Corrélation - Régression

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1 Corrélation - Régression

2 Corrélation Mesure le degré de liaison entre deux variables quantitatives Pour qu il y ait série statistique, il faut qu au moins l une des deux variables soit aléatoire. Cas 1 : Une variable aléatoire et une variable contrôlée Exemple intensité de l assimilation chlorophyllienne (variable aléatoire) en fonction de l éclairement (contrôlé par l expérimentateur). Cas 2 : Deux variables aléatoires Exemple Abondance de la récolte viticole (aléatoire) en fonction du nombre de jours d ensoleillement dans l année (aléatoire).

3 Corrélation linéaire de Pearson Mesure le degré de liaison linéaire entre deux variables quantitatives Paramètres d une série statistique double Objectif : décrire la position et la forme de la distribution conjointe de deux variables Paramètre de position : le point moyen (= centre de gravité, centroïde). Paramètres de dispersion : Les variances estimées La covariance s xy

4 La covariance nous renseigne sur l inclinaison du nuage de points, mais elle ne nous donne aucune idée de l intensité de la liaison existant entre les variables x et y. En effet, la covariance peut augmenter alors que la liaison entre x et y reste constante. Les nuages de points A et B montrent la même intensité de liaison mais des covariances très différentes: cov xy (A) < cov xy (B).

5 Coefficient de corrélation linéaire de Pearson : mesure de la liaison linéaire entre deux variables quantitatives x et y. La corrélation linéaire (r de Pearson) est la covariance de deux variables centrées réduites. Propriétés : r = +1 ou r = 1 si les points forment une ligne droite dans le diagramme de dispersion. Le signe de r est le même que le signe de la covariance. Il indique si la relation est de pente positive (croissante) ou négative (décroissante).

6 Test de signification du r de Pearson Cependant, une corrélation significative ne démontre pas l existence d une relation de causalité entre x et y pas plus que l absence de corrélation significative dans une seule étude ne démontre l absence de lien causal.

7 Diagramme de dispersion de la masse des testicules (g) en fonction de la masse corporelle (kg) pour 30 espèces de primates (d après Harcourt et al. 1981).

8 1. Question biologique Est ce que la masse des testicules augmente de façon linéaire en fonction de la masse corporelle chez les primates? 2. Déclaration des hypothèses H 0 : Il n y a pas de corrélation linéaire entre la masse des testicules et la masse corporelle chez les primates H 1 : Il y a une corrélation linéaire positive entre la masse des testicules et la masse corporelle chez les primates 3.Choix du test Le test statistique utilisé est un test du r de Pearson

9 4. Conditions d applications du test paramétrique Les deux variables sont quantitatives (et forment une série statistique double). Les deux variables se distribuent de façon binormale. Les observations sont indépendantes. 5.Distribution de la variable auxiliaire Sous H 0 la variable auxiliaire r calc suivra une distribution de r de Pearson à n= 30 Sous H 0 la variable auxiliaire t calc suivra une distribution de t à υ = n- 2= 28 d.d.l. 6.Règle de décision 7.Calcul du test

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11 8. Décision statistique On ne peut rejeter H 0 au seuil α= 0.05 car : 9. Interprétation biologique Les données ne montrent pas que la masse des testicules augmente de façon linéaire en fonction de la masse corporelle chez les primates parce que les différentes parties du corps n ont pas le même taux de croissance (allométrie).

12 Régression linéaire (droites d'estimation) Objectif de l étude La méthode de la régression a pour but de décrire la relation entre une variable aléatoire dépendante (y) et un ensemble de variables indépendantes ou prédictives x, en tentant d estimer la valeur de y à l aide des variables prédictives x 1, x 2,, x m. Si les variables x sont contrôlées, on parle de régression de modèle I. Si les variables x sont aléatoires, on parle de régression de modèle II. Lorsque l estimation est fondée sur plusieurs variables prédictives, le problème en est un de régression multiple. On parle de régression linéaire lorsqu on désire calculer une fonction du premier degré liant les variables y et x.

13 = équation d une ligne droite traversant le nuage de points et permettant de calculer une valeur estimée pour chaque point et d axe des x, correspondant à la variable prédictive ŷ = droite d estimation ou droite de régression de y en x.

14 La régression est une forme de modélisation. Elle peut avoir plusieurs objectifs: Description : trouver le meilleur modèle fonctionnel liant la variable dépendante y à la (aux) variable(s) indépendante(s) x. Estimer la valeur la plus probable des paramètres du modèle, ainsi que leur intervalle de confiance. Inférence : tester des hypothèses précises se rapportant aux paramètres du modèle dans la population statistique: ordonnée à l origine, pente(s). Prédiction : prévoir ou prédire les valeurs de la variable dépendante pour de nouvelles valeurs de la (des) variable(s) indépendante(s).

15 Principe des moindres carrés Faire passer la droite d estimation, à travers le nuage de points, de façon à ce que les différences (y ŷ) soient les plus faibles possible pour l ensemble des points. La différence ε i = (y i ŷ i ) porte le nom de résidu pour l observation i.

16 Test de signification du coefficient a (pente de la droite): Intervalle de confiance de la pente Il sert surtout à des fins d'inférence (p.ex. pour vérifier qu'une pente prédite par la théorie biologique se trouve à l'intérieur de l'intervalle de confiance calculé pour un seuil de signification donné). Il s'exprime comme suit:

17 Intervalle de confiance d'une "prédiction" ou "estimation" définit les limites dans lesquelles se situe probablement une valeur individuelle lue sur la droite de régression

18 L'intervalle de prédiction d'une "prédiction" (estimation) définit les limites dans lesquelles tombera vraisemblablement une nouvelle observation de y si elle fait partie de la même population statistique que l'échantillon; la formule pour l'obtenir est la même que l'équation précédente, à ceci près que var(ŷ i ) doit être remplacé par la quantité : L'intervalle de confiance de l'estimation de la moyenne de y pour une valeur particulière de la variable explicative lorsqu'on dispose d'une série de m nouvelles valeurs de y pour une seule valeur de x; cet intervalle est constitué d'une bande plus étroite que la précédente autour de la droite de régression. En effet, au lieu de var(ŷ i ), on utilise la variance de la moyenne estimée de ces nouveaux éléments :

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20 Coefficient de détermination ( R 2 ) Mesure de la proportion de la variation de y expliquée par la variation de x.

21 La corrélation non-paramétrique Le coefficient de corrélation linéaire r de Pearson, ainsi que son test de signification, ne sont pas appropriés dans les circonstances suivantes: Si au moins l une des variables est mesurée sur une échelle semi-quantitative (rangs). Si on est intéressé à mettre en évidence toute relation monotone (croissante ou décroissante) entre deux variables quantitatives, et non seulement une relation linéaire. Dans ce cas, on a besoin d une statistique basée sur les rangs. Si on désire tester la signification de la corrélation alors que l une ou l autre des variables n est pas distribuée normalement ou encore, si on ne veut pas se donner la peine de vérifier la normalité des distributions. Lorsque le nombre d observations est très faible.

22 Le r, ou ρ (rhô) de Spearman Si les données sont originellement de nature quantitative, on obtient le r de Spearman de la façon suivante : remplacer les valeurs numériques par des rangs; X Rang de X Y 10,2 1 7,6 10,5 3 7,4 Rang de Y ,1 4 7,2 1 11, on calcule la différence d i entre les rangs 10,3 2 7,9 4 X Rang de X Y Rang de Y d i d i 2 10,2 1 7, ,5 3 7, ,1 4 7, , ,3 2 7,

23 On calcule r s r s = 1 6 n 3 d 2 i n Ici Σd i2 = 18 et r s = 0,48 H 0 : ρ s =0 H 1 : ρ s 0 On compare r s à la valeur de la table de Spearman à r s(0,05,n) ici = 0,886 r s < r s(0,05,6) On accepte H 0

24 La correction pour des rangs ex-aequo est la suivante r s = ( n n) / 6 d t t 3 2 i X Y ( 3 )( 3 ( n n) / 6 2 t ( ) / 6 2 ) X n n ty t XouY = 3 ( ti ti ) 12

25 Corrélation de rang de Kendall Mesure le degré de liaison monotone entre deux variables semi quantitatives aléatoires. Utile lorsque : au moins une des deux variables est semi quantitative la relation recherchée n est pas nécessairement linéaire (mais cependant monotone) les donnés ne se distribuent pas de façon bi normale l effectif de l échantillon est faible Principe : Remplacer chaque valeur de x et y par son rang Classer les n observations en ordre croissant selon la variable x Compter le nombre de paires de rangs qui sont également en ordre pour la variable y Il y a n(n-1) 2 comparaisons à faire

26 Classons les valeurs selon la variable x et remplaçons les par leur rang : Il s agit maintenant de reporter les rangs de y en en tête d un tableau à double entrée et d assigner une valeur de +1 pour chaque intersection en ordre croissant et une valeur de -1 pour chaque intersection en ordre décroissant. Il suffit de traiter la matrice triangulaire supérieure sans la diagonale.

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28 Corrections pour données ex aequo : On assigne des rangs médians aux observations ex aequo On assigne une valeur de 0 aux intersections d observations ayant des rangs égaux en x On assigne une valeur de 0 aux intersections ayant des rangs égaux en y Classons les valeurs selon la variable x et remplaçons les par leur rang : En x : les trois valeurs ex aequo à 18 obtiennent le rang 5 (médiane de {4, 5, 6}) les deux valeurs ex aequo à 41 obtiennent le rang 9.5 (médiane de {9, 10}) En y : les deux valeurs ex aequo à 53 obtiennent le rang 8.5 (médiane de {8, 9})

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30 Ainsi Test de signification du Tau de Kendall Hypothèses, variable auxiliaire et règles de décision :