DISTANCES ET AIRES. unité 4

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1 unité 4 DISTCS T IS es trois leçons de cette quatrième unité sont consacrées à la géométrie : la leçon 10 porte sur le cercle (définition, vocabulaire, tracé) et la construction, à la règle et au compas, d un triangle connaissant les longueurs de ses côtés, ce qui permet de revenir sur les triangles particuliers et leurs propriétés ; la leçon 11 porte sur la symétrie axiale (constructions et propriétés de «conservation» des distances et de l alignement) et dégage la propriété caractéristique de la médiatrice d un segment, qui justifi era certaines constructions au compas ; la leçon 12, première de deux leçons consacrées aux aires, permet d ajouter une propriété de conservation de la symétrie axiale dans le cadre plus large d un travail de comparaison géométrique des aires, et de leur différenciation avec les périmètres. eçon 10 > vec le compas : cercles et triangles p. 80 eçon 11 > Symétrie axiale et médiatrice d un segment p. 88 eçon 12 > ires : comparaisons et partages p. 95 D une leçon à l autre xplorons ensemble p. 104 xercices et problèmes p. 106 ilan des acquis p. 109 Maths et Cie p. 110

2 unité 4 eçon 10 vec le compas : cercles et triangles Cette leçon met en relation les objets géométriques : cercles/disques et triangles avec la notion de distance. insi le cercle sera introduit comme l ensemble des points équidistants à un point donné. Dans ce cadre, le compas est bien sûr un instrument qui joue un rôle central : pour reporter des mesures de longueurs, tracer des arcs de cercle ou un cercle. essources numériques es fichiers correspondant à cette partie de cours et ces exercices sont téléchargeables sur le site ( animations à vidéoprojeter avec un logiciel de géométrie planches à imprimer cours : construire un triangle, p. 113 activité 3, p. 110 exercice 36, p. 115 exercice 23, p. 114 exercice 25, p. 115 exercices complémentaires, p. 115 calcul mental, p. 108 activité 3, p. 110 QCM pour commencer, p. 108 Commentaire : l usage du compas fait l objet de la question 1 ; les questions 2 à 4 permettent de vérifier les connaissances des élèves sur le vocabulaire de base sur le cercle (rayon, diamètre) et les triangles (équilatéral, rectangle) en lien avec la désignation des points et le codage de propriétés sur les figures. 1 c et d 2 a et d 3 b et d 4 b et d Calcul mental, p. 108 Série 1 a/ 6 b/ 60 c/ 10 d/ 10 e/ 100 Série 2 a/ 150 b/ 1 min 40 s c/ 110 min d/ 200 min e/ 1 h 30 min Série 3 a/ 480 b/ 860 c/ d/ 13,8 e/ 63 ctivités pour découvrir ou redécouvrir ctivité 1, p Vérification sur l illustration (en mesurant avec une règle graduée) que = 3 cm et que = 3 cm. 2 a/ es élèves utiliseront peut-être des repères horizontaux ou verticaux ou l angle droit en (après en avoir vérifié l existence sur l illustration) pour placer les points et sur le cahier à partir d un point placé arbitrairement (l enseignant pourra indiquer aux élèves de positionner au centre de leur feuille). b/ es 10 points (placés sur le cercle de centre et de rayon 3 cm) peuvent être positionnés un à un avec la règle, ou bien par l intermédiaire du tracé du cercle au compas. 80

3 c/ Tracé au compas du cercle de centre et de rayon 3 cm. a propriété ainsi mise en évidence est : Si un point est situé à 3 cm de, alors il appartient à ce cercle. 3 on. n met ainsi en évidence la réciproque de la propriété vue à la question 2c : Si un point appartient au cercle, alors il est situé à 3 cm de. 4 S désignant la tente de Sam, [S] doit être un diamètre du cercle. S =. S est alors le diamètre du cercle. n dit aussi que S est le point diamétralement opposé à. ilan Tous les points situés à 3 cm du point se trouvent sur le cercle de centre et de rayon 3 cm. Commentaires : cette activité a pour objectif de voir ou de revoir le cercle comme ensemble de points équidistants (les emplacements possibles pour les tentes des amis de ili) d un point donné (l emplacement de la tente de ili). our les deux premières questions, il est important que l élève soit laissé libre des instruments de géométrie à utiliser et que le compas ne soit pas suggéré par l enseignant (car pour beaucoup d élèves, qui dit compas, dit cercle). S agissant de longueur sans que le cercle soit évoqué, on peut penser que dans un premier temps, la règle graduée sera privilégiée par les élèves. e compas sera envisagé à la question 2c (après avoir constaté que les 10 points semblent se positionner sur une ligne circulaire), ou peut-être à la question 2b par certains élèves (qui auraient déjà rencontré cette définition du cercle). a dernière question permet d introduire un diamètre comme une corde la plus longue possible d un cercle (les élèves l envisagent en général d eux-mêmes assez spontanément) et le diamètre comme la longueur commune de ces cordes, c est-à-dire le double du rayon du cercle. ctivité 2, p Disque «colorié» de centre I et de rayon 2,. Commentaire : il s agit de voir ou de revoir le disque comme ensemble de points situé à une distance inférieure ou égale à une distance donnée d un point donné. xercices d appropriation, p / et 2/ 3 4, 2 1/ et 2/ 3 cm 4 TZ = 1, ; TY < 1, ; UY < 0,9 cm ; UZ = 0,9 cm ; UX = 0,9 cm ; TX > 1,. ctivité 3, p. 110 Voir 1 es élèves ont à tracer : un cercle dont le centre correspond au bananier et de rayon 3 cm ; un cercle dont le centre correspond au palmier et de rayon. Certains élèves auront encore certainement tendance à procéder par tâtonnement en utilisant la règle graduée, et il est attendu qu ils n obtiennent la position approximative que d un seul point. utilisation correcte du compas fournit au contraire deux points candidats, et donne ainsi l occasion au professeur de privilégier cette construction, 81

4 qui permet de ne pas passer à côté d un trésor! es indications «utilise tes palmes» et «plonge» permettent de valider la position des deux points puisqu ils correspondent à deux endroits situés dans la mer. Seul alors «l expérience réelle» permettrait de savoir où se trouve le deuxième indice. 2 es élèves ont à tracer : un cercle dont le centre correspond au rocher et de rayon 3, ; un cercle dont le centre correspond au palmier et de rayon 3,. Ce qui donne encore deux points candidats. Mais les indications «sur l île» et «en creusant» permettent d éliminer celui qui est dans la mer. Commentaire : il s agit d activer ou de réactiver l utilisation du compas pour le report de longueurs. a première construction demandée correspond au tracé d un triangle à la règle et au compas, connaissant la longueur de chacun de ses côtés et elle met en évidence les deux possibilités. a deuxième construction sera largement réutilisée par la suite pour tracer un triangle isocèle, ou plus tard pour tracer la médiatrice d un segment, un losange ilan n peut placer ce point à l une ou l autre des deux intersections du cercle de centre et de rayon 3 cm, et du cercle de centre et de rayon. unité 4eçon 10 > vec le compas : cercles et triangles xercices d appropriation, p position possible du point I 6 position possible du point M position possible du point I 7 est un point du cercle 1 : = ; est un point du cercle 2 : D = ; est un point du cercle 1 : = ; est un point du cercle 2 : D =. ctivité 4, p. 111 a/ 1 triangle rectangle ; 2 triangle isocèle ; 3 triangle rectangle ; 4 triangle quelconque ; 5 triangle équilatéral. b/ 1 équerre et règle graduée ; 2 règle graduée et compas ; 3 équerre, règle graduée et compas ; 4 règle graduée et compas ; 5 règle graduée et compas. c/ 10 cm 1 4, 2 1, 3 7 cm 4 5 Commentaires : cette activité permet de faire le point sur les procédés de construction des triangles en fonction de leurs propriétés, repérées au préalable (construction d un répertoire de procédés de construction qui seront réutilisés par la suite). Ce répertoire sera complété en 5 e par l utilisation du rapporteur. 82

5 Certaines constructions sont plus délicates que d autres (notamment la construction d un triangle rectangle connaissant la longueur d un de ses côtés adjacents à l angle droit et la longueur de son hypoténuse). enseignant sera peut-être amené à formuler des aides ou à envisager collectivement la construction de certains triangles. ctivité 5, p. 111 Commentaire : on envisage la construction d un losange connaissant la longueur d une diagonale et d un côté comme celle de deux triangles accolés (le codage rappelant aux élèves qu un losange a ses quatre côtés de la même longueur). xercices d appropriation, p C 104, 3,3 cm 7 cm D 2 cm 4,7 cm 4, I 10 Indications sur le procédé de construction : dans la construction du triangle, une des trois longueurs peut être reportée grâce aux carreaux. Utiliser le compas pour le report des deux autres. 9 1/ 11 I 6, 10, 3,2 cm 2/ S 83

6 unité 4 eçon 10 > vec le compas : cercles et triangles xercices d application, p. 114 et 115 Sans crayon et sans calculatrice! Commentaire : ces exercices sont à mener à l oral, favorisant des discussions éventuelles sur les procédures utilisées par les élèves. 12 a/ fig. 3 ; b/ fig. 1 ; c/ fig. 2 ; d/ fig I ; ; Y ;. ayons : [I] ; [] ; []. Diamètre : []. Cordes : [I] ; [I] ; [] (un diamètre). 14 ar exemple : fig. 1 : tracer un cercle de centre et de rayon 1,. lacer un point à 3, du point. Tracer le cercle de centre et de rayon 2,. ommer et les points d intersection des deux cercles ; fig. 2 : tracer un segment [] de longueur. Tracer le cercle de centre de rayon [] (ou de rayon ou passant par ). Tracer le cercle de centre de rayon [] (ou de rayon ou passant par ). Cercles et disques Commentaire : les exercices 15 à 22 permettent de revoir les notions associées au cercle et au disque (rayon, centre, diamètre, corde) ainsi que leurs caractéristiques en termes de longueur ou de distance. 15 1/ et 2/ 3/ [] = 68 mm. 16 I 34 mm 17 1/ et 2/ cm = 0,40 m. 1,45 m + (0,40 m 2) = 1,45 m + 0,80 m = 2,25 m. e diamètre de la table doit être 2,25 m (ou 22) ,2 cm 5, 3, 21 Tracer un cercle de centre et de rayon. Tracer une corde [I] telle que I =. 22 Tracer un triangle équilatéral U. Construire le cercle de diamètre [U]. ommer le point d intersection du segment [] et du cercle (autre que ). Tracer [U]. 23 Voir : un guide de construction détaillé et modifiable est disponible sur le site pour chacun des trois logiciels eoebra, eoplan et Cabri II lus. Un fichier informatique avec la correction par étape est disponible pour chacun de ces logiciels. 1/ à 3/ position possible du point M 84

7 5/ Différents cas possibles deux points d intersection : e quadrilatère est un losange : de la même manière que l on vient de montrer que =, on trouve que = = ([] est un rayon du cercle de centre et de rayon [] ; [] est un rayon du cercle de diamètre []). aucun point d intersection : un point d «intersection» : Voir : on pourra utiliser les fichiers informatiques de l exercice 25 disponibles sur le site pour voir la construction par étape (trois logiciels). 25 Voir : des fichiers informatiques sont disponibles sur le site ainsi qu une aide pour chacun des trois logiciels (Cf. figures de l exercice 24). 26 6,3 cm Commentaire : les élèves peuvent envisager beaucoup de «cas» possibles se rapportant à d autres propriétés de la figure que le fait que les cercles se coupent ou non (par exemple : rayon du cercle 1 plus grand que celui de 2 ou non). Cela permettra à l enseignant de préciser l objet d une étude de cas. e cas des cercles tangents est à manier avec précaution à ce niveau. 24 1/ a/ et b/ 2/ est équilatéral car : [] et [] sont des rayons du cercle de diamètre [] ; [] et [] sont des rayons du cercle de centre et passant par. = = es emplacements possibles du point sont indiqués par les deux croix sur la figure ci-dessus. 27 [] est un rayon du cercle de centre qui passe par D. D =. Donc =. CD est un rectangle de longueur 10 cm et de largeur (d après le codage indiqué sur le dessin : angles droits et longueurs). = DC = 10 cm. est un point du segment [] : = + ou encore = = 10 cm =. 28 Commentaire : la construction de la figure 1, comme beaucoup d autres, sous-entend que l élève sache tracer un cercle ou un demi-cercle de diamètre donné (tracer le milieu du segment correspondant à un diamètre puis tracer le cercle ou le demi-cercle ayant ce point pour centre et passant par une extrémité de ce diamètre). I 85

8 unité 4 eçon 10 > vec le compas : cercles et triangles Commentaire : dans la figure 2, détermination du côté () du carré, puis construction du carré précédant le tracé de 4 arcs de cercle de centres les sommets du carré et passant par les milieux de 2 côtés cm 34 a/ 3, M Constructions de polygones Commentaire : pour les exercices 29 à 36, il sera pertinent de rappeler aux élèves de commencer par faire un dessin à main levée, en portant sur le dessin les indications de l énoncé et les codages éventuels / 2/ 7 cm M 10, M 4, b/ Étape 1 : dessiner une figure à main levée et porter les informations données par l énoncé. Étape 2 : construire un triangle rectangle en en vraie grandeur cm Étape 3 : terminer la construction du rectangle : à l équerre uniquement ; à l équerre et à la règle graduée (et à la règle) ; au compas et à la règle. 35 Indications sur le procédé de construction n commence par tracer le triangle rectangle CD, puis on trace C à partir du côté [C] et de la longueur = de son hypoténuse []. 9 cm 31 S 36 Voir : des fichiers informatiques sont disponibles sur le site pour chacun des trois logiciels. a/ Étape 1 : dessiner une figure à main levée et la coder. 4, Étape 2 : construction en vraie grandeur. ar exemple : T 8,3 cm Y 32 4, 4, C 0 ou 86

9 emarque : l absence d indication pour la longueur des côtés du losange autorise des formes très variées. b/ Étape 1 : Étape 2 : 0 2,7 cm D T 0 T 2,7 cm emarque : concernant ce losange, le choix pour l écartement des deux côtés tracés au départ (ce qui sera l angle T par exemple) est libre, et les formes obtenues par les élèves pourront encore être très variées. c/ Étape 1 : Étape 2 : 6 7 cm D U 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm emarque : à la différence des losanges des questions a et b, tous ceux obtenus ici par les élèves auront cette fois la même forme. T U 37 Indications sur le procédé de construction Cela revient à construire le triangle isocèle C, connaissant les longueurs de ses côtés et le triangle CD rectangle en C à partir d un de ses côtés adjacent à l angle droit, [C], et la longueur de son hypoténuse (procédé déjà revu au fil des exercices 34 et 35). ordre choisi pour la construction de chacun de ces triangles importe peu. 38 Indications sur le procédé de construction Cela revient à construire le triangle isocèle I, connaissant les longueurs de ses côtés, puis à suivre les indications données sur les angles droits sur la figure : construire la perpendiculaire à la droite () passant par, puis tracer la perpendiculaire à cette droite passant par I ar exemple : Tracer un rectangle D. Tracer le cercle de centre et de rayon. Tracer la droite () qui coupe le cercle en un point extérieur au rectangle, qu on nommera I. C D 87