t n Z () Signaux apériodiques : On pose = n T et on ait tendre T. On déinit alors la variable continue X() comme suit X() = lim T c n = s(t)e jπt dt () T et on obtient en utilisant la méthode des rectangles : s(t) = lim T c n e jπ T n t = T T n Z X()e jπt (3) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 3 / 33
4 3. Transormée de Fourier Transormée de Fourier Déinition 3. (Transormée de Fourier) Soit s(t) un signal respectant les trois conditions suivantes : s(t) est borné (pas de valeurs ininies). s (t)dt est inie. Les discontinuités de x(t) sont en nombre ini. Sous ces conditions, la transormée de Fourier de s(t), S(), est déinie par : S() = F (s(t)) = s(t)e jπt dt (4) La onction S() C est appelée spectre de s(t). Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 4 / 33
5 3. Transormée de Fourier Transormée de Fourier Déinition 3. (Transormée de Fourier Inverse) Soit s(t) un signal dont la transormée de Fourier S() = F (s(t)) existe. Le signal s(t) s obtient en calculant la transormée de Fourier inverse de S() : s(t) = F [S()] = S()e jπt d (5) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 5 / 33
6 3. Transormée de Fourier Transormée de Fourier La transormée de Fourier peut être vue comme la projection d un signal apériodique dans un espace composé d exponentielles complexes. Domaine temporel Domaine réquentiel Par rapport à la décomposition en série de Fourier où les réquences sont données par n = n (n Z), la transormée de Fourier détermine les composantes aux réquences, où est une variable continue. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 6 / 33
7 3. Transormée de Fourier Transormée de Fourier Exemple : Soit s(t) = Π l (t) le signal porte de largeur l déini par : { si l s(t) = Π l (t) = t < l ailleurs (6) En utilisant (4), s(t) a pour transormée de Fourier : S() = F [Π l (t)] = sin (πl) π (7) S()..8 φ(s()) temps (sec) Figure: Espace temporel 5 5 Figure: Espace réquentiel ( S() ) Figure: Espace réquentiel (φ(s())) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 7 / 33
8 4. Propriétés Linéarité Propriété de la transormée de Fourier Propriété 4. (Linéarité) Soit x(t) et y(t) deux signaux de transormée de Fourier respectives X() et Y() et α et β deux constantes. La transormée de Fourier de αx(t) + βy(t) est donnée par l équation : F (αx(t) + βy(t)) = αf (x(t)) + βf (y(t)) (8) Multiplier un signal par un gain α dans le domaine temporel revient à multiplier sa transormée de Fourier par un gain α dans le domaine réquentiel. Additionner deux signaux dans le domaine temporel revient à additionner leurs transormée de Fourier dans le domaine réquentiel. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 8 / 33
9 4. Propriétés Linéarité Propriété de la transormée de Fourier Exemple : Soit x(t) = Π l (t) le signal porte de largeur l. Les igures suivantes présentent le signal s(t) = αx(t) dans le domaine temporel et réquentiel (α =.75). Signal x(t) Signal α x(t) Signal x(t) Signal α x(t) 4 3 Signal x(t) Signal α x(t) Spectre S()..8.6 φ(s()) temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 9 / 33
10 4. Propriétés Dualité Propriété de la transormée de Fourier Propriété 4. (Dualité) Soit x(t) un signal dans le domaine temporel de transormée de Fourier X() = F (x(t)). Le signal temporel d equation X(t) a pour transormée de Fourier x( ). Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés / 33
11 4. Propriétés Dualité Propriété de la transormée de Fourier Exemple : Soit x(t) = sin(πtl) πt, en utilisant le théorème de la dualité on montre que la transormée de Fourier de x(t) est une porte Π l (). Les igures suivantes présentent le signal x(t) dans le domaine temporel et réquentiel (l = ). Signal x(t).8 Signal x(t) 4 3 Signal x(t).6.4 Spectre X()..8.6 φ(x()) temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés / 33
12 4. Propriétés Translation temporelle Propriété de la transormée de Fourier Propriété 4.3 (Translation temporelle) Soit x(t) un signal ayant pour transormée de Fourier X() = F (x(t)). Le signal s(t) = x(t + τ), obtenu en translatant le signal x(t) de τ, a pour transormée de Fourier : S() = F (x(t + τ)) = X()e jπτ (9) Avancer un signal dans le domaine temporel revient à multiplier sa transormée de Fourier par une exponentielle complexe e jπτ dans le domaine réquentiel. L inormation liée à la position temporelle du signal est contenue dans la phase. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés / 33
13 4. Propriétés Translation temporelle Propriété de la décomposition Exemple : Soit x(t) = Π l (t) le signal porte de largeur l. Les igures suivantes présentent le signal s(t) = x(t + τ) dans le domaine temporel et réquentiel (τ =.5). Signal x(t) Signal x(t+τ).8 Signal x(t) Signal x(t+τ) 4 3 Signal x(t) Signal x(t+τ).6.4 Spectre S()..8.6 φ(s()) temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 3 / 33
14 4. Propriétés Dilatation/contraction temporel Propriété de la transormée de Fourier Propriété 4.4 (Dilatation/contraction temporelle) Soit x(t) un signal de transormée de Fourier X() = F (x(t)). En dilatant (ou en contractant) l échelle des temps d un acteur γ, la transormée de Fourier de s(t) = x(αt) (α R) est donnée par : S() = F (x(αt)) = ( ) α X () α Lorsque l on contracte un signal dans le domaine temporel, on le dilate dans le domaine réquentiel et inversement. Un signal ininiment bre contient un spectre ininiment large. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 4 / 33
15 4. Propriétés Dilatation/contraction temporel Propriété de la transormée de Fourier Exemple : Soit x(t) = Π l (t) le signal porte de largeur l. Les igures suivantes présentent le signal compressé s(t) = x(αt) dans le domaine temporel et réquentiel (α =.5). Signal x(t) Signal x(α t).8 Signal x(t) Signal x(α t) 4 3 Signal x(t) Signal x(α t).6.4 Spectre S()..8.6 φ(s()) temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 5 / 33
16 4. Propriétés Dérivation Propriété de la transormée de Fourier Propriété 4.5 (Dérivation) Soit x(t) un signal de transormée de Fourier X() = F (x(t)). La transormée de Fourier de sa dérivée, s(t) = dx(t) dt, est donnée par la relation : S() = F (s(t)) = jπx () () Cette propriété permet de convertir des équations diérentielles dans le domaine temporel en equations polynômiales dans le domaine réquentiel. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 6 / 33
17 4. Propriétés Conservation d énergie Propriété de la transormée de Fourier Propriété 4.6 (Théorème de Parseval-Plancherel) Soit x(t) un signal de transormée de Fourier X() = F (x(t)). L énergie du signal, E, est égale à : E = x(t) dt = X() d () L énergie d un signal peut se déterminer en integrant dans le domaine temporel et/ou dans le domaine réquentiel. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 7 / 33
18 4. Propriétés Parité Propriété de la transormée de Fourier Propriété 4.7 (Parité) Soit x(t) un signal de transormée de Fourier X() = F (x(t)), il est possible de démontrer les propriétés suivantes : Signal x(t) Réel paire Réel impaire Réel Imaginaire paire Imaginaire impaire Imaginaire Spectre X() Réel paire Imaginaire impaire Complexe (partie réelle paire, partie imaginaire impaire) Imaginaire paire réel impaire complexe (partie réelle impaire, partie imaginaire paire) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 8 / 33
19 5. Signaux Particuliers Impulsion de Dirac Signaux Particuliers Déinition 5. (Impulsion de Dirac) L impulsion de Dirac, δ(t), est une distribution ayant pour propriétés : δ(t) = pour tout t. x(t)δ(t)dt = x() Propriété 5. (TF d un Dirac) La transormée de Fourier de δ(t) est égale à : F (δ(t)) = (3) La preuve découle immédiatement de la deuxième propriété de l impulsion de Dirac. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 9 / 33
20 5. Signaux Particuliers Impulsion de Dirac Signaux Particuliers Représentation : Les igures suivantes présentent l impulsion de dirac, δ(t), dans les domaines temporel et réquentiel. δ(t).8 Signal δ(t) 4 3 Signal δ(t).6.4. Spectre.8.6 Spectre temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) L impulsion de dirac est un signal très rapide qui excite toutes les réquences. A titre d illustration, l éclatement d un ballon ou le tir d une arme à eu gênèrent un son proche d une impulsion de dirac. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés / 33
21 5. Signaux Particuliers Constante Signaux Particuliers Déinition 5. (Constante) Le signal constante, x(t), est déini par l equation : x(t) = (4) Propriété 5. (TF d une constante) La transormée de Fourier de x(t) est égale à : X() = F () = δ() (5) La preuve découle directement des théorèmes 5.et 4. (dualité). Attention : La transormée d une constante n est pas une constante c-a-d F () = δ(). Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés / 33
22 5. Signaux Particuliers Constante Signaux Particuliers Représentation : Les igures suivantes présentent le signal constant x(t) =, dans les domaines temporel et réquentiel. x(t)=.8 Signal x(t)= 4 3 Signal x(t)=.6.4. Spectre.8.6 Spectre temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) La composante continue du signal est contenue dans la composante X( = ) du spectre. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés / 33
23 5. Signaux Particuliers Exponentielle complexe Signaux Particuliers Déinition 5.3 (Exponentielle complexe) Le signal exponentiel complexe, x(t), de réquence est déini par l équation : x(t) = e jπ t (6) Propriété 5.3 (TF d une exponentielle complexe) La transormée de Fourier de x(t) est égale à : X() = F ( e jπ t ) = δ( ) (7) La preuve découle directement du théorème 5. et 4.3. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 3 / 33
24 5. Signaux Particuliers Exponentielle complexe Signaux Particuliers Représentation : Les igures suivantes présentent l exponentielle complexe x(t) de réquence = Hz, dans les domaines temporel et réquentiel. Constante Exponentiel complexe 5 Constante Exponentiel complexe Constante Exponentiel complexe 4 3 Constante Exponentiel complexe 5 Spectre.8.6 Spectre temps (sec) temps (sec). 5 5 Figure: Espace temporel Figure: Espace temporel Figure: Espace (module) (phase) réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 4 / 33
25 5. Signaux Particuliers Sinusoïde Signaux Particuliers Déinition 5.4 (Sinusoïde) Le signal sinusoidal, x(t), de réquence est déini par : x(t) = sin(π t) (8) Propriété 5.4 (TF d une Sinusoïde) La transormée de Fourier de x(t) est égale à : TF [sin(π t)] = j (δ( + ) δ( )) (9) La preuve découle des ormules d Euler et du théorème 5.3. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 5 / 33
26 5. Signaux Particuliers Sinusoïde Signaux Particuliers Représentation : Les igures suivantes présentent un signal sinusoidal de réquence = Hz, dans les domaines temporel et réquentiel. Sinusoide.8 Sinusoide 3 Sinusoide.6.4. Spectre.8 Spectre temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 6 / 33
27 5. Signaux Particuliers Fonction Signe Signaux Particuliers Déinition 5.5 (Signe) Le signal signe, sgn(t), est déini par l équation : sgn(t) = si t < si t = si t > () Propriété 5.5 (TF de la onction signe) La transormée de Fourier de sgn(t) est égale à : TF[sgn(t)] = jπ () La preuve s obtient en démontrant que la transormée de Fourier de la onction (t) = est égale à F ( ) = jsgn() et en utilisant le théorème πt πt 4.. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 7 / 33
28 5. Signaux Particuliers Fonction Signe Signaux Particuliers Représentation : Les igures suivantes présentent la onction signe x(t) = sgn(t), dans les domaines temporel et réquentiel. Fonction Signe Fonction Signe 3 Fonction Signe Spectre.5 Spectre temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 8 / 33
29 5. Signaux Particuliers Fonction Echelon Signaux Particuliers Déinition 5.6 (Echelon) Le signal échelon, u(t), aussi appelé onction de Heaviside, est déini par : u(t) =.5 si t = si t < si t > () Propriété 5.6 (TF d un échelon) La transormée de Fourier de u(t) est égale à : F (u(t)) = jπ + δ() (3) La preuve s obtient en remarquant que u(t) = (sgn(t) + ) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 9 / 33
30 5. Signaux Particuliers Porte Signaux Particuliers Déinition 5.7 (Porte) Le signal porte, Π l (t), de largeur l et d amplitude unitaire est déini par : Π l (t) = { si l t < l ailleurs (4) Propriété 5.7 (TF d une porte) La transormée de Fourier de Π l (t) est égale à : F (Π l (t)) = lsinc (πl) (5) où sinc(x) = sin(x)/x est la onction sinus cardinal. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 3 / 33
31 5. Signaux Particuliers Porte Signaux Particuliers Représentation : Les igures suivantes présentent la onction porte x(t) = Π l (t) pour l =, dans les domaines temporel et réquentiel temps (sec) S() φ(s()) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 3 / 33
32 5. Signaux Particuliers Signal Périodique Propriété de la transormée de Fourier Déinition 5.8 (Signal Périodique) Sous reserve que la décomposition en série de Fourier d un signal périodique x(t) de période T = existe, x(t) peut s exprimer sous la orme : x(t) = c n e jπn t n= (6) Propriété 5.8 (TF d un signal périodique) La transormée de Fourier de x(t) est égale à : F (x(t)) = c n δ( n ) (7) n= La preuve découle directement des théorèmes 4. et 5.3. Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 3 / 33
33 5. Signaux Particuliers Signal Périodique Signaux Particuliers Représentation : Les igures suivantes présentent un signal carré de période T = et la onction porte x(t) = Π l (t) avec l =, dans les domaines temporel et réquentiel. Carré Porte Carré Porte Carré Porte. 3 S().8 φ(s()) temps (sec) Figure: Espace temporel Figure: Espace réquentiel (module) Figure: Espace réquentiel (phase) Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transormée de FourierPrincipe et Propriétés 33 / 33
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