TD O2 : Ondes sonores dans les fluides

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1 O2 : Ondes sonores dans les fluides Révisions de cours : Vous devez vous assurer que tous les points de cours suivants sont su. Classer les ondes sonores par domaines fréquentiels Donner et justifier les hypothèses de l approximation acoustique par des ordres de grandeur Montrer que l accélération d une particule de fluide s écrit v t lorsque a << λ Savoir écrire les trois équations locales linéarisées dans le cadre de l approximation acoustique Déterminer l équation de propagation de la surpression dans la situation unidimensionnelle en coordonnées cartésiennes Connaître la généralisation (admise) à trois dimensions de l équation de propagation Exprimer la célérité en fonction de la température pour un gaz parfait Citer les ordres de grandeur de la célérité pour l air et pour l eau Connaître les expressions (admises) du vecteur densité de courant énergétique, de la densité volumique d énergie Définir l intensité acoustique et le niveau sonore. Citer les ordres de grandeur de l intensité ou niveau sonore pour le minimum d audition, le seuil de douleur, une conversation. Définir une onde plane Discuter de la validité du modèle de l onde plane en relation avec le phénomène de diffraction Définir une onde plane progressive harmonique Ecrire l action des opérateurs sur un champ du type e j(ωt k. r) ou e j( k. r ωt) à l aide du vecteur jk Décrire le caractère longitudinal des ondes sonores Définir l impédance acoustique et établir son expression dans le cas d une OPPH Commenter l expression de la surpression p(r, t) 1 r cos(ω(t r c )) générée par une sphère pulsante 1 PSI, lycée de l Essouriau, 2015/2016

2 1 Puissance d une onde sphérique émise par une sphère pulsante Ondes sonores sphériques, équation d onde à trois dimensions, équations locales linéarisées relation de dispersion, vecteur densité de courant énergétique, intensité acoustqiue, puissance rayonnée, impédance acoustique Une sphère pulsante est plongée dans un gaz parfait isotherme. L effet de la pesanteur est négligé et on se place dans le cadre de l approximation acoustique. Le mouvement vibratoire de la sphère créé une onde sonore sphérique décrite par la surpession p(r,t) en notation complexe : p(r, t) = A r ej(ωt kr) On admet la relation de dispersion k = ω c. Quelques opérateurs en coordonnées sphériques : Figure 1: Enceinte quasisphérique Pour une fonction f(r) : f = 2 r f r + 2 f r 2 et = r u r + 1 r θ u θ + 1 r sin φ φ u φ 1. Déterminer l expression la vitesse acoustique. Justifier le caractère longitudinal de l onde sonore. 2. Simplifier l expression dans le cas r >> λ (hypothèse champ lointain), hypothèse que l on gardera dans toute la suite. 3. Calculer l intensité acoustique en fonction de A, µ o c et r. 4. Montrer que la puissance moyenne de l onde rayonnée à travers une surface de rayon R est indépendante du rayon de la sphère. 5. Déterminer l impédance acoustique de l onde sphérique. L expression est-elle toujours valable dans le cas de l hypothèse"champ proche" r << λ? 6. Montrer la relation de dispersion : k = ω c. 2 Intensité acoustique Impédance acoustique, intensité acoustique, niveau sonore, vecteur densité de courant énergétique, ordres de grandeurs, validité de l approximation acoustique On considère une onde plane progressive harmonique incidente sur une oreille humaine. 1. Rappeler la relation liant surpression et vitesse acoustique pour une OPPH se propageant dans le sens des x croissants. 2. Calculer l amplitude maximale de la surpression et de la vitesse acoustique correspondant au seuil d audition de l oreille humaine. 3. Calculer l amplitude maximale de déplacement des couches de fluide au seuil d audition correspondant à la fréquence où l oreille humaine est la plus sensible. Comparer le résultat à la taille d un atome. 4. L approximation acoustique reste t-elle valable au seuil de douleur de l oreille humaine? 2 PSI, lycée de l Essouriau, 2015/2016

3 3 Onde sonore et caractère adiabatique de l écoulement L établissement de l équation de propagation des ondes sonores repose sur le fait que l évolution d un élément mésoscopique de fluide (air) est adiabatique. Soit une onde sonore de fréquence f et de longueur d onde λ = c f. Sous l effet de l onde la température varie périodiquement dans l espace sur une distance caractéristique de l ordre de λ, et dans le temps avec une durée caractéristique T = 1 f. Donnée : D th = m 2.s Rappeler sans démonstration l équation de la diffusion thermique (sans terme source). 2. Estimer la longueur caractéristique L d évolution du phénomène de diffusion thermique en fonction des paramètres du problème. 3. A quelle condition sur L la transformation du fluide peut être considérée adiabatique? 4. Estimer la fréquence f maximale de l onde sonore pour que l hypothèse d adiabaticité. L hypothèse est-elle valable dans le domaine des ondes sonores audibles? 4 Tuyau d orgue Onde plane progressive harmonique, ondes stationnaire, modes propres dans une cavité Un tuyau d orgue est une cavité acoustique dont la longueur va déterminer la note du son joué. On modélise un tuyau d orgue par un tube cylindrique d axe Ox de section S et de longueur L. Le tuyau considéré présente à sa base une petite ouverture appelée "bouche" de telle sorte que le tuyau se comporte comme un tuyau ouvert en contact avec l air à ses deux extrémités (voir ci-dessous). On note p o et µ o respectivement la pression et la masse volumique de l air au repos. On suppose que l air impose la pression p o en x=0 et x=l. On étudie la propagation d une onde plane dans la cavité. On recherche le champ de pression p(m,t) dans la cavité sous la forme d une onde plane stationnaire de la forme A cos(ωt + φ) cos( k. OM + ψ). 1. Montrer que l onde plane progressive stationnaire peut s écrire comme la somme de deux ondes planes progressives harmoniques dont on précisera le sens de propagation. 2. Déterminer les modes propres de vibration dans le tuyau de l orgue et représenter les modes n=1 et n=2 dans le tuyau pour l onde de surpression. 3. Sachant que la note jouée par un tuyau est donnée par sa fréquence fondamentale. Donner l ordre de grandeur de la plus haute fréquence que peut jouer l orgue d après la photo ci-dessus (des tuyaux ne sont pas visibles). Faire de même pour la fréquence la plus grave. Réponses : 189 Hz et 31 Hz. 3 PSI, lycée de l Essouriau, 2015/2016

4 En pratique tous les tuyaux d un orgue ne sont pas identiques. Les notes les plus graves sont jouées par les tuyaux dits "bourdons" qui sont fermés à une extrémité, ce qui impose en x=l un ventre de pression. 4. Déterminer les nouveaux modes propres dans la cavité et représenter sur un schéma le mode n=1. 5. Justifier de l intérêt d utiliser de tels tuyaux pour jouer les notes les plus graves sachant qu un orgue peut comporter jusqu à plusieurs milliers de tuyaux (8000 pour l orgue de Notre-Dame de Paris). 5 Pavillon acoustique d un soubassophone Equations linéarisées couplées, détermination de l équation de propagation, recherche de solutions sous la forme d ondes planes On étudie la propagation d une onde dans un pavillonde section variable S(x). Au passage d une perturbation le fluide subit un déplacement ξ(x, t) essentiellement longitudinal suivant l axe x. On considèra donc par la suite que le problème reste unidimensionnel, on note p 1 (x, t) la surpression, v(x, t) la vitesse acoustique et µ 1 (x, t) la perturbation de masse volumique par rapport au fluide au repos de masse volumique µ o. 1. En faisant un bilan de matière à partir du système ouvert défini sur la figure ci-dessus, montrer que l équation locale linéarisée de conservation de la masse s écrit : µ o (v(x, t)s(x)) x + S(x) µ t = 0 2. Montrer que l équation de propagation de la surpression p 1 (x, t) s écrit alors : 2 p 1 x ds p 1 S(x) dx x = 1 2 p 1 c 2 t 2 4 PSI, lycée de l Essouriau, 2015/2016

5 On considère un pavillon de section S(x) = S o e ax où a est le coefficient d expansion. On cherche à étudier la propagation d une onde plane dont la surpression complexe s écrit p 1 (x, t) = p 10 e j(ωt kx) où le vecteur d onde k est a priori un nombre complexe que l on écrira sous la forme k = k jk 3. Simplifier l équation d onde 4. Déterminer la relation liant k et ω (relation de dispersion). 5. Exprimer k et k en fonction de ω, c et a, montrer qu il existe une pulsation de coupure ω c à partir de laquelle l onde ne peut pas se propager. Le pavillon se comporte comme un filtre passe-haut ou passe-bas? 6. L onde est-elle amortie ou amplifiée lorsqu elle se propage dans le pavillon? 5 PSI, lycée de l Essouriau, 2015/2016