La construction de Pontryagin

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1 La construction de Pontryagin Projet de Séminaire Master 2 - Mathématiques et Applications Université Montpellier II 2014 Jérémy NUSA jeremy.nusa@etud.univ-montp2.fr

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3 Préface Ce rapport a été écrit pour l unité d enseignement Séminaire de la deuxième année de master à l université Montpellier II concernant un sujet proposé par M. Stéphane Baseilhac. Notre but est de faire découvrir au lecteur la construction de Pontryagin qui est un moyen de classifier les variétés différentielles de même dimension par la relation d équivalence du cobordisme parallélisé. Ce sujet de topologie algébrique est abordé par le biais de la topologie différentielle, ainsi nous commençons donc par rappeler quelques définitions basiques d analyse différentielle et de topologie. Nous construisons ensuite les relations d équivalence de cobordisme et de cobordisme parallélisé et démontrons leurs propriétés. Nous terminons en énonçant et démontrant les trois théorèmes de Pontryagin qui permettent la classification voulue.

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5 Table des matières 1 Application lisse et variété lisse 1 2 Valeur régulière, le Théorème de Sard & Brown 6 3 Cobordisme parallélisé : La construction de Pontryagin 11 Bibliographie 20

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7 1 Application lisse et variété lisse On se réfère à R k vu comme l espace vectoriel réel euclidien de dimension finie k. Commençons par présenter quelques définitions et propriétés sur les sous-ensembles de R k. Définition 1.1 (Application lisse) Soient U R k et V R l deux ouverts. Une application f : U V sera dite lisse, si et seulement si pour tout n N ses dérivées partielles d ordre n existent et sont continues. n N, (x i1,..., x in ) {1,..., k} n, n f x i1... x in est continue On peut étendre cette définition à l ensemble des couples de sousensembles de R k et de R l. Définition 1.2 Soient X R k et Y R l. Une application f : X Y sera dite lisse, si et seulement si pour tout x X il existe un voisinage ouvert U de x dans X et une application lisse F : U R l qui coïncide avec f sur U X. Définition 1.3 (Homotopie lisse) Soient f, g : X Y deux applications lisses, on dit qu une application lisse H définie une homotopie entre f et g si et seulement si H vérifie : H : X [0, 1] Y (x, t) H(x, t) x X, x X, H(x, 0) = f(x) H(x, 1) = g(x) Dans ce cas, on dira que f et g sont lissement homotope et on notera f g. C est une relation d équivalence et on peut ainsi considérer la classe d homotopie lisse d une application lisse f. Remarque Pour toute application lisse f la différentielle de f au sens de Fréchet noté df coïncide avec la dérivée directionnelle au sens de Gateau. De plus 1

8 si on se donne deux bases des espaces vectoriels euclidiens R k et R l, la différentielle df s exprime dans ces bases comme le produit des vecteurs de R k par la matrice jacobienne J f des dérivées partielles. Définition 1.4 (Difféomorphisme) Soient X R k et Y R l. Une application f : X Y sera dite un difféomorphisme, si et seulement si f est un homéomorphisme et de plus f et f 1 sont des applications lisse. La topologie différentielle peut ainsi être définie comme l étude des propriétés des sous-ensembles de R k qui sont invariantes par difféomorphisme. Nous allons nous intéresser à un certain type de sousensembles, les variétés. Définition 1.5 (Variété lisse) Un sous-ensemble M R k sera dit une variété lisse de dimension m, si et seulement si pour tout point x M il existe : Un voisinage U de x dans R k. Un ouvert V de R m. Un difféomorphisme f : U M V. Un tel difféomorphisme s il existe est appelé un système de coordonnées sur U M et son difféomorphisme inverse f 1 est appelé une paramétrisation de U M. Afin de définir une notion convenable de différentielle pour une application entre deux variétés M et N nous introduisons la notion d espace tangent en un point x de la variété. Définition 1.6 (Espace tangent) Soit M R k une variété lisse de dimension m et soit x M. Il existe alors un ouvert U R m et une paramétrisation g : U M R k telle que g(u) soit un voisinage de x dans M. Notons y l unique point de U tel que g(y) = x. Comme g est une application lisse, sa différentielle en y, noté dg y : R m R k existe. On définit alors l espace tangent à M en x noté T M x par : T M x := dg y (R m ) Proposition 1.1 La construction précédente de T M x ne dépend pas de la paramétrisation g choisie. 2

9 Preuve. Soient U et V deux ouverts de R m et soient g : U M et h : V M deux paramétrisations de g(u) et h(v ) deux voisinages de x. On pose u = g 1 (x) et v = h 1 (x), alors il existe un voisinage U 1 de u et un voisinage V 1 de v tels que h 1 g : U 1 V 1 soit un difféomorphisme. On a donc un diagramme commutatif d applications lisses : R k g h U 1 V 1 h 1 g Sachant que la différentielle d une application composée est la composition des différentielles, au sens où d(h 1 g) u = dh 1 x dg u on obtient ainsi le diagramme commutatif d applications linéaires : R k dg u dh v R m = R m d(h 1 g) u On en déduit donc que x R m, dg u (x) = dh v d(h 1 g) u (x) et dh v (x) = dg u d(h 1 g) 1 u (x) donc Image(dg u ) = Image(dh v ), ainsi x M le tangent T M x ne dépend pas du choix de la paramétrisation. L espace tangent va nous permettre de définir la différentielle d une application lisse entre deux variétés lisses. Définition 1.7 Soient M R k et N R l deux variétés lisses de dimensions m et n. Soit f : M N une application lisse et notons pour x M, y := f(x). Comme f est une application lisse, il existe un ouvert W R k, x W, et une application lisse F : W R l qui coïncide avec f sur W M. On définit : v T M x, df x (v) := df x (v) Proposition 1.2 Soit f : M N une application lisse entre variétés. Alors : x M, df x : T M x T N f(x) De plus df x définition. ne dépend pas de l application lisse F choisie dans la 3

10 Preuve. Par hypothèse, il existe un ouvert W R k, x W, et une application lisse F : W R l qui coïncide avec f sur W M. Montrons que v T M x, df x (v) T N f(x). Choisissons une paramétrisation g : U M d un voisinage g(u) de x dans M et une autre paramétrisation h : V N d un voisinage h(v ) de f(x) dans N. Quitte à remplacer U par un plus petit ouvert, on peut supposer que g(u) W et que f g(u) h(v ). On obtient donc une application lisse : h 1 f g : U V On considère alors le diagramme commutatif suivant et son diagramme de différentielles associées où u = g 1 (x), v = h 1 (f(x)). W F R l R k df x R l g h dg u dh v h 1 f g U V R m d(h 1 f g) u R n On obtient ainsi que : df x (T M x ) = df x (T M x ) = df x dg u (R m ) = dh v d(h 1 f g) u (R m ) dh v (R n ) = T N f(x) L application df x : T M x T N f(x) est donc bien définie. De plus cette application est définie indépendamment de l application F choisie, car : df x = dh v d(h 1 f g) u (dg u ) 1 Jusqu à présent nous nous sommes intéressés aux variétés étant définies relativement à des ouverts d un espace euclidien réel de dimension finie. Cette définition a fait que nos variétés étaient implicitement des variétés sans bord comme la sphère et le tore, cependant il est possible de définir des variétés à bord comme une boule ou un ruban de Möbius. Pour cela, considérons le demi-espace fermé H n de l espace euclidien réel R n. H n := {(x 1,..., x n ) R n x n 0} H n := {(x 1,..., x n ) H n x n = 0} 4

11 Définition 1.8 (Variété lisse à bord) Un sous-ensemble M R k sera dit une variété lisse à bord de dimension m, si et seulement si pour tout point x M il existe : Un voisinage U de x dans R k. Un ouvert V de R m. Un difféomorphisme f : U M V H m. Dans ce cas le bord de M noté M sera l ensemble des points de M s envoyant sur H m par un tel difféomorphisme. 5

12 2 Valeur régulière, le Théorème de Sard & Brown Considérons dans un premier temps deux variétés lisses N et N de mêmes dimension n et une application lisse f : N N. Un point x N sera dit régulier si la différentielle de f en x est un homéomorphisme, sinon il sera dit singulier. Si le point x est régulier le Théorème d inversion locale garantit l existence d un voisinage de x sur lequel f est un difféomorphisme sur son image. Un point y N sera dit une valeur régulière si son image réciproque par f ne contient que des points réguliers, sinon y sera appelé une valeur singulière. Nous allons voir une généralisation de ces définitions dues à Sard dans le cas où les deux variétés ne seraient pas de même dimension. Théorème 2.1 (Théorème de Sard) Soient U R m un ouvert de l espace euclidien et f : U R n une application lisse. Définissons l ensemble des points critiques : C := {x U df x n est pas surjective} Alors l image de C par l application f est de mesure de Lebesgue nulle. Preuve. La preuve se fait par récurrence sur la dimension n. L initialisation se fait pour n = 0 et p 1 comme R 0 est un point l image de C par f est au plus un point et donc nécessairement de mesure nulle. Supposons le théorème vrai au rang n 1 et prouvons-le au rang n. Soit C i l ensemble des points x U dont les dérivées partielles d ordre inférieur ou égal à i sont nulles. On a ainsi une suite décroissante d ensembles fermés : C C 1 C 2... Nous allons démontrer les trois faits suivants : L ensemble f(c \ C 1 ) est de mesure nulle. L ensemble f(c i \ C i+1 ) est de mesure nulle, i 1. L ensemble f(c k ) est de mesure nulle, pour k suffisamment grand. 6

13 En notant λ n la mesure de Lebesgue sur R n on obtient ainsi : λ n f(c) = λ n f(c \ C 1 C 1 \ C 2 C k 1 \ C k C k ) k 1 = λ n f(c \ C 1 ) + λ n f(c i \ C i+1 ) + λ n f(c k ) = 0 i=1 Preuve du fait 1 : Remarquons que si m = 1 alors C = C 1, alors le fait devient trivial. Supposons donc m 2. Soit x C \ C 1, comme x / C 1 alors une des dérivées partielles d ordre 1, disons f 1 / x 1 est non nulle en x. Considérons l application : h(x) = (f 1 (x), x 2,..., x n ) Comme l application dh x est surjective, le Théorème d inversion locale assure l existence d un voisinage ouvert V de x difféomorphe à un ouvert V via l application h. Alors l application composée g := f h 1 envoie cet ouvert V dans R m. L ensemble C des points critiques de g est l ensemble h(v C), donc l ensemble g(c ) des valeurs critiques de g est exactement l ensemble f(v C). Pour tout (t, x,..., x n ) V, g(t, x,..., x n ) {t} R m 1 R m donc g envoie les hyperplans dans d autres hyperplans. Définissons la restriction de g : g t : ({t} R n 1 ) V {t} R m 1 Un point de {t} R n 1 est critique pour g t si et seulement si il l est pour, g car la matrice des premières dérivées partielles de g est de la forme : ( ) 1 0 g i / x i = gi/ x t i D après l hypothèse de récurrence, l ensemble des valeurs critique de g t est de mesure nulle dans {t} R m 1. Donc l ensemble des valeurs critiques de g intersecte chaque hyperplan de la forme {t} R m 1 en un ensemble de mesure nulle. L ensemble g(c ) est mesurable, car il peut s écrire comme union dénombrable de sous-ensembles compacts. Donc par le Théorème de Fubini, l ensemble g(c ) = f(v C) est de mesure nulle. Comme l ensemble C \ C 1 peut être recouvert par une quantité dénombrable de voisinages V de ses points, alors f(c \ C 1 ) est également de mesure nulle. 7

14 Preuve du fait 2 : Pour tout x C i \ C i+1 il existe une i + 1 ième dérivée partielle i+1 f r / x s1... x si+1 non nulle. Donc la fonction : w(x) := i f r / x s2... x si+1 Vaut 0 en x mais w/ x s1 ne s annule pas en x. Supposons pour simplifier que s 1 = 1. Alors l application h : U R n définie telle que : h(x) := (w(x), x 2,..., x n ) Est un difféomorphisme sur un certain voisinage ouvert V de x vers un ouvert V. Remarquez que h envoie l ensemble C i V sur l hyperplan {0} R n 1, considérons donc à nouveau l application composée : Et sa restriction : g := f h 1 : V R m g =: {0} R n 1 R m Par hypothèse de récurrence, l ensemble des valeurs critiques de g est de mesure nulle dans R m. Mais chaque point de h(c i V ) est un point critique pour g car toutes les dérivées partielles d ordre i s annulent. Donc g h(c i V ) = f(c i V ) est de mesure nulle. Et comme l ensemble C i \ C i+1 peut être recouvert par un ensemble dénombrable de tels ouverts V il s en suit que f(c i \ C i+1 ) est également de mesure nulle. Preuve du fait 3 : Soit I n U un cube de côté δ. Si k > n/m 1 nous allons prouver que f(c k I n ) est de mesure nulle. D après le Théorème de Taylor, et comme I n est compact, on a : f(x + h) = f(x) + R(x, h) où R(x, h) c h k+1 Pour x C k I n, x + h I n. Et c est une constante qui ne dépend que de f et de I n. À présent subdivisons In en r n cubes de coté δ/r. Soit I 1 l un des cubes de la subdivision contenant un point x C k. Alors tout point de I 1 peut s écrire sous la forme x + h avec h n(δ/r). La première équation nous dit que l image de I 1 par f est incluse dans un cube de coté a/r k+1 centré en f(x), où a = 2c( nδ) k+1 est une constante. On en déduit 8

15 donc que f(c k I n ) est contenu dans une union d au plus r n cubes ayant un volume total V vérifiant : V r n (a/r k+1 ) m = a m r n (k+1)m Alors si k + 1 > n/m alors évidemment V tend vers 0 quand r tend vers, donc f(c k I n ) est de mesure nulle. Et à nouveau comme C k peut être recouvert par un ensemble dénombrable de cubes ceci prouve que f(c k ) est de mesure nulle. Définition 2.1 (Valeur régulière) Soit f : M N une application lisse entre variétés lisses de dimensions respectives m et n. Définissons l ensemble : C := {x M df x : T M x T N f(x) n est pas surjective} Alors on a : C est appelé l ensemble des points critiques. f(c) est appelé l ensemble des valeurs critiques. N \ f(c) est appelé l ensemble des valeurs régulières. Proposition 2.1 L ensemble des valeurs régulières d une application lisse f : M N est dense dans N. Preuve. Comme M est une variété, elle admet un atlas, c est-à-dire un recouvrement par des ouverts difféomorphes à des ouverts de R m. Il suffit ensuite d y appliquer le Théorème de Sard. Théorème 2.2 Soit f : M N une application lisse entre variétés lisses de dimensions respectives m et n telles que m n. Soit y N une valeur régulière de f. Alors l ensemble f 1 (y) M est une variété lisse de dimension m n. Preuve. Soit x f 1 (y). Comme y est une valeur régulière l application df x : T M x T N y est surjective. Alors par linéarité de df x son noyau est un sous-espace vectoriel de T M x de dimension m n. Si M R k, choisissons une application linéaire L : R k R m n qui est un 9

16 homéomorphisme sur Ker df x R k et définissons : Clairement la différentielle de F est : F : M N R m n z (f(z), L(z)) df x (v) = (df x (v), L(v)) Ainsi df x est inversible. Donc par le Théorème d inversion locale, il existe un voisinage U de x tel que F U est un difféomorphisme sur un voisinage V de (y, L(x)). De plus f 1 (y) correspond via l application F à l hyperplan {y} R m n, et F est un difféomorphisme de f 1 (y) U sur ({y} R m n ) V. Ce qui prouve donc que f 1 (y) est une variété lisse de dimension m n. Théorème 2.3 Soit f : M N une application lisse entre variétés lisses de dimensions respectives m et n telles que m n. Soit y N une valeur régulière de f. Alors le noyau de la différentielle df x : T M x T N y est égal à l espace tangent T (f 1 (y)) x T M x. De plus T (f 1 (y)) x est isomorphe à T N y par df x. Preuve. Considérons les diagrammes associés suivants : f 1 (y) i M T (f 1 (y)) x i T M x f f df x df x {y} i N {0} i T N y L application df x envoie le sous-espace T (f 1 (y)) x T M x sur {0} et comme df x est surjective, nécessairement T (f 1 (y)) x est isomorphe à T N y via l application df x. 10

17 3 Cobordisme parallélisé : La construction de Pontryagin Nous allons à présent définir la relation d équivalence voulue sur les variétés lisses compactes de même dimension et obtenir la construction de Pontryagin caractérisant cette classification. Comme une variété lisse est un sous-ensemble de R k il est toujours possible de plonger deux variétés quelconques N R k et M R l de dimensions n et m dans R k+l telles que leur intersection soit au plus le point d origine de l espace vectoriel réel euclidien. Si de plus l une de ces deux variétés est compacte, il est possible de la plonger dans R k+l de façon à ce que l intersection soit vide. Ainsi, se donner une relation entre différentes variétés est équivalent à se donner une relation entre les sous-variétés de R n pour n assez grand. Commençons par définir un exemple d une telle relation. Définition 3.1 (Cobordisme) Soit M une variété lisse de dimension m. Soient N et N deux sousvariétés lisses et compactes de M de dimension n. Alors N sera dite cobordante à N, si et seulement si il existe ɛ ]0, 1[ tel que le sous-ensemble : N [0, ɛ[ N ]1 ɛ, 1] Peut être étendue en une variété lisse à bord, notée X telle que : (i) X M [0, 1] (ii) X = N {0} N {1} (iii) X (M {0} M {1}) = X C est une relation d équivalence sur les sous-variétés de même dimension. 11

18 Définition 3.2 (Parallélisation) Soient M une variété lisse de dimension m et N M une sous-variété lisse de dimension n. Une parallélisation de N est une application p qui associe à tout élément x N une base de l espace vectoriel T Nx dans T M x. Plus précisément : x N, T N x := {v T M x w T N x, < v, w >= 0} Où <.,. > est le produit scalaire euclidien dans R k. Et T Nx est un sous-espace vectoriel de R k de dimension m n appelée la codimension de N dans M. Considérons B(T Nx ) l ensemble des bases de T Nx, alors on a : p : N B(T N x ) x (p 1 (x),..., p m n (x)) Dans ce cas, la paire (N, p) est appelée une sous-variété lisse et parallélisée de M. Nous allons voir un cas particulier de cobordisme préservant les parallélisations. Cette propriété nous permettra ensuite de définir les variétés de Pontryagin qui sont le cœur de notre étude. Définition 3.3 (Cobordisme parallélisé) Soit M une variété lisse de dimension m. Soient (N, p) et (N, p ) deux sous-variétés lisses, compactes et parallélisées de M de dimension n. Alors (N, p) sera dite parallèlement cobordante à (N, p ), si et seulement si il existe une variété cobordante X M [0, 1] entre N et N ainsi qu une parallélisation b de X vérifiant : (i) i m n, (x, t) N [0, ɛ[, b i (x, t) = (p i (x), 0) (ii) i m n, (x, t) N ]1 ɛ, 1], b i (x, t) = (p i (x), 0) C est à nouveau une relation d équivalence sur les sous-variétés de même dimension. On va maintenant construire les variétés de Pontryagin comme l image réciproque d une valeur régulière pour une certaine fonction lisse f. Cette même application induit une parallélisation naturelle de la variété de Pontryagin. De plus la classe de cobordisme parallélisé de cette sousvariété ne dépend pas de la valeur régulière choisie. Cette construction nous permettra de transporter le problème de la classification des sous-variétés en un problème de classification des applications lisses. 12

19 Proposition 3.1 (Variété de Pontryagin) Soient M une variété lisse, et S p la sphère de dimension p. Soient f : M S p une application lisse et y S p une valeur régulière. Soit b = (b 1,... b p ) une base positivement orienté de l espace tangent T (S p ) y. Alors f 1 (y) est une sous-variété lisse de M et b induit une parallélisation f b de f 1 (y). Le couple (f 1 (y), f b) est appelé une variété de Pontryagin. Preuve. L application f étant lisse et comme y S p est une valeur régulière, nous avons déjà vu que l ensemble f 1 (y) est une sous variété de M. Il reste à montrer l existence d une parallélisation de cette variété. Pour tout x f 1 (y) on a l application : df x : T M x T (S p ) y De plus, l espace tangent T (f 1 (y)) x Ker(df x ) et son orthogonal T (f 1 (y)) x est isomorphe à T (S p ) via df x. Alors l image réciproque de b = (b 1,... b p ) par df x est une base de T (f 1 (y)) x que l on notera : f b = (w 1 (x),... w p (x)) vérifiant x f 1 (y), i p, df x (w i (x)) = b i Cette construction n est pas unique, car elle dépend à la fois de la valeur régulière y, de la base b et de la fonction f choisie. Cependant toutes les variétés de Pontryagin entretiennent des liens étroits liés au cobordisme parallélisé. Nous présentons d abord les trois théorèmes qui rassemblent ces résultats puis nous les démontrons un par un. Théorème 3.1 (Théorème I de Pontryagin) Soit M une variété lisse et soient y, y S p deux valeurs régulières d une même application lisse f : M S p. Soient b et b deux bases positivement orientées des espaces tangents T (S p ) y et T (S p ) y. Alors les sous-variétés (f 1 (y), f b) et (f 1 (y ), f b ) sont parallèlement cobordantes. 13

20 Remarque En d autres termes il est possible de définir une application Φ sur l ensemble des fonctions lisses {f : M S p } à valeur dans l ensemble des classes de cobordisme parallélisé des sous-variétés de M, compactes et de même dimension. Car sur cet ensemble quotient la construction précédente ne dépend plus que de la fonction lisse f. Théorème 3.2 (Théorème II de Pontryagin) Soient f, f : M S p deux applications lisses. Alors f est lissement homotope à f si et seulement si les variétés de Pontryagin associées à f sont parallèlement cobordantes aux variétés de Pontryagin associées à f. Remarque L application Φ précédente induit une application Φ définie sur les classes d homotopie lisse des applications lisses f : M S p. De plus Φ est injective. Théorème 3.3 (Théorème III de Pontryagin) Soient M une variété lisse de dimension m et (N, p) une sous-variété lisse, compacte et parallélisée de codimension p dans M. Alors il existe une application lisse f : M S p, telle que (N, p) est parallèlement cobordante à une sous-variété de Pontryagin associée à f. Remarque L application Φ est donc surjective et Φ met ainsi en correspondance bijective l ensemble des classes de cobordisme parallélisé des sous-variétés compactes de même codimension p et l ensemble des classes d homotopie lisse des applications à valeurs dans la sphère de dimension p. Preuve (Théorème I de Pontryagin). Commençons par prouver que les variétés de Pontryagin (f 1 (y), f b) et (f 1 (y), f b ) induites par deux bases de même orientation positive sont parallèlement cobordantes. Choisissons un chemin de la base b à la base b dans l espace des bases positivement orientées. Ce qui est possible, car cet espace peut être identifié au groupe linéaire positif GL + p (R) des matrices carrées de dimension p et de déterminant positif, qui est un espace connexe par arc. Ce même chemin permet ainsi de construire la parallélisation de la variété f 1 (y) [0, 1]. 14

21 Montrons maintenant que si y et z sont deux valeurs régulières alors les variétés de Pontryagin associées sont parallèlement cobordantes. Choisissons un ensemble de rotations de la sphère de dimension p formant une homotopie lisse, t [0, 1], r t : S p S p telle que r 0 est l identité et r 1 (y) = z. Alors l application f est homotope à l application r 1 f et nous allons montrer qu ainsi f 1 (z) est parallèlement cobordante à (r 1 f) 1 (z) = f 1 (y). En effet si f et g sont lissement homotopes et y est une valeur régulière pour les deux applications, choisissons une homotopie F et ɛ > 0 tels que : F (x, t) = f(x) 0 t < ɛ, F (x, t) = g(x) 1 ɛ < t 1. Supposons qu il existe une autre valeur régulière z appartenant à un voisinage de y telle que f 1 (z) soit parallèlement cobordante à f 1 (y) et que g 1 (z) soit également parallèlement cobordante à g 1 (y). Alors F 1 (z) est une variété lisse parallélisée et fournit ainsi une variété lisse parallélisée et cobordante entre f 1 (z) et g 1 (z), ainsi en inversant le rôle de y et z on obtient que f 1 (y) est parallèlement cobordante à g 1 (y) comme voulu. Montrons qu une telle valeur régulière z existe toujours. Comme l ensemble des valeurs régulières est dense dans l image de f, nous pouvons choisir ɛ > 0 tel que la boule de rayon ɛ et de centre y ne contienne que des valeurs régulières. Prenons alors un élément z de cette boule, à nouveau choisissons une homotopie lisse décrivant un ensemble de rotations de S p : t [0, 1], r t : S p S p tel que r 1(y) = z et tel qu il existe ɛ : r t soit égale à l identité pour 0 t < ɛ, r t soit égale à r 1 pour 1 ɛ < t 1, t [0, 1], r t 1 (z ) appartiennent à la boule de rayon ɛ centré en y. Définissons l homotopie F : F : M [0, 1] S p (x, t) r t f(x) Alors pour tout t [0, 1] z est une valeur régulière de F, on a donc une variété lisse parallélisée : F 1 (z ) M [0, 1] Cette variété est de plus cobordante entre les variétés lisses parallélisées f 1 (z ) et (r 1 f) 1 (z ) = f 1 (y). En considérant un voisinage de y suffisamment petit, il est donc possible de trouver une valeur régulière z satisfaisant nos conditions. Ainsi f 1 (y) est 15

22 toujours parallèlement cobordante à g 1 (y) et ainsi f 1 (z) est parallèlement cobordante à f 1 (y) ce qui achève la démonstration. Avant de donner une preuve des deux autres théorèmes de Pontryagin, nous allons présenter et prouver un autre théorème central dans les démonstrations à venir. Théorème 3.4 (Théorème du Voisinage produit) Soit (N, b) une sous-variété lisse compacte et parallélisée de codimension p d une variété lisse M de dimension m. Alors il existe un voisinage de N dans M difféomorphe au produit N R p. De plus, un tel difféomorphisme peut être choisi de façon à ce que tout point x N corresponde au point (x, 0) N R p et que toute base b(x) corresponde à la base standard de R p. Preuve. Supposons tout d abord que M est l espace euclidien R n+p et considérons l application g telle que : g : N R p M (x; t 1,..., t p ) x + t 1 b 1 (x) + + t p b p (x) Alors dg (x;0,...,0) est inversible, donc par le Théorème d inversion locale il existe un voisinage ouvert V de (x, 0) difféomorphe à g(v ). Nous allons prouver qu il existe ɛ > 0 tel que g est bijective sur l ensemble N B(0, ɛ) où B(0, ɛ) est la boule ouverte de rayon ɛ et centré en 0, qui est un voisinage ouvert de N {0}, car sinon il existerait deux points (x, u) et (x, u ) N R p avec u et u de norme arbitrairement petite dans R p avec g(x, u) = g(x, u ). Comme N est compacte on peut choisir une suite de telles paires avec x convergent vers sa limite x 0 et x convergent vers sa limite x 0 ainsi que u et u convergent vers 0 R p alors on obtient que x 0 = x 0 ce qui contredit l hypothèse que g est bijective dans un voisinage de (x 0, 0). Alors l application g restreinte à N B(0, ɛ) est un difféomorphisme sur son image, et la boule B(0, ɛ) est difféomorphe à l espace euclidien R p par l application suivante : u u/(1 u 2 /ɛ 2 ) Ce qui prouve le théorème dans le cas où M est l espace euclidien R n+p. Pour le cas général il faut remplacer les segments de l espace euclidien R n+p par les géodésiques de M. Notons g(x; t 1,..., t p ) le point final de la 16

23 géodésique de longueur t 1 b 1 (x) + + t p b p (x) dans M de point initial x et de différentielle en x égale à : t 1 b 1 (x) + + t p b p (x)/ t 1 b 1 (x) + + t p b p (x) Alors on obtient une application lisse g telle que : g : N B(0, ɛ) M Et on recommence le reste de la preuve précédente dans le cas M = R n+p pour démontrer le théorème dans le cas M quelconque. Ce théorème va nous fournir les outils nécessaires à la démonstration des deux derniers théorèmes. Commençons par le plus simple : Preuve (Théorème III de Pontryagin). Choisissons une sous-variété lisse compacte et parallélisée (N, p) M sans bord ainsi qu une représentation produit d un voisinage V de N : g : N R p V M vérifiant le Théorème du voisinage produit. Définissons la projection : π : V R p g(x, y) y Alors 0 est une valeur régulière pour cette application et π 1 (0) est exactement la variété lisse N munie de sa parallélisation b. Construisons maintenant une application ψ : R p S p qui envoie tous les éléments de norme x 1 sur le point bases 0 et qui envoie B(0, 1) de façon difféomorphe sur S p \ {s 0 }. Définissons f : M S p x ψ(π(x)) si x V s 0 si x / V Alors f est une application lisse et le point ψ(0) est une valeur régulière de f. De plus comme la variété de Pontryagin associée f 1 (ψ(0)) = π 1 (0) est la variété (N, p) ceci termine notre démonstration. Preuve (Théorème II de Pontryagin). Pour démontrer ce théorème, il nous faut d abord prouver que les variétés de Pontryagin associées à une application lisse déterminent sa classe d homotopie d application lisse. 17

24 Montrons que si deux applications lisses f et g qui ont une valeur régulière en commun y donnent les mêmes variétés de Pontryagin, alors ces deux applications sont lissement homotopes, on notera f g. Considérons donc les variétés de Pontryagin (f 1 (y), f b) et (g 1 (y), g b). Notons N := f 1 (y) = g 1 (y), alors l hypothèse d égalité sur les parallélisations f b et g b implique l égalité des différentielles df x et dg x pour tout x N. Supposons d abord qu il existe un voisinage V de N où f = g. Soit h : S p \ {y} R p la projection stéréographique. Alors on a une homotopie lisse H entre f et g : H(x, t) = f(x) H(x, t) = h 1 (t.h(f(x)) + (1 t).h(g(x))) pour x V pour x M \ N Afin de traiter le cas général il suffit donc de composer f avec une application lisse d de sorte que f := d f coïncide avec g sur un voisinage de N. Cependant cette application lisse ne doit évidemment pas ajouter d autres points dans N. Choisissons donc une représentation produit d un voisinage V de N. N R p V M Où V est tel que f(v ) et g(v ) ne contiennent pas l antipode ȳ de y dans S p. En identifiant V avec N R p et en identifiant S p \ {ȳ} avec R p on obtient les applications F et G correspondants à f et g par ces identifications : avec et pour tout x N on a F, G : N R p R p F 1 (0) = G 1 (0) = N {0} df (x,0) = dg (x,0) = p 2 := la projection sur R p Nous allons d abord trouver une constante c telle que pour tout x N et pour tout u R p tel que 0 < u < c on ait : F (x, u).u > 0 et G(x, u).u > 0 Ce qui implique que F (x, u) et G(x, u) appartiennent au même demi espace ouvert dans R p. Ainsi l homotopie définie par : (1 t).f (x, u) + t.g(x, u) entre F et G n enverra aucun nouveau point en 0. 18

25 Par le théorème de Taylor on a que : F (x, u) u c 1 u 2, pour u 1 Posons c := Min(c 1 1, 1). Alors pour 0 < u < c on a les inégalités : (F (x, u) u).u c 1 u 3 F (x, u).u u 2 c 1 u 3 > 0 Avec un raisonnement similaire, on obtient les mêmes inégalités pour G. Pour que la déformation d soit locale, c est-à-dire égale à l identité en dehors d un certain compact. Nous choisissons une application lisse λ telle que : Ainsi l homotopie définie par : λ : R p R u 1 si u c/2 0 si u c F t (x, u) = [1 λ(u).t].f (x, u) + λ(u).t.g(x, u) Transforme F = F 0 en une application F 1 telle que : F 1 coïncide avec G sur B(0, c/2) F 1 coïncide avec F sur R p \ B(0, c) u, F 1 (u) 0 En transportant cette déformation via l identification faite préalablement. On obtient donc une homotopie entre f et g. Terminons donc la preuve. Si f et g sont deux applications lissement homotopes, alors nous avons déjà vu dans la preuve du Théorème II que les variétés de Pontryagin f 1 (y) et g 1 (y) sont parallèlement cobordantes. Réciproquement, on se donne une variété lisse cobordante (X, m) entre les variétés f 1 (y) et g 1 (y), de façon analogue à la preuve du Théorème III, nous construisons une homotopie lisse F : F : M [0, 1] S p Dont la variété de Pontryagin associée (F 1 (y), F b) est (X, m). Alors en définissant F t (x) = F (x, t), on obtient que F 0 et f ont exactement les mêmes variétés de Pontryagin associées. Donc F 0 f et de même F 1 g, donc f g ce qui achève la preuve. 19

26 Bibliographie [1] John W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton landmarks in mathematics, [2] James Munkres, Topology, Second Edition, Pearson New International Edition, [3] Allen Hatcher, Algebraic Topology,