Numérations : en base 10 décimale, dans d autres bases ; Opérations élémentaires : +,,,

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1 Numérations : en base 10 décimale, dans d autres bases ; Opérations élémentaires : +,,, Denis Vekemans 1 Principes de numération dans l ensemble des entiers naturels Dans la base décimale, celle que nous utilisons habituellement, l écriture du nombre dégage que le nombre en question est somme de 2 milliers et de 5 dizaines. Elle induit également que = = On peut voir, à travers cette écriture le rapport privilégié au nombre 10 duquel la base décimale tire son nom. Si l entier naturel n non nul est tel que 10 k n < 10 k+1 pour un certain entier nturel k, alors n s écrit avec k + 1 chiffres en base décimale. On peut aussi écrire un nombre entier naturel n en n importe quelle base b où b est un entier naturel supérieur ou égal à 2 : n = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b a k b k, où les entiers naturels a 0, a 1, a 2,..., a k sont strictement inférieurs à b (ce sont les chiffres permettant d écrire le nombre n dans la base b). Si l entier naturel n non nul est tel que b k n < b k+1 pour un certain entier nturel k, alors n s écrit avec k + 1 chiffres en base b. On rappelle : b 0 = 1 ; b 1 = b. Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit : n = a k... a 2 a 1 a (b) 0. Familièrement, la base 2 s appelle la base binaire, la base 60 s appelle la base sexagésimale. Exercice 1 Écrire 120 en base 7. Écrire 421 en base 5. Écrire 100 en base 2. Solution 1 1. (a) Première démarche. Les puissances successives de 7 sont 7 0 = 1, 7 1 = 7, 7 2 = 49, 7 3 = 343,... Dans 120, la plus grande puissance de 7 qui entre est 49 et elle rentre deux fois ; on donc 120 = Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; Calais cedex ; France 1

2 On continue, dans 22, la plus grande puissance de 7 qui entre est 7 et elle rentre trois fois ; on a donc 120 = = 231 (7). (b) Deuxième démarche. La division euclidienne de 120 par 7 donne 120 = Mais 17 n étant pas un chiffre de la base 7, on continue et la division euclidienne de 17 par 7 donne : 17 = Cette fois, 2 est un chiffre de la base 7, donc on écrit 120 = = ( ) = = 231 (7) Autre disposition de cette deuxième démarche : = = On lit le nombre en base 7 en remontant les chiffres : 231 (7). 2. (a) Première démarche. Les puissances successives de 5 sont 5 0 = 1, 5 1 = 5, 5 2 = 25, 5 3 = 125, 5 4 = 625,... Dans 421, la plus grande puissance de 5 qui entre est 125 et elle rentre trois fois ; on donc 421 = On continue, dans 46, la plus grande puissance de 5 qui entre est 25 et elle rentre une fois ; on a donc 421 = On continue, dans 21, la plus grande puissance de 5 qui entre est 5 et elle rentre quatre fois ; on a donc 421 = = 3141 (5). (b) Deuxième démarche. La division euclidienne de 421 par 5 donne 421 = Mais 84 n étant pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 84 par 5 donne : 84 = Mais 16 n étant toujours pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 16 par 5 donne : 16 = Cette fois, 3 est un chiffre de la base 5, donc on écrit 421 = = ( ) = (( ) 5 + 4) = = 3141 (5) 2

3 Autre disposition de cette deuxième démarche : = = = On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres : 3141 (5) = = = = = = On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres : (2). NB : Pour convertir l écriture d un nombre n de la base décimale en la base b : 1. On obtient a 0, qui est le dernier chiffre du nombre n, comme reste dans la division eulidienne de n par b, cette division fournissant le quotient q On obtient a i (tant que le quotient q i 1 est plus grand que b au sens large, en incrémentant i de 1 à chaque fois) comme reste de la division euclidienne de q i 1 par b, cette division fournissant le quotient q i. 3. On obtient a k, qui est le premier chiffre du nombre n, égal à q k 1. Puis, n = a k... a 1 a (10) 0. Exercice 2 Transcrire le nombre (6) dans notre système décimal. Solution 2 1. Première démarche. Par lecture directe : (6) = = = Deuxième démarche. En utilisant les divisions euclidiennes : n 5 n = m m 4 m = l l 3 l = k k 2 k =

4 En partant d en bas, on remonte dans le tableau et = = = = Conclusion : (6) = Exercice 3 2. Transcrire le nombre 123 (4) en base 2. Ensuite, transcrire le nombre (4) en base Solution (4) = = = ( ) ( ) 1 = = (2) Il nous a suffit de coder chacun des chiffres en base 4 sur deux chiffres en base 2 (0 en base 4 est réécrit 00 en base 2, 1 est réécrit 01, 2 est réécrit 10 et 3 est réécrit 11). Appliquant ce même principe, on obtient directement : (4) = (2). Analyse de productions d élèves [Lille (1999)] Sujet Solution Volet didactique [Lille (1999)] Sujet Solution Volet didactique [sujet d examen ] Sujet Solution 2 Les techniques opératoires 2.1 L addition = XXX 4

5 En base 10, (5) (5) = XXX (5) En base 5, (2) (2) = XXX (2) En base 2, (20)(20)(20) (60) + (20)(30)(40) (60) = XXX (60) En base 60, 1 (20) (20) (20) + (20) (30) (40) (40) (51) (0) Exercice 4 [Lyon (2004)] Toto additionne deux nombres entiers avec la méthode habituelle, et trouve 499 sans faire d erreur. Combien de retenues a-t-il effectuées? Solution 4 Le chiffre 9 des unités du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue? Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19 (au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat). Cependant, la somme des chiffres des unités vaut au plus = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités du résultat ait été obtenu en posant une retenue! Le chiffre 9 des dizaines du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue? Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19 (au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat et sachant qu aucune retenue ne provient du calcul du chiffre des unités du résultat). Cependant, la somme des chiffres des unités vaut au plus = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités du résultat ait été obtenu en posant une retenue! 5

6 L obtention d une somme de deux nombres entiers égale à 499 est donc réalisée sans retenue! 2.2 La soustraction Pour la pose de la soustraction de x y, on rencontre généralement deux processus par échanges dans a, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à droite (les unités, puis les dizaines, puis les centaines,..., et quand pour un certain rang le chiffre de x est plus grand ou égal à celui de y, il n y a pas problème et le chiffre obtenu est la différence des deux chiffres ; le chiffre de x est strictement plus petit que celui de y, on emprunte 1 au rang de gauche qu on transforme en 10 du rang actuel (aspect décimal de la numération) : par exemple, on convertit une dizaine en dix unités, une centaine en dix dizaines,... Remarque. Un inconvénient de cette méthode est qu elle est à réitérer lorsqu on est amené à emprunté à 0, comme dans : au rang des unités, 4 7 ne fournit pas un chiffre, on emprunte donc une dizaine, mais 104 ne comporte pas de dizaine, on doit donc emprunter une centaine au rang des centaines et transformer d abord la centaine en dix dizaines, puis une des dizaines en dix unités. par compensation dans a, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à droite (les unités, puis les dizaines, puis les centaines,..., et quand pour un certain rang le chiffre de x est plus grand ou égal à celui de y, il n y a pas problème et le chiffre obtenu est la différence des deux chiffres ; le chiffre de x est strictement plus petit que celui de y, on rajoute 10 du rang actuel qu on compense en retirant une dizaine supplémentaire au rang de gauche (aspect décimal de la numération ; mais aussi l aspect du sens écart de la soustraction : si on rajoute une même quantité à deux termes, l écart entre ces deux termes ne change pas) : par exemple, si on a besoin de dix unités, on compense en soustrayant une dizaine supplémentaire, ou si on a besoin de dix dizaines, on compense en soustrayant une centaine supplémentaire,... Remarque. Un inconvénient de cette méthode est que le sens écart de la soustraction qu elle met en jeu n est pas évidente pour un élève, l algorithme est plus difficile à mémoriser car il n est pas forcément toujours bien compris. Méthode par compensation = XXX En base 10, (5) 1234 (5) = XXX (5) 6

7 En base 5, (2) (2) = XXX (2) En base 2, (40)(40)(40) (60) (30)(40)(50) (60) = XXX (60) En base 60, (40) (1)(40) (1)(40) (30) (40) (50) 1 1 (9) (59) (50) Analyse de productions d élèves [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, La Martinique (2001)] Sujet Solution Analyse de productions d élèves [D après Créteil, Paris, Versailles (2004)] Sujet Solution 2.3 La multiplication Pour clarifier l algorithme, les retenues additives ne sont plus notées = XXX 7

8 2. 33 (5) 34 (5) = XXX (5) En base 10, Table de = = = = = = = = = En base 5, (2) (2) = XXX (2) Table de = = = = 301 En base 2, Table de = Exercice 5 [Créteil, Paris, Versailles (1999)] On considère le nombre A = Déterminer le nombre de chiffres de A. 2. Démontrer que le chiffre des dizaines est 7 et que le chiffre des unités est Les calculatrices courantes ne donnent pas directement tous les chiffres du nombre A. Sans utiliser la technique opératoire de la multiplication, c est-à-dire sans poser l opération , décrire un procédé qui utilise une calculatrice affichant dix chiffres et qui permette de déterminer tous les chiffres du nombre A. Solution 5 8

9 < < 10 8 et < < 9 105, d où < A < , ou encore < A < et le nombre A possède 14 chiffres = a (où a est le nombre de centaines de ), et = b (où b est le nombre de centaines de ), donc A = (a ) (b ) = a b a a b b (en développant) = c (où c est un entier qu on ne cherche pas à calculer) = d (où d est un entier qu on ne cherche pas à calculer) et A a 5 pour chiffre des unités et 7 pour chiffre des dizaines = ( ) = ( et sont des résultats donnés par la calculette) = = (en posant l addition) Volet didactique [Guadeloupe, Guyane (2004)] Sujet Solution 2.4 La division euclidienne Pour clarifier l algorithme, les compensations soustractives ne sont plus notées = XXX 9

10 Table de = 37 En base 10, = = = = = = = = (5) 12 (5) = XXX (5) En base 5, (2) 101 (2) = XXX (2) Table de = = = = 103 En base 2, Table de =

11 2.5 Technique de la multiplication à la russe et égyptienne A la russe : Somme : Egyptienne : Somme : 82 Somme : Questions 1. Par ces deux techniques, calculer Expliquer que ces techniques sont valables. 3. Combien de lignes la multiplication nécessite-t-elle (il n est pas obligatoire d effectuer le calcul pour répondre à la question)? 3 Les critères de divisibilité dans la base décimale Théorème 3.1 Un entier naturel n est divisible par 2 si son chiffre des unités est divisible par 2 (i.e. est 0, 2, 4, 6 ou 8), et réciproquement. Théorème 3.2 Un entier naturel n est divisible par 4 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 4 (i.e. est 00, 04, 08,... ou 96), et réciproquement. 11

12 Théorème 3.3 Un entier naturel n est divisible par 8 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 8 (i.e. est 000, 008, 016,... ou 992), et réciproquement. Théorème 3.4 Un entier naturel n est divisible par 5 si son chiffre des unités est divisible par 5 (i.e. est 0 ou 5), et réciproquement. Théorème 3.5 Un entier naturel n est divisible par 25 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 25 (i.e. est 00, 25, 50 ou 75), et réciproquement. Théorème 3.6 Un entier naturel n est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0, et réciproquement. Théorème 3.7 Un entier naturel n est divisible par 100 si son chiffre des dizaines et son chiffre des unités sont 0, et réciproquement. Théorème 3.8 Un entier naturel n est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et réciproquement. Théorème 3.9 Un entier naturel n est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9, et réciproquement. Théorème 3.10 Un entier naturel n est divisible par 11 si l écart entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11, et réciproquement. Les démonstrations des théorèmes 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 sont du même type. Il n est ainsi démontré que le théorème 3.2. Soit n = a k a k 1... a 2 a 1 a (10) 0. On a n = a k a k 1... a (10) a 1 a (10) 0. Si n est divisible par 4, alors, comme 100 est divisible par 4, n a k a k 1... a (10) est aussi divisible par 4. Et, a 1 a (10) 0, qui est le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n, est divisible par 4. Réciproquement, si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 4, alors, comme 100 est divisible par 4, a k a k 1... a (10) a 1 a (10) 0 est aussi divisible par 4. Et, n est divisible par 4. Les démonstrations des théorèmes 3.8, 3.9, 3.10 sont du même type. Il n est ainsi démontré que le théorème 3.9. Soit n = a k a k 1... a 2 a 1 a (10) 0. On a n = 10 k a k + 10 k 1 a k a 1 + a 0. 12

13 Puis n = ((10 k 1) + 1) a k + ((10 k 1 1) + 1) a k ((10 1) + 1) a 1 + a 0. Ensuite, Et, enfin, n = (10 k 1) a k + (10 k 1 1) a k (10 1) a 1 + [a k + a k a 1 + a 0 ]. n = 9 11 }.{{.. 11 (10) } a k (10) }{{} a k (10) }{{} a 1 + [a k + a k a 1 + a 0 ]. k chiffres k 1 chiffres 1 chiffre Si n est divisible par 9, alors, comme 9 est divisible par 9, n 9 11 }.{{.. 11 (10) } a k (10) }{{} a k (10) }{{} a 1 k chiffres k 1 chiffres 1 chiffre est aussi divisible par 9. Et, a k + a k a 1 + a 0, qui est la somme des chiffres de n, est divisible par 9. Réciproquement, si la somme des chiffres de n, a k + a k a 1 + a 0, est divisible par 9, alors, comme 9 est divisible par 9, 9 11 }.{{.. 11 (10) } a k (10) }{{} a k (10) }{{} a 1 + [a k + a k a 1 + a 0 ] k chiffres k 1 chiffres 1 chiffre est aussi divisible par 9. Et, n est divisible par 9. Exercice 6 1. Combien le nombre 72, possède-t-il de chiffres? 2. Vrai ou faux (justification requise) : "97 26 s écrit avec au moins 55 chiffres". 3. Combien y a-t-il de nombres (entiers naturels) à 2 chiffres? à 3 chiffres? à 4 chiffres? 4. Parmi les nombres entiers naturels à 3 chiffres (a) combien y en a-t-il qui ont 3 chiffres identiques? (b) combien y en a-t-il qui ont 3 chiffres deux à deux distincts? (c) combien y en a-t-il qui ont 2 chiffres différents, l un étant répété deux fois? Solution < , < possède 30 chiffres < = s écrit avec moins de 53 chiffres. Il est donc faux que "97 26 s écrit avec au moins 55 chiffres". 3. (a) Nombre d entiers naturels à 2 chiffres on a 9 choix pour le chiffre des dizaines, 13

14 et 10 choix pour le chiffre des unités. Cela fait 9 10 = 90 nombres à 2 chiffres. (b) Nombre d entiers naturels à 3 chiffres on a 9 choix pour le chiffre des centaines, 10 choix pour le chiffre des dizaines, et 10 choix pour le chiffre des unités. Cela fait = 900 nombres à 3 chiffres. (c) Nombre d entiers naturels à 4 chiffres on a 9 choix pour le chiffre des milliers, 10 choix pour le chiffre des centaines, 10 choix pour le chiffre des dizaines, et 10 choix pour le chiffre des unités. Cela fait = nombres à 4 chiffres. 4. (a) on a 9 choix pour le chiffre des centaines, ensuite, on n a plus qu 1 choix pour le chiffre des dizaines (le même que le chiffre des centaines), et on n a plus qu 1 choix pour le chiffre des unités (le même que le chiffre des centaines). Cela fait = 9 nombres à 3 chiffres identiques. (b) on a 9 choix pour le chiffre des centaines, ensuite, on a 9 choix pour le chiffre des dizaines (un chiffre différent du chiffre des centaines), enfin, on a 8 choix pour le chiffre des unités (un chiffre à la fois différent du chiffre des centaines et de celui des dizaines). Cela fait = 648 nombres à 3 chiffres deux à deux distincts. (c) Ceux qui ont 2 chiffres différents, l un étant répété deux fois sont simplement les nombres à 3 chiffres qui n ont ni 3 chiffres identiques, ni 3 chiffres deux à deux distincts. Ceci donne = 243 nombres à 3 chiffres qui ont 2 chiffres différents, l un étant répété deux fois. Exercice 7 [Guadeloupe (2004)] 1. On considère un nombre qui s écrit en base 10 : Quelle valeur donner à pour que la somme des chiffres de ce nombre soit un multiple de 7? 2. Un nombre s écrit en base 10 sous forme : E97F. (a) Donner tous les couples de valeurs possibles pour E et F sachant que la somme des chiffres de ce nombre est égale à 29. (b) On ajoute les deux conditions suivantes : 14

15 Le produit des chiffres de ce nombre est égal à divise le nombre EF. Quelles sont alors les valeurs respectives de E et F? Solution 7 1. On considère un nombre qui s écrit en base Si la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 7. De plus, est un chiffre en base 10, donc 0 9 et Le tableau suivant résume les essais successifs... à partir des multiples de 7 compris au sens large entre 25 et étant un chiffre en base 10 et donc un entier, il s ensuit que la seule valeur possible pour est 4 et le nombre cherché est Un nombre s écrit en base 10 sous forme : E97F. (a) Donner tous les couples de valeurs possibles pour E et F sachant que la somme des chiffres de ce nombre est égale à 29. E F = 29, donc E + F = 13. Cependant, E et F sont des chiffres et donc tels que 0 E 9 et 0 F 9. 15

16 Le tableau suivant résume les essais successifs... pour chacune des valeurs possibles de E. E F = 13 E 0 13 Impossible car il faut F Impossible car il faut F Impossible car il faut F Impossible car il faut F Possible, auquel cas E97F = Possible, auquel cas E97F = Possible, auquel cas E97F = Possible, auquel cas E97F = Possible, auquel cas E97F = Possible, auquel cas E97F = 9974 (b) i. On ajoute la condition "le produit des chiffres de ce nombre est égal à 2 268". Si le produit des chiffres vaut 2 268, on obtient = E F 9 7 ou encore = 36 = E F. Il reste donc deux couples de valeurs possibles pour E et F : E = 4 et F = 9 (auquel cas E97F = 4979) ; et E = 9 et F = 4 (auquel cas E97F = 9974). ii. On ajoute la condition "7 divise le nombre EF". Comme 7 divise le nombre EF. Or 7 ne divise que 49 parmi 49 et 94. Il ne reste donc plus qu un couple de valeurs possibles pour E et F : E = 4 et F = 9 (auquel cas E97F = 4979). Exercice 8 Démontrer le principe de la preuve par 9 dans une multiplication. Solution 8 Lemme : le reste dans la division euclidienne de a par 9 est égal au reste dans la division euclidienne de la somme des chiffres de a par 9. Démonstration du lemme pour un nombre n à k + 1 chiffres : n = a k a k 1... a 2 a 1 a (10) 0. On a n = 10 k a k + 10 k 1 a k a 1 + a 0 = ((10 k 1) + 1) a k + ((10 k 1 1) + 1) a k ((10 1) + 1) a 1 + a 0 = (10 k 1) a k + (10 k 1 1) a k (10 1) a 1 + [a k + a k a 1 + a 0 ] = 9 11 }.{{.. 11 (10) } a k (10) }{{} a k (10) }{{} a 1 k chiffres k 1 chiffres 1 chiffre +[a k + a k a 1 + a 0 ]. 16

17 Soient q et r respectivement les quotients et restes dans la division euclidienne de a k +a k a 1 +a 0 par 9 : Ainsi a k + a k a 1 + a 0 = 9 q + r 0 r 8 n = 9 11 }.{{.. 11 (10) } a k (10) }{{} a k (10) }{{} a 1 + q + r k chiffres k 1 chiffres 1 chiffre 0 r 8 r est donc aussi le reste dans la division euclidienne de n par 9. Application directe du lemme Quel est le reste dans la division euclidienne par 9 de ? C est le même que celui dans la division euclidienne de = 65 par 9, qui est le même que celui dans la division euclidienne de = 11 par 9, qui est le même que celui dans la division euclidienne de = 2 par 9. C est donc 2. et La preuve par 9 dans le calcul du produit de a par b Mettons qu un calcul (posé, par exemple) fournisse un résultat égal à c pour ce produit. Pour vérifier le résultat, 1. on calcule le reste α dans la division euclidienne de a par 9 (c est facile à faire via le lemme), 2. on calcule le reste β dans la division euclidienne de b par 9, 3. on calcule le reste γ dans la division euclidienne de c par 9, 4. et enfin, on calcule le reste γ dans la division euclidienne de α β par 9, 1. si γ γ, alors on peut affirmer que le calcul de c est faux, 2. et si γ = γ, alors on ne peut affirmer que le calcul de c est correct, mais on peut l espérer. Démonstration On a 1. a = 9 q a + α avec 0 α < 9 et q a le quotient dans la division euclidienne de a par 9, 2. b = 9 q b + β avec 0 β < 9 et q b le quotient dans la division euclidienne de b par 9, 3. c = 9 q c + γ avec 0 γ < 9 et q c le quotient dans la division euclidienne de c par 9, 4. α β = 9 q αβ + γ avec 0 γ < 9 et q αβ le quotient dans la division euclidienne de α β par 9. De c = a b, on obtient 9 q c + γ = (9 q a + α) (9 q b + β) = 9 (9 q a q b + q a β + q b α) + α β = 9 (9 q a q b + q a β + q b α) + 9 q αβ + γ = 9 (9 q a q b + q a β + q b α + q αβ ) + γ 17..

18 Puis, par unicité des quotient et reste dans la division euclidienne, q c = 9 q a q b + q a β + q b α + q αβ γ = γ Exercice 9 [Aix Marseille, Corse, Montpellier, Nice (1999)] Un nombre à trois chiffres a 4 pour chiffre des centaines. Ce nombre est 26 fois plus grand que le nombre à deux chiffres obtenu en enlevant le chiffre des centaines. Trouver ce nombre. Solution 9 On note 4ab le nombre à trois chiffres. Le nombre obtenu en enlevant le chiffre des centaines est ab On a 4ab = ab = 26 ab. De ab = 26 ab, on obtient 400 = 25 ab, puis ab = 16. Le nombre à trois chiffres cherché est donc 416. Exercice 10 [Nancy, Metz, Reims, Strasbourg (2001)] Le village de Centville compte 100 habitants. Le plus âgé est né en 1900 et le plus jeune en Tous les habitants sont nés à une date différente et tous le premier janvier. Pierre habite Centville. En cette année 2001, la somme des chiffres de son année de naissance est égale à son âge. On se propose de déterminer l année de naissance de Pierre de deux manières différentes. 1. Résoudre ce problème en utilisant des outils algébriques. 2. (a) Démontrer que l âge de Pierre est inférieur ou égal à 28 ans. (b) Sachant que l âge de Pierre est inférieur ou égal à 28 ans, décrire une procédure qu un élève de fin de cycle 3 pourrait mettre en oeuvre pour résoudre ce problème. Solution On note 19ab la date de naissance de Pierre. La somme des chiffres de la date de naissance de Pierre est 10 + a + b. On déduit que l âge de Pierre est alors a b = a b. Et on obtient l équation 10 + a + b = a b ou encore 11 a + 2 b = 91. On résout cette équation en visitant toutes les valeurs de b possibles... Si b = 0, on obtient 91 = 11 a, qui n admet pas de solution car 91 n est pas multilpe de 11 ; si b = 1, on obtient 89 = 11 a, qui n admet pas de solution car 89 n est pas multilpe de 11 ; si b = 2, on obtient 87 = 11 a, qui n admet pas de solution car 87 n est pas multilpe de 11 ; si b = 3, on obtient 85 = 11 a, qui n admet pas de solution car 85 n est pas multilpe de 11 ; si b = 4, on obtient 83 = 11 a, qui n admet pas de solution car 83 n est pas multilpe de 11 ; 18

19 si b = 5, on obtient 81 = 11 a, qui n admet pas de solution car 81 n est pas multilpe de 11 ; si b = 6, on obtient 79 = 11 a, qui n admet pas de solution car 79 n est pas multilpe de 11 ; si b = 7, on obtient 77 = 11 a, puis a = 7 ; si b = 8, on obtient 75 = 11 a, qui n admet pas de solution car 75 n est pas multilpe de 11 ; si b = 9, on obtient 73 = 11 a, qui n admet pas de solution car 73 n est pas multilpe de 11. Pierre est donc né en Son âge en 2001 est 24 ans, et on a bien 24 = (a) Je rappelle que 19ab est la date de naissance de Pierre et que la somme des chiffres de la date de naissance de Pierre est 10 + a + b. Chacun des a et b est un chiffre dans la base décimale et est donc compris entre 0 (inclus) et 9 (inclus). Il s ensuit que l âge de Pierre (qui est aussi la somme des chiffres de l année de naissance de Pierre) est compris entre 10 (inclus) et 28 (inclus). (b) L élève de fin de cycle 3 va procéder, par exemple, par essais successifs en utilisant un tableau 19

20 pour la mise en forme... Âge (en années) Date de naissance Somme des chiffres de la date de naissance Une seule année est telle que les première et troisième colonnes coïncident : Exercice 11 [Toulouse (1998)] Déterminer tous les nombres à trois chiffres abc (10) non multiples de 10 qui vérifient les conditions suivantes : le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités ; en retranchant 297 à ce nombre, on obtient le nombre écrit à l envers. Solution 11 Je note N = abc le nombre à trois chiffres. 20

21 Le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités, donc soit b = 0 et c = 0 (mais ceci est impossible, car, comme N n est pas multiple de 10, c 0), soit b = 4 et c = 1, soit b = 8 et c = 2. De abc cba = 297, donc (100 a + 10 b + c) (100 c + 10 b + a) = 297, puis 99 (a c) = 297, et enfin a c = 3. De retour sur les cas qu il reste à considérer, si b = 4 et c = 1, alors a = 4, qui fournit la solution 441, et si b = 8 et c = 2, alors a = 5, qui fournit la solution 582. Exercice 12 [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes (2001)] Un nombre de trois chiffres est tel que : la différence entre ce nombre et le nombre retourné est 297 ; la somme des trois chiffres est 11 ; la somme du triple du chiffre des centaines et du double du chiffre des dizaines est 22. Trouver ce nombre. (Indication : si, par exemple, le nombre était 231, le nombre retourné serait 132.) Solution 12 On note N = abc le nombre à 3 chiffres cherché. De abc cba = 297, donc (100 a + 10 b + c) (100 c + 10 b + a) = 297, puis 99 (a c) = 297, et enfin a c = 3. On sait aussi que a + b + c = 11 et 3 a + 2 b = 22. On visite toutes les valeurs de c possibles... c a = c + 3 b = 22 3 a 2 a + b + c 0 3 6, 5 9, , 5 10, , 5 11, , 5 12, , 5 13, Comme a + b + c = 11, l unique nombre N possible est 623. Exercice 13 Soit n = abab (10). Montrer que n est divisible par

22 Solution 13 n = abab = a b a 10 + b = a b 101 = 101 (10 a + b). On déduit de cette écriture que n est divisible par 101. Exercice 14 Soit n = abcabc (10). Montrer que n est divisible par 7, 11 et 13. Solution 14 n = abcabc = a b c a b 10 + c = a b c = (100 a + 10 b + c) = (100 a + 10 b + c). On déduit de cette écriture que n est divisible par 7, 11 et 13. Exercice 15 Soient a, b et c trois chiffres distincts en base 10 et non nuls. Quels sont tous les nombres distincts de trois chiffres que l on peut composer avec les chiffres a, b et c? Montrer que la somme de ces nombres est divisible par a + b + c. Solution 15 On peut former les six nombres abc, acb, bac, bca, cab et cba. La somme S de ces six nombres est S = abc + acb + bac + bca + cab + cba = (100 a + 10 b + c) + (100 a + 10 c + b) + (100 b + 10 a + c) + (100 b + 10 c + a) + (100 = 222 a b c = 222 (a + b + c) On déduit de cette écriture que S est divisible par a + b + c. Exercice 16 [Dijon (2001)] Les nombres et sont des palindromes (cela signifie qu en les lisant de gauche à droite ou de droite à gauche, on a le même nombre). Trouvez tous les palindromes ayant 4 chiffres qui sont divisibles par 9. 22

23 Solution 16 Les nombres que l on cherche sont de la forme n = abba. Le critère de divisibilité par 9 donne alors, comme abba est divisible par 9 que a+b+b+a = 2 a+2 b = 2 (a + b) est divisible par 9, ou encore que a + b l est, d après le théorème de Gauss car 2 et 9 sont premiers entre eux. Cependant, a + b est compris entre 0 et 18 (car a et b sont des chiffres), on déduit donc que a + b vaut 0, 9 ou Si a + b = 0, alors a = b = 0, mais n = 0 ne possède pas 4 chiffres et n est donc pas solution du problème. 2. Si a + b = 9, alors on visite chacune des valeurs de a (à l exception de 0 car sinon n ne possèderait pas 4 chiffres et ne serait donc pas solution du problème) a b n = abba Si a + b = 18, alors a = b = 9, et est solution du problème. Les solutions sont donc : 1 881, 2 772, 3 663, 4 554, 5 445, 6 336, 7 227, 8 118, et Exercice 17 par 90. Soient les chiffres a et b en base 10. Trouver a et b pour que 37a28b (10) soit divisible Solution 17 Si 37a28b est divisible par 90, comme 90 est divisible par 9, 37a28b est divisible par 10 (propriété de transitivité). De même, si 37a28b est divisible par 90, comme 90 est divisible par 10, 37a28b est divisible par 9 (propriété de transitivité). Maintenant, comme 37a28b est divisible par 10, alors b = 0, d après le critère de divisibilité par 10. Et comme 37a28b est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres a = a + 20 l est aussi, d après le critère de divisibilité par 9. Cependant, a est un chiffre, donc 20 a , ce qui implique que a + 20 = 27 (car 27 est le seul multiple de 9 compris entre 20 (inclus) et 29 (inclus)), puis a = 7. 23

24 L unique solution est donc Exercice Donner tous les chiffres a et b possibles en base 10 pour que a6b5 (10) soit divisible par Solution 18 Si a6b5 est divisible par 225, comme 225 est divisible par 25, a6b5 est divisible par 25 (propriété de transitivité). De même, si a6b5 est divisible par 225, comme 225 est divisible par 9, a6b5 est divisible par 9 (propriété de transitivité). Maintenant, comme a6b5 est divisible par 25, alors b = 2 ou b = 7, d après le critère de divisibilité par 25. Et comme a6b5 est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres a b + 5 = a + b + 11 l est aussi, d après le critère de divisibilité par 9. Cependant, a et b sont des chiffres, donc 11 a + b , ce qui implique que a + b + 11 = 18 ou a + b + 11 = 27 (car 18 et 27 sont les seuls multiples de 9 compris entre 11 (inclus) et 29 (inclus)). Il ne reste qu à faire la synthèse... Si b = 2 et que a = 18, alors a = 5 et est bien divisible par 225. Si b = 2 et que a = 27, alors a = 14 qui n est pas un chiffre et qui n apporte donc pas de nouvelle solution. Si b = 7 et que a = 18, alors a = 0 et 675 est bien divisible par 225, cependant, il est convenu que le premier chiffre d un nombre est non nul et cette solution est évincée. Si b = 7 et que a = 27, alors a = 9 et est bien divisible par 225. En conclusion, les deux nombres solutions sont : et Exercice 19 [Créteil, Paris, Versailles (2004)] Un nombre N a pour écriture décimale 72a83b (10). N est divisible par 6 et Quel est le chiffre b? 2. Déterminer N. Solution 19 N = 72a83b 1. N est divisible par 45 et 45 est divisible par 5, donc, par transitivité, N est divisible par 5, puis, par le critère de divisibilité par 5, on obtient b = 0 ou b = 5. N est divisible par 6 et 6 est divisible par 2, donc, par transitivité, N est divisible par 2, puis, par le critère de divisibilité par 2, on obtient b = 0, b = 2, b = 4, b = 6 ou b = 8. En synthèse, on obtient b = N est divisible par 45 et 45 est divisible par 9, donc, par transitivité, N est divisible par 9, puis, par le critère de divisibilité par 9, on obtient que la somme des chiffres de N est divisible par 9, ce 24

25 qui signifie que a = 20 + a est divisible par 9. Or, a étant un chiffre en base décimale, on déduit que a 29. Et, comme le seul multiple de 9 compris entre 20 (inclus) et 29 (inclus) est 27, on obtient 20 + a = 27, puis a = 7. Par suite, N = (on vérifie aisément que est divisible par 6 et par 45). Exercice 20 aussi par 3. Soient les chiffres a et b en base 10. Montrer que si a801b (10) est divisible par 11, il l est Solution 20 Si a801b est divisible par 11, alors, d après le critère de divisibilité par 11, (a b) (8 + 1) = a + b 9 est divisible par 11. Cependant, a et b sont des chiffres, donc 9 a + b 9 9, ce qui implique que a + b 9 = 0 car 0 est le seul multiple de 11 compris entre 9 (inclus) et 9 (inclus). Le nombre a801b est-il divisible par 3? Ceci équivaut, d après le critère de divisibilité par 3, à ce que a b = a + b + 9 soit divisible par 3. Cependant, on a montré que a + b = 9, donc a + b + 9 = 18 et est bien divisible par 3, puis a801b est divisible par 3. Exercice 21 [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice (2000)] Déterminer a = mcdu (10) tel que a > 7000, que a soit divisible par 45, que a soit impair et que son chiffre des milliers soit double de celui des centaines. Solution 21 Si a = mcdu et si a est supérieur à 7 000, je déduis que m = 7, m = 8 ou m = 9. L énoncé dit aussi que m = 2 c, donc que m = 8 (car m est pair), puis que c = 4. Le nombre s écrit donc a = 84du. Quels sont les multiples de 45 compris entre (inclus) et (inclus)? La division euclidienne de par 45 fournit le quotient 186 et le reste 30. Le premier multiple de 45 plus grand que (inclus) est donc = 8 415, le suivant est = et le sursuivant est plus grand que (inclus). Parmi et 8 460, seul est impair! Le nombre cherché est donc Exercice 22 [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique (2001)] 1. Voici deux propositions concernant des nombres donnés en écriture décimale. Dire pour chacune d elles si elle est vraie ou fausse et justifier. Si l écriture d un nombre entier se termine par 2, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 4. Si l écriture d un nombre entier se termine par 4, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par Soit n = a5 (10) où a est un chiffre en base 10. Montrer que n 2 < Montrer que l écriture de n 2 se termine par 25 et que son nombre de centaines est a (a + 1). Solution 22 25

26 1. (a) Si l écriture d un nombre entier se termine par 2, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 4. Vrai! Démonstration. Soit a un nombre qui se termine par un 2. Celui-ci s écrit donc a = D où D est le nombre de dizaines de a. Son carré est, par conséquent, a 2 = (D 10+2) 2 = D D 40+4 = 10 (D 2 10+D 4)+4. Puis, le carré de a se termine par un 4. (b) Si l écriture d un nombre entier se termine par 4, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 16. Faux! Contre-exemple = 196 ne termine pas par 16, mais par n = a5. (a) n 99, donc n = < (b) Montrer que l écriture de n 2 se termine par 25 et que son nombre de centaines est a (a + 1). n = a5 = a 10+5, donc n 2 = (a 10+5) 2 = a a = (a 2 +a) n 2 a donc 5 pour chiffre des unités, 2 pour chiffre des dizaines, a 2 + a = a (a + 1) pour nombre des centaines. Exercice 23 [Limoges (2001)] 1. Trouver tout entier naturel à un chiffre, égal au chiffre des unités de son carré. 2. Soit A un entier naturel à deux chiffres tel que A et A 2 aient à la fois même chiffre des unités et même chiffre des dizaines. (a) Quels sont les chiffres des unités possibles pour A? (b) Donner, en explicitant la démarche suivie, toutes les valeurs possibles pour A. 3. Donner, sans justification, un entier naturel B a trois chiffres tel que B et B 2 aient à la fois même chiffre des unités, même chiffre des dizaines et même chiffre des centaines. Solution On visite tous les nombres à 1 chiffre. 26

27 Nombre Carré du nombre Chiffre des unités du carré du nombre Les nombres qui sont égaux au chiffre des unités de leurs carrés sont 0, 1, 5 et (a) On a A = ab = 10 a + b, donc A 2 = (10 a + b) 2 = a (2 a b) 10 + b 2, et le chiffre des unités de A 2 est le même que celui de b 2 (i.e. celui du carré de son chiffre des unités). Enfin, d après le question 1., le chiffre des unités de A (i.e. b) est 0, 1, 5 ou 6. (b) Donner, en explicitant la démarche suivie, toutes les valeurs possibles pour A. Disjonction des cas selon les valeurs de b : Si b = 0, alors A = a0 = 10 a et A 2 = (10 a) 2 = a et le chiffre des dizaines, a, de A 2 est 0. Ensuite, A = 0, mais la solution A = 0 est écartée selon l argument que ce nombre ne possède pas deux chiffres. Si b = 1, alors A = a1 = 10 a + 1 et A 2 = (10 a + 1) 2 = a a et le chiffre des dizaines, a, de A 2 est celui de 2 a. On visite toutes les éventualités pour a. a 2 a Chiffre des unités de 2 a Ensuite, A = 1, mais la solution A = 1 est écartée selon l argument que ce nombre ne possède pas deux chiffres. 27

28 Si b = 5, alors A = a5 = 10 a + 5 et A 2 = (10 a + 5) 2 = a a et le chiffre des dizaines de A 2, a, est 2. Enfin, A = 25 est solution. Si b = 6, alors A = a6 = 10 a + 6 et A 2 = (10 a + 6) 2 = a a = (a 2 + a) (2 a + 3) et le chiffre des dizaines de A 2, a, est celui de 2 a + 3. On visite toutes les éventualités pour a. a 2 a + 3 Chiffre des unités de 2 a Enfin, A = 76 est solution. Au final les deux solutions sont A = 25 et A = Pour cette question, aucune justification n est requise! On pourrait se contenter de donner l une des deux solutions parmi B = 625 et B = 376. Cependant, voici quelques pistes pour une éventuelle démonstration : (a) B se termine forcément par 00, par 01, par 25 ou par 76 (on pourrait montrer que les seuls deux derniers chiffres d un nombre permettent de déterminer les deux derniers chiffres de son carré par des manipulations algébriques). 28

29 (b) Un tableau présente ensuite toutes les éventualités pour B B B 2 Trois derniers chiffres de B B B 2 Trois derniers chiffres de B Au final B = 0 est refusé car ne comporte pas trois chiffres, B = 1 est refusé car ne comporte pas trois chiffres, B = 625 et B = 376 sont solutions. Exercice 24 [Créteil, Paris, Versailles (2000)] Soit A un entier naturel. 1. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le carré d un nombre entier naturel. Cette condition est-elle suffisante? 2. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs. Cette condition est-elle suffisante? Solution 24 Lemme. Si a est le chiffre des unités de A et si b est le chiffre des unités de B, alors, le chiffre des unités de A B est celui de a b. 29

30 Démonstration Soit A = A 10 + a où A est le nombre de dizaines de A et soit B = B 10 + b où B est le nombre de dizaines de B. Alors, A B = (A 10+a) (B 10+b) = (A B 10+A+B) 10+a b, et le chiffre des unités de A B est celui de a b. 1. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le carré d un nombre entier naturel α (i.e. un carré parfait). A = α 2. D après le lemme, il suffit de voir les éventualités sur le chiffre des unités de A. Dernier chiffre de α Dernier chiffre de A On peut donc énoncer la propriété suivante : "si A est un carré parfait, il faut que son chiffre des unités soit 0, 1, 4, 5, 6 ou 9". Cette condition "le chiffre des unités est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9" est nécessaire comme le montre l utilisation du "il faut". Cette condition est-elle suffisante? Autrement dit : est-il vrai que "si le chiffre des unités de A est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, alors A est un carré parfait"? Non! 10 a 0 pour chiffre des unités, mais 10 n est pas un carré parfait (3 2 = 9 (trop petit) et 4 2 = 16 (trop grand)). 2. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs α et α + 1. A = α (α + 1). D après le lemme, il suffit de voir les éventualités sur le chiffre des unités de A. 30

31 Dernier chiffre de α Dernier chiffre de A On peut donc énoncer la propriété suivante : "si A est produit de deux entiers naturels consécutifs, il faut que son chiffre des unités soit 0, 2 ou 6". Cette condition "le chiffre des unités est 0, 2 ou 6" est nécessaire comme le montre l utilisation du "il faut". Cette condition est-elle suffisante? Autrement dit : est-il vrai que "si le chiffre des unités de A est 0, 2 ou 6, alors A est produit de deux entiers naturels consécutifs"? Non! 10 a 0 pour chiffre des unités, mais 10 n est pas produit de deux entiers naturels consécutifs (2 3 = 6 (trop petit) et 3 4 = 12 (trop grand)). Exercice 25 [Montpellier (1998)] En écriture sexagésimale, (2)(19)(51) (60) = Écrire en base 10 le nombre (3)(0)(17)(48) (60). 2. Écrire en base 60 le nombre n = (ab (10) )(ba (10) ) (60). (a) Quelle condition sur a et b? (b) n est multiple de 5. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b? (c) n = b21a (10). Que cela apporte-t-il de plus sur a et b? Solution (3)(0)(17)(48) (60) = = =

32 2. En utilisant les divisions euclidiennes : = = = = Ainsi, = (4)(11)(30)(23)(52) (60). 3. n = (ab (10) )(ba (10) (60) ). (a) Quelle condition sur a et b? ab (10) doit être un chiffre en base 60, on déduit en particulier que 1 a 5 (le cas a = 0 est retiré car un premier chiffre est, par convention, non nul). ba (10) doit être un chiffre en base 60, on déduit en particulier que 1 b 5 (le cas b = 0 est retiré car un premier chiffre est, par convention, non nul). On a également n = (ab (10) )(ba (10) ) (60) = ab (10) 60 + ab (10) = (a 10 + b) 60 + (b 10 + a) = 601 a + 70 b. (b) n est multiple de 5. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b? Sachant que 5 est diviseur de n et que 5 est diviseur de 70 b (en effet, 5 étant diviseur de 70, il l est aussi de 70 b), on déduit donc que 5 est diviseur de 601 a. Comme d après la question précédente, 1 a 5, on regarde parmi 601 = 1 601, = 2 601, = 3 601, = 4 601, et = (comme d après la question précédente, 1 a 5) et seul est divisible par 5, et donc a = 5, puis n = (5b (10) )(b5 (10) ) b. (c) n = b21a (10). Que cela apporte-t-il de plus sur a et b? D après la question précédente, a = 5, et on déduit que n = b215 (10). n = b = b , puis = 930 b, puis b = 3. En conclusion n = = (53 (10) )(35 (10) ) (60). (b5) = Exercice 26 Tous les nombres sont donnés dans le système décimal (en base 10). 32

33 On considère un nombre à quatre chiffres que l on note a1b1 (i.e. a est le chiffre des milliers, 1 est celui des centaines, b est celui des dizaines et 1 est celui des unités). On lui soustrait un nombre à trois chiffres que l on note a0b (i.e. a est le chiffre des centaines, 0 est celui des dizaines et b est celui des unités). Le résultat est appelé x. On suppose de plus que le chiffre a est strictement plus grand que 1 et que le chiffre b est strictement plus grand que le chiffre a. On abrège cette relation en écrivant : b > a > 1. Question 0 Quelle est la plus petite valeur que peut prendre a?, la plus petite que peut prendre b?, la plus grande que peut prendre b?, la plus grande que peut prendre a?, la plus petite que peut prendre a + b?, la plus grande que peut prendre a + b? On recherche l ensemble de tous les chiffres a et b tels que x soit divisible par 11. On rappelle la règle suivante : "Un nombre est divisible par 11 si l écart entre la somme des chiffres de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est divisible par 11, et réciproquement, si un nombre est divisible par 11, l écart entre la somme des chiffres de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est divisible par 11". Question 1 Quel est le chiffre des unités de x, en fonction de b? Expliquer... Question 2 Quel est le chiffre des dizaines de x, en fonction de b? Expliquer... Question 3 Quel est le chiffre des centaines de x, en fonction de a? Expliquer... Question 4 Quel est le chiffre des milliers de x, en fonction de a? Expliquer... Question 5 Montrer que si a + b = 12, alors x est divisible par 11. Question 6 Montrer que si x est divisible par 11, alors a + b = 12. Question 7 Quels sont tous les a et b tels que x est divisible par 11? Solution 26 Il s agit du calcul de x = a1b1 a0b sous la condition b > a > 1. Question 0 La plus petite valeur que peut prendre a est 2. Par conséquent, la plus petite valeur que peut prendre b est 3. La plus grande valeur que peut prendre b est 9. Par conséquent, la plus grande valeur que peut prendre a est 8. De tout cela, il découle que la plus petite valeur que peut prendre a + b est = 5 et la plus grande valeur que peut prendre a + b est = 17. Je commence par poser l opération en colonne pour obtenir chacun des chiffres de x. a 11 b 11 a 0 b 1 1 a 1 11 a b 1 11 b Cette pose du calcul est une justification pour répondre aux question 1, 2, 3 et 4. Question 1 Quel est le chiffre des unités de x, en fonction de b? 11 b. 33

34 Question 2 Quel est le chiffre des dizaines de x, en fonction de b? b 1. Question 3 Quel est le chiffre des centaines de x, en fonction de a? 11 a. Question 4 Quel est le chiffre des milliers de x, en fonction de a? a 1. Questions 5 et 6 Montrer que si a + b = 12, alors x est divisible par 11. Montrer que si x est divisible par 11, alors a + b = 12. x est divisible par 11, équivaut à dire que la différence entre la somme des chiffres de rang pair de x et la somme des chiffres de rang impair de x est divisible par 11 (et cette différence vaut (11 b + 11 a) (b 1 + a 1) = 24 2 a 2 b = 24 2 (a + b) au signe près). On déduit que si a + b = 12, alors, 24 2 (a + b) = 0 est divisible par 11 et x est divisible par 11. On déduit également que si x est divisible par 11, alors 24 2 (a + b) est divisible par 11. Or, d après la question 0, 3 a+b 17, donc on obtient (a+b) 18, puis 24 2 (a+b) vaut 0 ou 11 (car 0 et 11 sont les seuls multiples de 11 compris entre 10 (inclus) et 18 (inclus)). Cependant, la quantité 24 2 (a + b) est trivialement paire et ne peut valoir 11. Il s ensuit que 24 2 (a + b) = 0, puis que a + b = 12. Question 7 Quels sont tous les a et b tels que x est divisible par 11? Synthèse. a = 3 et b = 9, a = 4 et b = 8, et a = 5 et b = 7, sont les trois couples solutions (ne pas oublier que a < b). Exercice 27 [Orléans-Tours (1998)] Soit n = abc (6) (103 = 251 (6) ). 1. Que vaut 132 (6)? Est-il multiple de 6? Est-il multiple de 2? (6), 222 (6), 550 (6) sont-ils multiples de 6? Sont-ils multiples de 2? 3. Énoncer et montrer les critères de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l écriture du nombre abc (6) en base Montrer que 325 (6), 212 (6), 555 (6) sont multiples de 5. Énoncer et montrer le critère de divisibilité par 5 à partir de l écriture du nombre abc (6) en base 6. Solution Il suffit d utiliser la base 10, dans laquelle on sait reconnaître les multiples de 2 et de (6) = = 56 qui est multiple de 2, mais qui n est pas multiple de (a) 324 (6) = = 124 qui est multiple de 2, mais qui n est pas multiple de 6. (b) 222 (6) = = 86 qui est multiple de 2, mais qui n est pas multiple de 6. (c) 550 (6) = = 210 qui est multiple de 2 et de (a) Si abc (6) est divisible par 6, alors c = 0. Et, réciproquement. 34