Chapitre 2: Mécanique de contact

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1 Chapitre 2: Mécanique de contact

2 Mécanique de contact: Introduction La mécanique du contact a pour objectif l'étude du contact entre deux solides sous l'effet de forces extérieures. Les problèmes posés concernent la connaissance du contact : aire de contact déformation des solides, contraintes engendrées dans le contact et au voisinage, influence des paramètres du contact On a l'habitude de distinguer trois cas : - contact ponctuel : sphère/sphère, sphère/plan (Théorie de Hertz ), -contact linéique : contact du type cylindre/plan, cylindre/cylindre, axe/palier (contact entre des dents de deux engrenages), - contact surfacique : contact type plan/plan

3 Mécanique de contact: Contact ponctuel (Contact élastiques sphère/plan- Théorie de Hertz) R N N La théorie de Hertz traite le cas d'un contact sphère / plan. Elle permet de connaître : - l'aire de contact, - les contraintes, - les déformations.

4 Mécanique de contact: Contact ponctuel (Contact élastiques sphère/plan- Théorie de Hertz) Hypothèses la géométrie est connue : la sphère est de rayon R, le contact est sans frottement à l'interface, f = 0, contact avec force normale seule, les forces de surface sont négligées, les surfaces sont considérées lisses (pas de rugosité), les matériaux sont homogènes, isotropes et élastiques, a << R (contact non conforme). NB: Un contact est dit conforme si les surfaces des deux corps s adaptent exactement à faible déformation

5 Mécanique de contact: Théorie de Hertz. Raisonnement de Hertz Pour faciliter la résolution nous allons étudier la réponse d un massif semi infini à une force normale concentrée. On considère une force N concentrée en un point O. Soit un point P situé à une distance r de O. L objectif est de déterminer le déplacement vertical du point P sous l action de N en fonction de la distance r et des propriétés du matériau (E et ). O N r P Uz(r) x z

6 Mécanique de contact: Théorie de Hertz. Raisonnement de Hertz O N r P Uz(r) x z La solution proposée par Timoshenko et Goodier en 1951 : Avec

7 Mécanique de contact: Théorie de Hertz. Raisonnement de Hertz Tenseur de déformation : Champ de déplacement : Champ de déplacement à la surface (z=0):

8 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Pression de contact : Contact sphère/sphère Contact sphère/plan avec

9 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Déplacement d un point B de la surface: cas 1: B à l intérieur du cercle de pression Champ de déplacement à la surface (z=0) due à une force concentrée distante de r: La force exercée sur l élément de surface sdsd: df= psdsd Or

10 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Déplacement d un point B de la surface: cas 1: B à l intérieur du cercle de pression Géométriquement on a: On pose: Ce qui donne

11 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Déplacement d un point B de la surface: cas 2: B à l extérieur du cercle de pression On procède de la même manière

12 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Répartition des contraintes: Pour z=0 (en surface):

13 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Répartition des contraintes: Pour z=0 (en surface):

14 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Répartition des contraintes: Pour z=0 (en surface): - les contraintes r,, z, sont des contraintes principales. - est de compression - r est de compression dans la zone de contact, de tension à l'extérieur - pour r > a, r =- - Dans le cercle de contact, les trois contraintes sont de compression et assez semblables en amplitude : l'état de contrainte est presque hydrostatique. - Présence d'un pic de contrainte de tension en surface à la périphérie du contact : - la contrainte de compression est maximale au centre du contact :

15 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Répartition des contraintes: Pour z 0 (en profondeur pour r=0): /P m r, z Pour =0,25

16 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Répartition des contraintes: Pour z 0 (en profondeur): Le point de Hertz correspond au point où la contrainte de cisaillement maximale en sous couche - pour = 0,25 max = 0,48 P m (0,32 P0) pour z/a = 0,46 - pour = 0,33 max = 0,45 P m (0,30 P0) pour z/a = 0,49 - pour = 0,5 max = 0,40 P m (0,27 P0) pour z/a = 0,55 les contraintes r, et z sont maximales en surface (compression) r, et deviennent des contraintes de tension en profondeur pour z > 1,26.a si = 0,25 (pour z > 1,48.a si = 0,3).

17 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Résultat de la théorie de Hertz: On utilisant la distribution de pression de Hertz nous avons montré que:

18 Mécanique de contact: Théorie de Hertz Résultat de la théorie de Hertz: En conclusion (par identification) Si on note N l effort normal appliqué aux deux solides on a : soit Finalement on aura : Le rayon de l aire de contact a est : Le rapprochement des deux solides est : La pression maximale P 0 est :

19 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Matériau fragile : Lors d'un essai de traction, la contrainte à la rupture r est inférieure à la limite élastique e. Il y a rupture sans déformation plastique. Ces matériaux sont sensibles aux contraintes de tension : céramiques, verre,... Matériau ductile : Lors d'un essai de traction, la limite à la rupture r est supérieure à la limite élastique e. Il y a donc des déformations plastiques avant rupture : métaux à température ambiante, céramiques à chaud... Pour les matériaux fragiles comme les céramiques par exemple, il existe une transition fragile/ductile qui se produit avec la température. De la même manière, il peut exister une transition ductile / fragile avec la vitesse de sollicitation pour des matériaux ductiles (polymères, caoutchouc). r e fragile ductile température

20 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Matériaux fragiles Les premières dégradations apparaissent sous l'effet des contraintes de tension : une fracture débute en surface au cercle de tension maximale : c'est la Fracture Hertzienne La mécanique de la rupture: Un matériau se caractérise par la taille du défaut critique a d. Le seuil de rupture peut être obtenu par la relation : a E. d Gc Kc : Contrainte, ici r maxi. a d : taille du défaut critique (mm). E : module d'young (MPa). Gc : Energie de rupture (Griffith) (KJm -2 ) Kc : Facteur d'intensité de contrainte critique (MPa.mm 1/2 ). La rugosité, la porosité, les fractures préexistantes peuvent jouer le rôle de défaut critique.

21 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Matériaux ductiles Les premières déformations plastiques apparaissent au point de cisaillement maximal, point de Hertz en sous-couche. Quand la force normale augmente, la taille de la zone plastifiée augmente pour rejoindre la surface L'apparition des premiers écoulements plastiques peut être prédite en employant des critères adaptés : Tresca ou Von Mises

22 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Matériaux ductiles Critère de Tresca (contrainte de cisaillement maximale) : 1, 2 et 3 sont les contraintes principales avec max = 1/2 1-3 =k=1/2y à l'écoulement k : contrainte d'écoulement en cisaillement pur Y : contrainte d'écoulement en traction pure Critère de Von Mises 3 D éqv : 2 D Y σ =σ- trσ.1 3 D 1

23 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Matériaux ductiles Pour un contact circulaire : max = 0,31P 0 à z = 0,48 a Tresca : max = k et P0 = 3,2 k = 1,6 Y Von Mises : P 0 = 2,8 k = 1,6 Y soit P m = 1,06 Y On considère habituellement comme limite : P m = 1,1 Y Pour un contact linéaire : sur l'axe de symétrie, les contraintes xx, yy et zz sont les contraintes principales Tresca : max = 0,3 P 0 = k à l'écoulement P 0 = 3,3 k = 1,67 Y Von Mises : P 0 = 3,1 k = 1,79 Y Pour un contact conique: P m = 0,5 Y

24 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Matériaux ductiles Contact Sphère / plan : l'application de la théorie de Hertz permet d'écrire le rayon de contact : a 3 4 N1. R * E 1 3 Les premières plastifications apparaissent pour une charge normale appliquée N 1 telle que: Pm 1, 1. Y N a En combinant les deux équations précédentes, on obtient : 1 2 N 1 23,2Y 3 R E * 2 Pour un contact linéaire, la charge de plastification par unité de longueur N'1 est : ' RY² N1 8, 8 * E

25 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Contact élasto-plastique K.L. Jonhson a proposé de décrire le comportement d'un contact par le modèle de la cavité sphérique. Un volume de matière demi-sphérique sous la zone de contact, appelé le cœur ou la cavité est en compression hydrostatique. Elle est entourée par de la matière plastifiée puis par de la matière déformée élastiquement. hydrostatique plastique élastique Dans ce cas, on a la relation : Pm Y 2 1,7 3 Ln 1 3 * ae RY

26 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Plasticité totale Dans le cas d'un contact plastique, des modèles de ligne d'écoulement permettent de décrire le mouvement de la matière. N Dans la cas d'un coefficient de frottement faible (f < 0,15), un cône de matière non déformée adhère à l'indenteur sphérique. Lorsque la charge normale augmente, on peut définir une charge à partir de laquelle on peut considérer que le matériau se déforme plastiquement. D'après K L. Johnson et Tabor (1950), on a : P m = 3Y

27 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Plasticité totale Pour un corps plastique pur, P m est ensuite constante. P m = 3Y pour E a 30 YR pour un contact sphère / plan, pour E tg 40 Y pour un contact cône / plan. Pm/Y 3 plastique élast. Dureté 1.06 élastoplastique E * a/yr 2,59 30 Hertz

28 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Contact plastique En plasticité pure P m = 3Y = constante. C'est la pression d'écoulement. On peut considérer que P m = 3Y est vérifié si : il n'y a pas d'écrouissage (Y = cst), le comportement élastique est négligeable. Ce qui correspond empiriquement à E/Y > 100. Si E/Y < 100 on a alors P m < 3Y. Pm 3Y 1,1Y N Hertz él.plas t. plas tique

29 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Notion d écrouissage L'écrouissage correspond à une augmentation de la limite élastique avec les déformations plastique. Tabor a montré que la limite d'écrouissage suit une loi b : constante x : indice d'écrouissage 0 < x < 0,6 Y : limite d'écoulement : déformation Y b. x Y i r i

30 Mécanique de contact: CONTACT SPHERE / PLAN - PREMIERES DEGRADATIONS Notion d écrouissage Dans le cas d'un contact bille/plan : Expérimentalement, on a montré que On a donc : d'où : N. 4.N d d x 2 x 20d x 3.b. d 2 R n est l'indice de Meyer : n = x + 2 Pour un métal écrouissable, n = 2 pour des métaux fortement écrouis, n = 2,6 pour un métal recuit, écrouissable. log(a) P m d R 4. N 3Y 3. b. 2 d pour 20 95% x pente 1/(2+x) HERTZ DURETE pente 1/3 log(n) N1 N2

31 Mécanique de contact: CONTACT DE DEUX CORPS DE GEOMETRIE COMPLEXE Dans le cas d'un corps de géométrie complexe, définie par R' et R'', en contact sur un plan, si R'/R'' < 5, on donne les relations approchées suivantes (d'après K.L. Johnson): b a R'' R' 1/ 2 c N ab 3 Re * 4E 1/ 3 * R' R'' Re R' R'' c² 9N² *2 Re 16 Re E 1/ 3 * R' R'' P 1/3 *2 2/3 3N 3 6 NE R' 0 Pm * c² 2 Re R''

32 Mécanique de contact: CONTACT DE DEUX CORPS DE GEOMETRIE COMPLEXE La contrainte maximale de cisaillement dans un contact elliptique (a, b) varie en amplitude et position en fonction du rapport a/b: b/a 0 (cyl.) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (cercle) position z/a 0,785 0,745 0,665 0,590 0,530 0,450 max/p o 0,3 0,322 0,325 0,303 0,317 0,310

33 Mécanique de contact: Cas simple sphère/sphère a 3NR * 4E 1/ R R R E * P O 1 E1 6NE R 2 1 * E Cylindre/cylindre à axes parallèles R1, R2 La surface de contact est un rectangle étroit de largeur 2b. Pour un axe (R 1 ) dans un palier (R 2 ): 1/ R R R Pour un contact entre deux cylindres parallèles: 4N' R b E 1/ Avec N' charge par unité de longueur R R R 1 2 P 0 N' E R 1/ 2 4 Pm N' E Pm 16R 1/ 2

34 Mécanique de contact: Cylindre/cylindre à axes parallèles R1, R2 La distribution de pression est donnée par la relation : Px P0 1 2 x b 2 Le point de cisaillement maximal est à une profondeur: z b 0, 785 max = 0,3 P 0

35 Mécanique de contact: Description de la géométrie de contact avant chargement

36 Mécanique de contact: Description de la géométrie de contact avant chargement Y Y 1 Y 2 X 2 x x 1

37 Mécanique de contact: Description de la géométrie de contact avant chargement Lorsque les plans principaux de chacune des surfaces du contact sont confondus, la forme géométrique des surfaces, dans la zone de contact, est définie par les rayons de courbure R 1, Ry1 et Ry2 des sections situées dans les plans principaux xoz et yoz On considère les rayons de courbures de la surface équivalentes par: On introduit le rayon équivalent défini par: