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1 Faculté des sciences de Rabat Filière S.M.P Module de Physique 7 Notes de cours «Ondes et Vibrations» Partie II : Propagation des Ondes A. Sabir

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4 INTRODUCTION 4

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6 - Une particule n occupe à chaque instant qu un seul point de l espace. Les équation du mouvement de la particule sont des équations différentielles par rapport au temps - Alors qu une onde est caractérisée par son amplitude S(r, t), définie en tout point de l espace-temps. A chaque instant l onde est présente en plusieurs points de l espace -Le lieu des points où l amplitude S(r, t) de l onde prend simultanément une même valeur est la surface d onde. -La surface d onde se déplace en bloc au cours du temps. Ce déplacement est régit par des équations dites équations de propagation - Les équations de propagation font intervenir les dérivées de l amplitude S(r,t) par rapport aux trois coordonnées d espace et à celle du temps 6

7 2. Différents types d ondes a Les ondes planes : La grandeur S(r, t) qui se propage possède à chaque instant la même valeur en tout point d un plan perpendiculaire à la direction de propagation X Plan d onde Direction de propagation x b Les ondes longitudinales: La grandeur S(r, t) a une seule composante qui est la direction de propagation x x X Sx X S = (S x, 0, 0) 7

8 C- Les ondes transversales: la grandeur physique n a pas de composante selon la direction de propagation x S x d Les ondes progressives: la grandeur physique S se propage dans une direction. Il n y a pas d ondes dans le sens opposé e- Les ondes stationnaires: la grandeur physique S ne se propage pas mais son amplitude dépend de la position f Ondes planes polarisées - rectilignement: ( ex : S x =0, S y 0, S z =0) - circulairement: ex : S x =0, S y 0, S z 0 avec S y ²+ S z ²= cte - elliptiquement: ( ex : S x =0, S y 0, S z 0 avec as y ²+ bs z ² = cte 8

9 Équation de Propagation 9

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11 2- Mise en équation 11

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13 r r r m. ψ &&. i = K( ψ ψ ) i + K( ψ ψ ) i n n 1 n n+ 1 n O n in tr o d u it la p u ls a tio n ω = r ψ && + ω ψ ω ψ ψ = 2 2 n 2 o. n o ( n 1 n+ 1) i 0 o K m (1) Méthode de Résolution : De manière classique on pourrait considérer que les solutions de cette équation différentielle du second ordre sont de la forme exp ( jωt ) et on aurait à résoudre un système de n équations Mais dans le cas des atomes dans les matériaux, on peut faire l approximation d un nombre infini d atomes et on peut alors passer d une description discontinue à une description continue 13

14 Passage de la description discrète à la description continue: Soit L la longueur totale de la chaine d atomes. Étant donné le nombre infini d atomes, la distance dx entre deux atomes voisins est très petite : dx = a << L On peut donc établir les correspondances suivantes : ψ ( t n ) ψ( x, t) ψ && ( t ) ψ && ( x, t ) n ψ( x, t) ( dx) ψ ( t ) ψ( x dx, t) = ψ( x, t) dx + x 2 ψ( x, t) ( dx) ψ ( t ) ψ ( x + dx, t) = ψ ( x, t) + dx + x 2 ψ x ψ x 2 2 n n

15 En remplaçant dans l équation (1) on obtient : 2 2 ψ ( x, t ) 2 2 ψ ( x, t ) ( a ω ) 0 2 o = 2 t x La dimension de a est L ( longueur), celle de ω o est rad.s -1 par conséquent la dimension de ( a ω o ) est celle d une vitesse. en posant : V = ( a ω o ) l équation s écrit : (2) 2 2 ψ ( x, t) 1 ψ ( x, t) = x V t 0 (3) C est l équation de propagation de l onde qui se propage le long de la chaine d atomes 15

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17 7 - Généralisation 7-1) Propagation : On dit qu une grandeur S se propage si sa valeur au point (r o,t o ) se retrouve au point ( r,t ) avec un décalage dans le temps proportionnel à la différence des abscisses (t t o) = (r r r o) c S(r,t ) = S(r o,t o ) avec 1 Remarques o o On exclue de cette définition le déplacement d un point matériel à vitesse constante sur l axe Ox La propagation de la grandeur S ne s accompagne pas forcément d un déplacement de matière à la même vitesse (l avion et son bruit par exemple) 17

18 Considérons la propagation sur un axe (Ox) S(x, t) = S(x o, t o ) 1 x x c c c x x o a t o = t - + c c o (t - t o ) = (x - x o ) S(x, t) = S(x o, t - + ) Pour (x o ; t o ) fixe ( par exemple (x o = 0 ; t o = 0) ) on a : x S(x, t) = f(t - ) c x/c doit être homogène à un temps. La constante c à donc la dimension d une vitesse. C est la vitesse de propagation ou célérité. 18

19 Remarques S(x,t x,t), fonction à deux variables indépendantes, devient une fonction à une variable ( t x/c) à cause de la propagation S(x, t) se propage à vitesse constante dans la direction des x croissants : f(t - x/c) est une onde progressive. A t quelconque f(t x/c ) à la même valeur dans tout le plan x = Cte, c'est-à- dire que tous les points du plan vibrent avec la même amplitude : l onde progressive S(x,t) est plane 19

20 7-2) Équation de propagation Considérons S(x, t) = f( t x/c) = f(u) avec u = ( t x/c ). On a S df(u) df(u) du 1 = =. = f ' x dx du dx c 2 S = 1 f ' = 1 df ' u = x c x c du x c f " 2 S df(u) df(u) u S = = = f '(u) = f "(u) 2 t dt du t t 2 2 S 1 S = 2 2 x c ² t 20

21 Dans un espace à trois dimensions cette équation s écrit : 2 ². S = 1 S c ² t 2 Équation de D Alembert avec : ² = + + ( ².S est le Laplacien de la fonction S) x y z Interprétation : Une grandeur S, fonction deux fois dérivable des coordonnées d espace et de temps qui satisfait à l équation de propagation de d Alembert est appelées«onde» Remarque : Le phénomène de propagation est dit «non dispersif» si la célérité c est indépendante de la fréquence 21

22 8- Solutions de l équation de propagation Il n est pas possible de résoudre directement l équation de propagation 2 2 S 1 S = x c ² t Mais comme il s agit d une équation linéaire par rapport à la fonction S, toute combinaison linéaire de solutions linéairement indépendantes est aussi une solution D où l intérêt de chercher des solutions de forme particulière 22

23 8-1) Solution en Ondes Planes Progressives ( OPP) Rappel On a une onde plane quand S prend une même valeur en tout point d une surface perpendiculaires à la direction de propagation Exemple: Soit S( t, x, y, z). Si S ne dépend que de t et x elle a même valeur dans des plans perpendiculaires à Ox et on a : S(x,t) = f(t x/c) Une onde est plane s il est possible de trouver des axes de coordonnées cartésiennes telles que S ne dépende que d une seule coordonnée d espace ( x par exemple) et du temps 23

24 Si l onde se propage dans une direction de vecteur unitaire n = (n x,n y,n z ) on a : z r n M π n n x x r r n n e t r y n y z z y x r L ' équation du plan π perpendiculaire à n est : r r x. n + y. n + z. n = Cte. Soit : n. r = Cte x y z D où S r r r n.r ( r,t) = f ( t ) c 24

25 L équation de d Alembert : S 2 S S S S = avec S = c² t x y z devient pour l onde plane : S 1 S S S = puisque = = x c² t y z En effectuant le changement de variable suivant : u = ( t x/c ) et v = ( t + x/c ) cette équation devient : u 2 S v = 0 Dont la solution est: S = f(t x/c) + g(t + x/c) 25

26 Conclusion : La solution générale en ondes planes de direction donnée est la superposition de deux ondes planes progressives de forme quelconque et se propageant en sens inverse Pour une direction de propagation quelconque de vecteur unitaire n : r r r n. r n. r S ( r, t) = f(t - ) + g (t + ) c c où f et g sont des fonctions arbitraires d une seule variable et deux fois dérivables 26

27 Signification de S, f et g Considérons ce qui se passe sur une longue corde parfaitement souple quand on produit une déformation à son extrémité.. la déformation est perpendiculaire à la direction de propagation: l onde qui se propage est une onde transversale L onde se propage dans une seule direction: c est une onde progressive S(x, t) est la distance d un point M de la corde à sa position d équilibre 27

28 à t 1 à t 2 S X = v. t M M S(x 1, t 1 ) S(x 2, t 2 ) X X 1 X 2 Le signal S(x, t) se propage. === Il est donc le même à l instant t 1 en x 1 qu à l instant t 2 en x 2 avec ( t 2 > t 1 ) Soit : f( t 1 x 1 /v) = f(t 2 x 2 /v) Ceci nécessite que ( t 1 x 1 /v) = (t 2 x 2 /v) === (x 2 x 1 )= v(t 2 t 1 ) >0 x 2 > x 1 La fonction f(t x/v) correspond donc à un signal qui se propage dans le sens des x positifs 28

29 De même, Pour que g(t 1 + x 1 /v) = g (t 2 + x 2 /v) on doit avoir ( t 1 + x 1 /v) = (t 2 + x 2 /v) (x 2 x 1 )= v(t 1 t 2 ) < 0 ) < 0 x 2 < x 1 La fonction g(t + x/v) correspond à un signal qui se propage dans le sens des x négatifs Remarque : l équation de propagation étant linéaire par rapport à la fonction S, toute combinaison linéaire de solutions est aussi solution S = λ f + α g M M M t1 t2 t3 x1 x2 x3 29

30 Représentation de fourrier d une OPP: r r r u.r Soit une onde progressive S(r, t) = f(t - ) c a) Si f est une onde périodique : r r r r u.r u.r f(t - ) = a 0 + a n cos ω + ϕ c n. (t ) n = c n 1 r n. ω r En posant k n = u c r r u.r r r f(t - ) = a 0 + a n cos( n. ω. t k n.r + ϕ n ) c n = 1 f est donc une somme d ondes sinusoïdales de fréquence multiples de celle de f 30

31 b) Si f n'est pas périodique : elle est représentable par une intégrale de Fourrier r r r r u.r u.r f(t - ) = α( ω) cos.(t ) ( ).d c 0 ω + ϕ ω ω c r ωr En posant k = u c r r u.r r r f(t - ) = α(ω)cos ω.t - k n.r + ϕ( ω).dω c 0 f est la somme de fonctions sinusoïdales d'amplitude α( ω) de pulsation ω et de phase à l'origine ϕ(ω) 31

32 8-2) Solution en Ondes Planes Harmoniques ( OPPH) Importance: Nous venons de voir que toute onde plane peut-être décomposée en combinaison linéaire d ondes planes sinusoïdales A l origine O, la grandeur S associée à l onde s écrit : S(O,t O,t) = A cos ( ωt + ϕ ) Si l onde se propage dans la direction Ox : S( x, t) = A cos [ω ω (t - x/c) + ϕ] Si l onde se propage dans la direction n : r r r n.r S(, t) = A cos ω (t ) + c ϕ 32

33 Introduisons le vecteur d onde r ω r k = n c r rr S(r,t) = A cos + ωt k.r ϕ r r + ω t k.r ϕ est la phase de l onde et ω = k.c la relation de dispersion Remarques sur la relation de dispersion La relation de dispersion est linéaire si et seulement si l équation d onde est une équation de d Alembert Pour trouver la relation de dispersion on injecte l expression d une OPPH dans l équation d onde Quand l équation d onde n est pas une équation de d Alembert on cherche la solution sous la forme d une OPPH en notation complexe: S(x,t) S e S e i( ωt k.x) iϕ = o avec S o = o 33

34 Le vecteur d onde peut-être complexe: k 1 est le facteur de propagation ( norme du vecteur d onde) k 2 est le facteur d atténuation ( k 2 >0 ). Il traduit l atténuation du milieu dans lequel l onde se propage Soit : o k = ( k S(x,t) = S e.e ω -k x i( t k.x) 2 1 i. k ) 1 2 Une telle onde s atténue dans la direction de k 2. Le milieu dans lequel elle se propage est donc dissipatif. On dit qu il y absorption. Cas extrême : le vecteur d onde est un imaginaire pur. On a une onde évanescente soit, en réel : S ( x, t ) = S e.e -k 2 x iω t -k x S(x,t) = S. e 2 cos ωt L onde évanescente ne se propage pas ( l espace et le temps sont découplés) o o 34

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37 Déphasage de l onde: Le signal en x 2 à l instant t 2 est décalé par rapport au signal qui était en x 1 à l instant t1 de (t 2 t 1 ) /T = (x 2 - x 1 )/c.t = (x 2 - x 1 )/λ Le déphasage entre les deux signaux est donné par : Φ = Φ 1 Φ 2 = k ( x 2 - x 1 ) = 2π (x 2 - x 1 ) / λ - Si (x 2 - x 1 ) est un multiple de λ les deux signaux apparaissent identiques - si on désigne par δ la distance parcourue par l onde entre deux points x 1 et x 2 le déphasage de onde est : Φ = 2π.δ / λ l onde est : - Notation complexe: on pose r S(r,t) r + r r = = R r r i( ωt k.r ϕ ) S(r,t) Soe S(r,t) e S(r,t) est la grandeur complexe instantanée. Elle dépend du temps et de l'espace. On introduit l'amplitude Complexe ( qui ne dépend que de l'espace) : r r A(r ) = S e S(r,t) = e r r i(-k.r + ϕ ) r iωt o A(r ). 37

38 Conclusion La solution générale de l équation de propagation en ondes planes de direction donnée est une superposition d ondes sinusoïdales d amplitudes et fréquences quelconques se propageant soit dans un sens soit dans l autre Paquet d onde: Lorsque les ondes composantes se propagent toutes dans le même sens, on dit qu elles constituent un groupe ou paquet d ondes Ces composantes forment alors soit la fonction f(t - u.r/c) soit la fonction g( t + ur/c) Train d onde: Si les ondes sinusoïdales sont définies sur un intervalle borné de (t - u.r/c) et nulles ailleurs, on dit qu il s agit d un train d ondes 38

39 8-3) Solution en Ondes Planes Stationnaires ( OPS) Définition: Ce sont des ondes pour lesquelles la grandeur S(r,t) peut s écrire: Equation de propagation : 2 S(x,y,z,t) = g(x,y,z x,y,z). f(t) Ces ondes ne se propagent pas: (la variation de S en x est indépendante de celle en t) S S = 2 c² 2 f "( t) g 1 g( x, y, z). f ( t) = g ( x, y, z). f "( t) soit = c². c² f ( t) t Les coordonnées d'espace et le temps étant des variables indépendantes g on a : f "( t) f ( t) = cte = 2 g = = C (a) et cte C (b) g 39

40 . Premier cas : C<0 On pose C= - ω² (a) f" + ω².f = 0 f(t) = a cos( ω.t + ϕ ) ω (b) en posant k = : ( g + k²g ) = 0 c Dans le cas des ondes planes, c'est à dire pour g(x,y,z) g(x) cette équation s'écrit : g" + k².g g(x ) = b cos(k.x +ψ ) La solution de l'équation de propagation est donc : S(x, t) = A cos(kx + ψ).cos( ω t + ϕ) En chaque point S(x,t) varie sinusoïdalement en fonction du temps 40

41 Nœuds : Ce sont les points de l espace pour lesquels l amplitude est nulle. Il sont tels que: 1 k.x + ψ = (n + ) π (n entier) ψ λ x = (n ) n n k + π ψ = π 2 (Position des noeuds d'oscillation de l'onde stationnaire) λ Les noeuds sont équidistants de 2 Ventres: Ce sont les points de l espace où l amplitude est maximale Ils sont tels que : ψ λ k.x + ψ = n. π x = (n ) V π 2 λ Les ventres sont équidistants de. 2 41

42 Remarque 1 : S(x,t) peut aussi s écrire A A S(x, t) = cos( ωt kx + ϕ ψ ) + cos( ω t + kx + ϕ + ψ) 2 2 L onde stationnaire peut-être considérée comme la superposition de deux ondes sinusoïdales progressives de même pulsation et de même amplitude, se propageant en sens contraire Remarque 2 : Inversement, une onde sinusoïdale progressive est la superposition de deux ondes stationnaires en quadrature. Car : S o cos(ωt - k.x + ϕ) ) = S o cos( k.x - ϕ) ) cos(ωt) + S o sin(k.x - ϕ).sin( ).sin(ωt) Conclusion: La solution de l équation de propagation en onde plane de direction donnée est une superposition d ondes stationnaires sinusoïdales 42

43 9- Influence de la dispersion: 9-1) Vitesse de phase Définition: la vitesse de phase V ϕ d une onde harmonique est la vitesse à laquelle il faut se déplacer dans le sens de la propagation, pour que la phase reste constante. S(x,t x,t) = S o cos(ω. ω.t k.x + ϕ) ) = So cosθ. Si la phase θ reste constante au cours du temps: dθ/dtdt = 0 dθ dx ω = ω k( ω ). = ω k( ω )Vϕ = 0 Vϕ = dt dt k( ω ) 43

44 Remarque 1: Dans le cas général k(ω) n est pas nécessairement linéaire en ω. La vitesse de phase Vϕ peut dépendre de ω. Le milieu de propagation est dit «dispersif». Remarque 2: Si le milieu est dispersif les différentes harmoniques qui composent l onde n ont pas la même vitesse de phase: L onde plane se déformera au cours de sa propagation. Remarque 3: On appelle relation de dispersion la fonction k(ω) qui représente la variation du nombre d onde en fonction de la pulsation. La vitesse de phase Vϕ sera celle de l onde harmonique de fréquence égale à la fréquence moyenne des ondes constitutives de l onde physique 44

45 9-2) Vitesse de groupe Définition: Dans la propagation du signal, le point d amplitude maximal c est à dire celui ou les ondes harmoniques se groupent pour former l onde physique se déplace à la vitesse de groupe Vg Exemple simple Soient deux OPPH de même amplitude et de pulsation respectives (ω ω)) et ( ω + ω ) voisines. Leur superposition est: Alors : [ ] [ ] S( x, t) = S.cos ( ω+ ω ) t ( k + k) x + S cos ( ω ω ) t ( k k ) x o S( x, t) = 2S cos( ω. t k. x)cos( ωt k. x) o o 45

46 ω << ω,, c est donc le terme cos( ω. t k. x) qui module en amplitude l onde S cos( ωt kx) o C est ce terme qui contient l information c est-à-dire qui indique de quelle façon l onde est modulée. façon l onde est modulée. La vitesse de phase de ce terme ( ω/ k ) est donc la vitesse de groupe de l onde v g = ω kk y x 2 Remarque : quand la vitesse de phase est indépendante de ω,, alors V g =V ϕ 46

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50 Applications I) Onde élastique le long d un ressort II) Equation des cordes vibrantes III) Ondes Sonores 50

51 I - Onde élastique le long d un ressort Un ressort de masse m, de longueur L et de raideur k,, est le lieu de propagation d une onde de déplacement On veut établir l équation différentielle caractéristique de cette propagation L Démarche : On considère une tranche infiniment mince du ressort d épaisseur dx, et d abscisse x et de raideur K. La raideur d un ressort étant inversement proportionnelle à sa longueur K = k.(l/dx) 51

52 Au passage de l onde, cette tranche se déplace. F 1 x x+dx F 2 x M 1 M 2 y(x,t) M 1 M 2 y(x+dx,t) - Le point M 1 se retrouve en M 1 et on pose M 1 M 1 = y(x,t) - La face avant du ressort ( point M 2 d abscisse (x +dx) ) se déplace de M 2 M 2 = y(x + dx, t) 52

53 Les déplacements étant petits on peut faire une approximation au second ordre et écrire: L allongement de la tranche dx est donc: Cet allongement exerce : M M y x dx t y x t ' 2 2 = ( +, ) (, ) +.dx dy l= y( x+ dx, t) y( x, t) =.dx dx dy dx -- une force F + 1 suivant Ox sur la partie du ressort à gauche de dx telle que r dy L dy dy F1 = K. l = K dx = ( k. )..dx = k. L. dx dx dx dx x x x - une force F2 suivant Ox - sur la partie du ressort à droite de dx, telle que r dy F2 = k. L dx x + dx 53

54 La tranche (dx) subit donc de la part des parties gauche et droite l opposé de ces forces, soit la force totale: r 2 dy dy d y F = k. L = k. L. dx 2 dx x + dx dx x dx La relation fondamentale de la dynamique donne, en négligeant le poids: d y d y d y µ d y µ.dx. = k. L.dx = dt dx dx k. L dt L onde longitudinale se propage dans le ressort suivant une équation de d Alembert,, avec une célérité c donnée par : c = k. L µ Remarque: La célérité augmente avec la raideur du ressort et avec sa longueur à vide 54

55 Energie cinétique et énergie potentielle élastique du ressort Energie cinétique: 1 = avec = µ. et = 2 2 Ec v dm dm dx v µ L dy soit Ec =. dx 2 0 dt Energie potentielle 2 dy dt 2 2 L 2 L dy L dy..( l)..dx..dx 1 1 de p = k = k = k 2 dx 2 dx dx 2 dx E p = de p E p = kl 2 dy dx 2.dx 55

56 II - Équation des cordes vibrantes On considère une corde homogène et inextensible, de masse linéique µ, tendue horizontalement, avec une tension T constante. Le mouvement de la corde est décrit par le déplacement quasi vertical y(x,t) d un point M d abscisse x y T(x,t) Corde en mouvement M y(x,t) x θ(x,t) Corde au repos 56

57 On considère l élément de corde compris entre les abscisses x et x+dx M T(x,t) θ(x,t) N T(x+dx,t) θ(x+dx,t) y(x,t) y(x+dx,t) L élément de corde MN de longueur dx est soumis à 3 forces : - son poids dp = dm.g = µ.dx.g. - la force Fg tangentielle exercée en M par la partie gauche de la corde. - Fg = - T(x, t ) (d après le principe de l action et de la réaction) - La force Fd tangentielle exercée en N par la partie droite de la corde: Fd = + T(x + dx, t ) 57

58 Le P.F.D appliqué à la tranche MN s écrit : dm.a = dm.g + F g + F d Soit : µ. dx. a = - T(x,t) + T( x + dx, t ) a) projection sur Ox : T ( x, t)cos θ ( x, t) + T( x + dx, t).cos θ ( x + dx, t) = 0 Puisque θ faible, cos θ = 1 : T(x,t) = T(x + dx, t) = T Le module de la tension est constant le long de la corde 58

59 b) Projection sur Oy: 2 y T.sin θ ( x, t) + T.sin θ ( x + dx, t) = µ. dx. 2 t Soit : 2 d (sin θ) y T. dx = µ.dx. 2 dx t dy δ(sin θ) or puisque θ faible : sin θ tgθ = = dx δ x dx 2 d y 2 On obtient : T y y y 1 y. = µ. = x t x c t Le déplacement transversal y(x,t) obéit à l équation de d Alembert de célérité : C = T µ 59

60 La solution en onde plane progressive sinusoïdale de cette équation est de la forme: x y ( x, t ) = a.sin ω( t ) c La vitesse transversale d un élément de corde d abscisse x est : dy x v = = a. ω. cos ω ( t ) dt c La vitesse transversale maximale d un élément de corde vibrante est : 2π ω = k. c = c λ v max 2πa T = λ µ 60

61 c) Cas ou le poids n est pas négligeable: Si le poids de la corde n est pas négligeable devant les forces de tension, la relation de projection sur l axe verticale Oy devient: 2 y µ. dx.g T.sin θ ( x, t) + T.sin θ ( x + dx, t) = µ. dx. 2 t Et on obtient une nouvelle équation d onde = dx c dt 2 2 d y 1 d y g d) Si la courbure de la corde est importante ( θ pas assez petit) et le poids négligeable, On montre que l équation d onde devient: 2 d y 1 d δy δx dt =. T( x). µ 1+ δ δ dx 1+ δ δ ( y x) ( y x) 61

62 III- Ondes sonores dans les fluides x O A B On étudie la propagation du son dans les fluides Soit un cylindre contenant un fluide compressible ( de l air par exemple) Le fluide est caractérisé par trois champs : Vitesse V, pression P et masse volumique µ Au repos ces champs sont uniformes et valent : V = 0 ; p = po, µ = µo 62

63 - L ébranlement est provoqué par une compression du fluide, à l aide d un piston. -Quand on enfonce brusquement le piston : - La tranche d air OA est comprimée à une pression ( Po + P) > Po. - Cette situation n est pas stable et la tranche OA se détend et repousse l air dans la tranche AB voisine et ainsi de suite. L ébranlement est transmis de proche en proche. -Chaque partie atteinte par l ébranlement joue le rôle de source pour la tranche suivante En résumé 1) Le passage de l ébranlement provoque une déformation du fluide ( compression ou dilatation), donc une variation de densité 2) Les variations de densité entraînent des variations de pression 3) Les différences de pression entre deux points du fluide engendrent un mouvement 63

64 L équilibre du système est alors perturbé La pression P, la masse volumique µ, la vitesse du fluide V dans la direction Ox varient en fonction du temps t et de la position M dans le cylindre r r r r v = 0 v ( M, t ) = 0 + v ( M, t ) p = p p ( M, t ) = p + p ( M, t ) µ = µ µ ( M, t ) = µ + µ ( M, t) L approximation acoustique r v << c ; p << p ; µ << µ 1 1 o

65 Mise en équations 1)Equation de continuité Elle traduit l absence de fuite, de trou ou de cavité au sein du fluide Soit F e le flux massique ( variation de masse par unité de temps) entrant en x dans une tranche de cylindre comprise entre x et (x + dx) dm dx Fe = =. S.. S. v( x, t) µ = dt dt µ Soit F s le flux massique sortant en ( x +dx) F = µ. S. v( x + dx, t) L excès de masse entrant dans le volume S.dx pendant le temps dt est : [ µ µ ] dm =. S. v( x, t). S. v( x + dx, t). dt A cet excès de masse correspond un accroissement de densité dµ qui lui est proportionnel s [ ] dm = S. dx. dµ = µ. S v( x, t) v( x + dx, t) dt 65

66 δv or [ v( x, t) v( x + dx, t) ] dx δ x δv δµ dv et S.dx. dµ = µ dx dt + µ = 0 δ x δt dx dµ dµ 1 Sachant que µ = µ 0 + µ 1( x, t) dt dt dv de plus le terme ( µ 1 ) étant négligeable ( terme du second ordre) dx δµ dv + µ 0 = 0 (1) δt dx o x v x+dx dv v+ dx dx x 66

67 2) Equation d état du fluide La variation de pression p 1 est toujours proportionnelle à la variation de masse volumique µ 1 : p 1 = c ² ( 2 ) µ C est une constante caractéristique du fluide 1 3) Equation fondamentale de la dynamique f = p. S o x x+dx dp f ' = p + dx. S dx x dv ( µ. S. dx). = S. p ( x, t ) S. p ( x + dx, t ) dt 67

68 dv dp dv dp ( µ. S.dx) S..dx µ = dt dx dt dx dp dv + µ 0 0 (3) dx dt relation valable au second ordre près Remarque: la relation (2) permet de réécrire la relation (1) en fonction de la variation de la pression: (2) p = c ². µ δ p = c². δµ δ p = c² δµ dp dv (1) devient alors : + µ 0 = 0 (4) c² dt dx Remarque: l équation aux dimensions montre que C à les dimensions d une vitesse 68

69 En dérivant l équation (3) par rapport à x et l équation (4) par rapport au temps, et en soustrayant les résultats membre à membre, on obtient : 1 c² d p dt d p dx 2 2 = (5) 2 2 équation satisfaite par la pression De même, En dérivant l équation (3) par rapport à t et l équation (4) par rapport x et en soustrayant les résultats membre à membre, on obtient : 1 c² d v dt 2 2 = d v dx (6) 2 2 équation satisfaite par la vitesse Conclusion : Au cours de la propagation de l ébranlement dans un fluide Les variations de pression ( p1) de densité (µ1) et de vitesse (v1) satisfont À la même équation: l équation de propagation des ondes 69

70 Cas des processus adiabatiques On peut admettre avec une bonne approximation que les compressions et dilatations du fluide sont des processus adiabatiques ( sans échanges de chaleur avec les tranches voisines) Pour un gaz parfait : p RT. p Cp dp γ. p γ RT = et = Cte avec γ = = = γ µ M µ C dµ µ M c = γ RT M (7) c'est la vitesse du son dans un gaz. v Pour l air à la température normale: M = 29 g ; g = 1,40 ; R = 8,31 J/K ; T = 273 K : C = 330 m/s 70

71 Cas des ondes acoustiques sinusoïdales progressives Pour la variation de pression on aura donc : p ( x, t) = 1 A e i( ω. t k. x) en utilisant la relation (3) on peut écrire 0 : dv1 1 dp1 i. k. A = = dt µ dx µ k. A (.. ) i t k x p p v = e ω = = µ. c 0 µ ω µ. c v d ' où: (7) e i( ω. t k. x) Dans une onde acoustique progressive la pression et la vitesse du fluide sont liées à tout instant et en tout point par une relation de proportionnalité. C est une propriété générale 71

72 FIN 72