GENERALITES SUR LES FONCTIONS

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1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS I. Notion de fonction numérique : 1 1) Définition, notations et vocabulaire : Soit D une partie de l'ensemble des réels. Lorsqu'à un réel x de D on associe un réel y, on définit une fonction sur l'ensemble D. La fonction f est " la machine " qui permet de transformer x en y. Une fonction est en général notée f, g, h Le réel y associé au réel x par la fonction f est noté f(x). C'est l'image de x par f. Le réel x a qui l'on associe le réel y par la fonction f est l'antécédent de y par f. La phrase " f est la fonction qui à x associe f (x) ou y " s'écrit f : x f ( x ) ou f : x y ou y = f (x). f (x) est l'image de x par la fonction f. L'ensemble D sur lequel est définie la fonction f est appellé ensemble de définition de f. Les réels x appartenant à D sont des variables. Exemple : f(5) = 8 8 est l'image de 5 par f 5 a pour image 8 par f 5 est un antécédent de 8 par f 8 a un antécédent qui est 5 par f. 2) Calculs d'images et d'antécédents : Pour calculer l'image d'un réel a par une fonction f, on calcule f (a) c'est-à-dire que l'on remplace, dans l'expression de f, tous les x par le nombre a. Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 5x² 3 2 x + 8. Calculer f( 6 ) ou calculer l'image de 6 par f. f (-6) = 5 ( 6)² 3 2 ( 6) + 8 = = 197. Pour calculer les éventuels antécédents d'un nombre b par la fonction f, il faut résoudre l'équation f (x) = b. Les solutions de cettte équation sont les antécédents de b. Exemple : Calculer les antécédents de 8 par la fonction f. Il faut résoudre f (x ) = 8 5x² 3 2 x + 8 = 8 5x² 3 2 x = 0 x ( 5x 3 2 ) = 0 x = 0 ou 5x 3 2 = 0 x = 0 ou x = = 3 10 Les antécédents de 8 sont 0 et 3 10.

2 3) Détermination de l'ensemble de définition d'une fonction f : Reprenons l'exemple du début : f(x) = 70 ; g(x )= 0,4 x ; h(x)= 0,2 x + 25 Dans cet exemple x était une longueur donc un réel positif ou nul. On dira donc que les fonctions f, g et h ne sont définies que pour des réels positifs. On dira que leur ensemble de définition est [ 0 ; + [. 2 Autre exemple : La fonction carré f(x) = x². Quelque soit le réel x, on peut toujours calculer x² donc l'ensemble de définition de la fonction carré est IR. Dans la plupart des cas, l'ensemble de définition d'une fonction sera IR. EXCEPTIONS : Si l'expression de la fonction comporte une fraction 2x Exemple : g(x) = 5x 3 On ne pourra pas calculer g(x) si on obtient un 0 au dénominateur. Il faut donc trouver les valeurs qui annule le dénominateur. Il faut donc résoudre l'équation 5x 3 = 0 x = n'a pas d'image par g. On dit que c'est une valeur interdite pour la fonction g 5 et elle ne doit pas faire partie de l'ensemble de définition. On écrira D g = ] ; 3 5 [ ] 3 5 ; + [ = IR \ { 3 5 } Si l'expression de la fonction comporte une racine carrée Exemple : h(x) = 3 2x On ne pourra pas calculer h(x) si on obtient un nombre négatif sous le radical. Il faut donc résoudre l'inéquation 3 2x 0 x Seuls les réels inférieurs ou égaux à 3 2 ont une image par h. On écrira D h = ] ; 3 2 ] 3 2

3 II. Courbe représentative d'une fonction numérique : 1) Repère du plan : 3 Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine ; l'axe des abscisses est "horizontal", l'axe des ordonnées est "vertical". Chaque point du plan est repéré par deux nombres relatifs appelés coordonnées du point. Le premier nombre cité est toujours l'abscisse et le second l'ordonnée. Un repère orthonormal est un repère orthogonal ayant la même unité sur chaque axe. 2) Définition de la courbe représentative d'une fonction : Soit f une fonction définie sur un ensemble D f. On appelle courbe représentative de f l'ensemble des points M du plan de coordonnées ( x ; f (x) ). On écrira C f = { M ( x ; y ) avec x D f et y = f (x) } On dira que l'équation de C f est y = f (x).

4 3) Courbe représentative d'une fonction : Une fonction f n'est pas forcément définie par un calcul, elle peut, par exemple, être définie par une courbe représentative. Un réel x n'a qu'une seule image possible par une fonction f. Cette caractéristique permet de savoir si une courbe est la représentation graphique d'une fonction ou non.. 4 Les courbes des figures 2, 3, 4 et 6 représentent des fonctions. Sur la courbe de la figure 1, 1 a deux images : 2 et 4 donc ce n'est pas la courbe d'une fonction. Sur la courbe de la figure 5, 1 a deux images : 1 et 1 donc ce n'est pas la courbe d'une fonction. Un réel y peut avoir plusieurs antécédents par f. Il peut aussi n'en avoir aucun. 4) Construction de la courbe représentative d'une fonction f : a) Le tableau de valeurs : Pour construire la courbe représentative d'une fonction on peut utiliser une construction point par point avec un tableau de valeurs. Ce tableau de valeurs peut être fait grâce à la calculatrice. Exemple : Construire la courbe représentative de la fonction f définie par f (x) = 3x² 5. x f (x) b) Le tracé à l'aide de la calculatrice graphique : On peut aussi demander à la calculatrice de tracer la courbe. Reprendre l'exemple et le tracer sur la calculatrice. c) Remarque : Si le point A de coordonnées ( -2 ; 7 ) appartient à la courbe représentative de la fonction f cela signifie que : f (-2) = 7 ou que l'image de -2 par f est 7 ou que 7 est l'antécédent de -2 par f. Remarque : Si une fonction est définie par une courbe représentative, on pourra lire l'ensemble de définition sur la graphique : il suffira de regarder, sur l'axe des abscisse, l'intervalle sur lequel est représentée la fonction.

5 Exemple : D f = [ 6 ; 8 [ 5) Lecture d'images et d'antécédents sur une courbe : a) Pour lire l'image d'un réel il faut : Chercher ce réel sur l'axe des abscisses Tracer la parallèle à l'axe des ordonnées passant par cette abscisse Lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite précédente avec la courbe. b) Pour lire les antécédents d'un réel il faut : Chercher ce réel sur l'axe des ordonnées Tracer la parallèle à l'axe des abscisses passant par cette ordonnée Lire les abscisses des points d'intersection de la droite précédente avec la courbe. Exemple : Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-10 ;10] et représentée par le graphe ci-dessous: Trouver l'image de 0 et de 6. L'image de 0 est 6 L'image de 6 est 3 Trouver les antécédents de 0, de 2 et de 9 Les antécédents de 0 sont 8, 3,9 et 2,9. Les antécédents de 2 sont 7, 4,9 et 3,1 9 n'a pas d'antécédent par f.

6 6 6) Tracés de quelques fonctions de référence : a) f(x) = 5 D f = IR. f est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite passant par les points ( 0 ; 5 ) et ( 3 ; 5 ) par exemple. C'est donc une droite parallèle à l'axe des abscisses. Tous les points de cette droite ont la même ordonnée donc on dira que l'équation de cette droite est y = 5. b) g(x) = 2x D g = IR. g est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par les points ( 0 ; 0 ) et ( 3 ; 6 ) par exemple. Cette droite passe par l'origine du repère et a pour coefficient directeur 2. c) h(x) = 3 x + 4 D h = IR h est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite passant par les points ( 0 ; 4 ) et ( 2 ; 2 ) par exemple. Cette droite a pour coefficient directeur 3 et pour ordonnée à l'origine 4. d) k(x) = x² D k = IR. k est la fonction carré. Sa représentation graphique est une parabole de sommet O ( 0 ; 0 ). x k(x)

7 7 e) m(x) = 1 D x f = IR \ { 0 } = IR * m est la fonction inverse. Sa représentation graphique est une hyperbole. x ,8 0,5 0,25 0,25 0,5 0, l(x) 0,25 0,5 1 1, ,25 1 0,5 0,25 f) n(x) = x 3 D k = IR. n est la fonction cube. Sa représentation graphique est une courbe passant par O ( 0 ; 0 ). x k(x)

8 8 g) p(x) = x D f = [ 0 ; + [ m est la fonction racine carrée. Sa représentation graphique est une courbe. x l(x)