BACCALAUREAT BLANC DE MATHEMATIQUES SERIE STMG

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1 Lycée l'oiselet Mars 2016 BACCALAUREAT BLANC DE MATHEMATIQUES SERIE STMG Durée de l'épreuve : 3 heures Enseignement obligatoire Les calculatrices sont autorisées La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Le candidat traitera les 4 exercices. L'annexe de la page 5 sera jointe à la copie. Sur l'en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement votre classe. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5 pages.

2 Exercice 1 : 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. 1. La valeur d'une action cotée en Bourse a baissé de 37,5%. Sa valeur a été multipliée par : a) 0,375 b) 1,375 c) 1,625 d) 0, Le prix d'une denrée alimentaire a augmenté le premier mois de 2% puis a baissé le second mois de 10%. Le taux d'évolution global est ( à 0,1% près ) a) 9,2% b) 8,2% c) 0,92% d) 8% 3. La feuille de calcul ci-dessous traduit l'évolution du prix moyen des maisons dans une ville donnée entre 2006 et Elle indique également son indice, avec 100 pour indice de base en Année Valeur ( en euros ) Indice ,5 107,4 108,8 115,8 Le prix moyen des maisons en 2009 vaut : a) b) c) d) On considère l'algorithme suivant : VARIABLES i, n, u ENTREE Saisir n TRAITEMENT u prend la valeur 5 Pour i allant de 1 à n u prend la valeur 0,94 u Fin Pour SORTIE Afficher u Si l'on choisit n = 8, l'algorithme affichera ( à 0,01 près ) a) 3,24 b) 3,05 c) 0,61 d) 0,94 5

3 Exercice 2 : 5 points La mairie d'un petit village a organisé une fête locale. Un certain nombre d'entrées gratuites ont été distribuées aux habitants et des stands ont été installés pour la vente de produits locaux. Les organisateurs estiment que 40% des visiteurs de la fête ont eu une entrée gratuite, les autres ont payé leur entrée. De plus, parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite, 45% ont effectué un achat dans un des stands. Parmi ceux ayant payé leur entrée, 60% n'ont rien acheté. On interroge au hasard un des visiteurs de la fête à la fin de la journée. On note : G l'événement : " le visiteur a eu une entrée gratuite ". A l'événement : " le visiteur a effectué un achat ". On notera G l'événement contraire de G et A l'événement contraire de A. 1. Donner la valeur de la probabilité P G (A). 2. Recopier et compléter sur votre copie l'arbre de probabilité ci dessous. 3. Calculer la probabilité de l'événement suivant : " le visiteur a payé son entrée et a effectué un achat ". 4. Montrer que la probabilité que le visiteur ait effectué un achat est 0, Calculer la probabilité que le visiteur ait payé son entrée sachant qu'il a effectué un achat. On arrondira à 0,01 près le résultat. Exercice 3 : 5 points Un cabinet comptable a réalisé une étude sur l'activité d'une entreprise de livraison de colis à domicile. Une partie des données concerne les bénéfices ( en milliers d'euros ) réalisés chaque année depuis Ces informations sont résumées dans le tableau ci-dessous. Année Rang de l'année : x i Bénéfice en milliers d'euros : y i 10,2 12,8 13,8 14,4 16,7 17,5 1. Déterminer le taux d'évolution global du bénéfice entre 2007 et Arrondir le résultat à 0,01% près. 2. Déterminer le taux d'évolution annue moyen du bénéfice entre 2007 et Arrondir le résultat à 0,01% près. 3. Dans l'annexe 1 à détacher du sujet et à rendre avec la copie, est présenté l'extrait d'une feuille de calcul obtenue avec un tableur. Indiquer une formule à entrer dans la cellule D3 pour obtenir les taux d'évolution d'une année sur l'autre par copier-glisser dans la colonne D. Les données du tableau ci-dessus sont également représentées par le nuage de points en annexe A l'aide de la calculatrice, déterminer pour cette série statistique une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients à 0,01 près. 5. Pour les deux questions suivantes, on prendra comme ajustement affine la droite d'équation y = 1,4 x + 9,4. a. Tracer cette droite sur le nuage de points de l'annexe 1. b. On suppose que cet ajustement restera valide jusqu'en Déterminer le bénéfice en euros que l'on peut prévoir pour l'année 2015.

4 Exercice 4 : 6 points Cet exercice est constitué de deux parties indépendantes l'une de l'autre. Partie A : les économies Afin de constituer un capital, un épargnant place 1000 euros sur un compte non rémunéré et, chaque mois, verse 75 euros sur ce compte. On note u n le montant en euros du capital accumulé au bout de n mois. 1. Calculer u 1, u 2 et u Déterminer la nature de la suite (u n ) en justifiant la réponse. 3. En déduire l'expression de u n en fonction de n. 4. Au bout de combien de temps le capital accumulé est-il supérieur à 3500 euros? Justifier la réponse. Partie B : les dépenses Cet épargnant doit surveiller ses dépenses. En janvier 2014, il a dépensé 660 et, jusqu'à présent, ses dépenses ont augmenté chaque mois de 4%. On suppose que cette évolution va se poursuivre à l'avenir. Cette évolution conduit à modéliser le montant en euros des dépenses mensuelles au cours du n-ième mois après janvier 2014 par le terme v n d'une suite géométrique. Ainsi v 0 = 660. Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centime d'euro. 1. Calculer v 3 et interpréter le résultat. 2. Calculer le montant des dépenses au mois de décembre Selon ce modèle, quand l'épargnant devrait-il doubler ses dépenses par rapport à janvier 2014?

5 Nom, Prénom :.. Classe :.

6 CORRIGE Exercice 1 : 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. 1. La valeur d'une action cotée en Bourse a baissé de 37,5%. Sa valeur a été multipliée par : a) 0,375 b) 1,375 c) 1,625 d) 0, Le prix d'une denrée alimentaire a augmenté le premier mois de 2% puis a baissé le second mois de 10%. Le taux d'évolution global est ( à 0,1% près ) a) 9,2% b) 8,2% c) 0,92% d) 8% 3. Le tableau ci-dessous traduit l'évolution du prix moyen des maisons dans une ville donnée entre 2006 et Il indique également son indice, avec 100 pour indice de base en Année Valeur ( en euros ) Indice ,5 107,4 108,8 115,8 Le prix moyen des maisons en 2009, arrondi à la centaine d euros, vaut : a) b) c) d) On considère l'algorithme suivant : VARIABLES i, n, u ENTREE Saisir n TRAITEMENT u prend la valeur 5 Pour i allant de 1 à n u prend la valeur 0,94 u Fin Pour SORTIE Afficher u Si l'on choisit n = 8, l'algorithme affichera ( à 0,01 près ) a) 3,24 b) 3,05 c) 0,61 d) 0,94 5

7 Exercice 2 : 5 points La mairie d'un petit village a organisé une fête locale. Un certain nombre d'entrées gratuites ont été distribuées aux habitants et des stands ont été installés pour la vente de produits locaux. Les organisateurs estiment que 40% des visiteurs de la fête ont eu une entrée gratuite, les autres ont payé leur entrée. De plus, parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite, 45% ont effectué un achat dans un des stands. Parmi ceux ayant payé leur entrée, 60% n'ont rien acheté. On interroge au hasard un des visiteurs de la fête à la fin de la journée. On note : G l'événement : " le visiteur a eu une entrée gratuite ". A l'événement : " le visiteur a effectué un achat ". On notera l'événement contraire de G et l'événement contraire de A. 1. Donner la valeur de la probabilité P G (A). P G (A) = 0,45 2. Recopier et compléter sur votre copie l'arbre de probabilité ci dessous. 0,45 0,4 0,6 0,55 0,4 3. Calculer la probabilité de l'événement suivant : " le visiteur a payé son entrée et a effectué un achat ". Par lecture de l arbre, P(G A) = 0,6 0,4 = 0,24 4. Montrer que la probabilité que le visiteur ait effectué un achat est 0,42. Par lecture de l arbre, P(A) = P(G A) + P(G A) = 0,4 0,45 + 0,24 = 0,42 5. Calculer la probabilité que le visiteur ait payé son entrée sachant qu'il a effectué un achat. On arrondira à 0,01 près le résultat. Il s agit dans cette question de calculer P A (G ). 0,6 P A (G ) = P(A G ) P(A) ; P A (G ) = 0,24 0,42 ; P A(G ) 0, 57

8 Exercice 3 : 5 points Un cabinet comptable a réalisé une étude sur l'activité d'une entreprise de livraison de colis à domicile. Une partie des données concerne les bénéfices ( en milliers d'euros ) réalisés chaque année depuis Ces informations sont résumées dans le tableau ci-dessous. Année Rang de l'année : x i Bénéfice en milliers d'euros : y i 10,2 12,8 13,8 14,4 16,7 17,5 1. Déterminer le taux d'évolution global du bénéfice entre 2007 et Arrondir le résultat à 0,01% près. T global = 17,5 10,2 10,2 ; T global 0,7157 entre 2007 et 2012, le bénéfice a augmenté de 71, 57% 2. Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du bénéfice entre 2007 et Arrondir le résultat à 0,01% près. t moyen = CM global 1 n ; t moyen 1, ; t moyen 0,1140 entre 2007 et 2012, le bénéfice a augmenté en moyenne de 11, 10% par an 3. Dans l'annexe 1 à détacher du sujet et à rendre avec la copie, est présenté l'extrait d'une feuille de calcul obtenue avec un tableur. Indiquer une formule à entrer dans la cellule D3 pour obtenir les taux d'évolution d'une année sur l'autre par copier-glisser dans la colonne D. = (C3 C2) / C2 en mettant la cellule est au format pourcentage Les données du tableau ci-dessus sont également représentées par le nuage de points en annexe A l'aide de la calculatrice, déterminer pour cette série statistique une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients à 0,01 près. Une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième, est : y = 1, 39x + 9, Pour les deux questions suivantes, on prendra comme ajustement affine la droite d'équation y = 1,4 x + 9,4. a. Tracer cette droite sur le nuage de points de l'annexe 1. b. On suppose que cet ajustement restera valide jusqu'en Déterminer le bénéfice en euros que l'on peut prévoir pour l'année est l année de rang 9. par le calcul : on remplace x par 9 dans l équation de la droite d ajustement ; on obtient : y = 1, ,4 : y = 22. Ou par lecture graphique : on lit l ordonnée du point de la droite d ajustement qui a pour abscisse 9 (pointillés rouges sur l annexe): on trouve : y = 22. On peut prévoir un bénéfice de 22 milliers d euros pour l année 2015.

9 Exercice 4 : 6 points Partie A : les économies Afin de se constituer un capital, un épargnant place 1000 euros sur un compte non rémunéré et, chaque mois, verse 75 euros sur ce compte. On note u n le montant en euros du capital accumulé au bout de n mois. Ainsi u 0 = Calculer u 1, u 2 et u 3. u 1 = 1075 ; u 2 = u 2 = 1150 ; u 3 = u 3 = Déterminer la nature de la suite (u n ) en justifiant la réponse. Chaque moi, on ajoute 75 au capital. Donc dans la suite (u n ), pour passer d un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre : 75. Cela signifie que la suite (u n ) est une suite arithmétique, de raison 75 et de premier terme u 0 = En déduire l'expression de u n en fonction de n. On a donc : u n = u 0 + nr, ce qui donne ici : u n = n. 4. Au bout de combien de temps le capital accumulé est-il supérieur à 3500 euros? Justifier la réponse. Pour répondre à cette question : soit on programme la suite dans la calculatrice ; on relève u 33 = 3475 < 3500 et u 34 = 3550 > 3500, ce qui nous permet de conclure que c est au bout de 34 mois que le capital accumulé est pour la première fois supérieur à soit on résout l inéquation : n 3500 qui équivaut successivement à : 75n 2500 n Or ,3 donc là encore, on conclut que c est au bout de de 34 mois que le capital accumulé est pour la première fois supérieur à Partie B : les dépenses Cet épargnant doit surveiller ses dépenses. En janvier 2014, il a dépensé 660 et, jusqu'à présent, ses dépenses ont augmenté chaque mois de 4%. On suppose que cette évolution va se poursuivre à l'avenir. Cette évolution conduit à modéliser le montant en euros des dépenses mensuelles au cours du n-ième mois après janvier 2014 par le terme v n d'une suite géométrique. Ainsi v 0 = 660. Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centime d'euro. 1. Calculer v 3 et interpréter le résultat. Augmenter de 4% revient à multiplier par 1,04 la suite (v n ) est la suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme v 0 = 660. On a donc v n = v 0 q n ce qui donne v n = 660 1,04 n. Pour n = 3, on obtient : v 3 = 660 1,04 3 v 3 742, 41. interprétation : en avril 2014, l épargnant dépense 742, Calculer le montant des dépenses au mois de décembre Décembre 2014 correspond à n = 11. v 11 = 660 1,04 11 v ,04 en décembre 2014, le montant des dépenses sera de 1016, Selon ce modèle, quand l'épargnant devrait-il doubler ses dépenses par rapport à janvier 2014? = On programme la suite dans la calculatrice ; on relève v ,61 < 1320 et v ,07 > 1320, ce qui nous permet de conclure que c est au bout de 18 mois, soit en juillet 2015, que l épargnant devrait doubler ses dépenses par rapport pour la première fois par rapport à janvier 2014.

10 Nom, Prénom :.. Classe :. 10