Informatique pour la finance. Sacha Kozlov EFREI 2011

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1 Informatique pour la finance Sacha Kozlov EFREI 2011

2 Plan de cours Cours d'initiation aux concepts de la finance Taux d'intérêt Actualisation / Capitalisation Emprunt indivis Les obligations La courbe des taux 2011 EFREI Finances 2

4 Initiation à la finance Pragmatisme Les simplifications nécessaires Il y a toujours des contre-exemples Intuition 2011 EFREI Finances 4

6 Taux d'intérêt Placement Pourquoi une rémunération? Taux période Taux simple, taux composé Taux équivalent, taux continu 2011 EFREI Finances 6

7 Placement Placer l'argent sur un période déterminé Somme placée V 0 Durée de placement T Opération est rémunérée Somme récupérée V T Taux d'intérêt r T V T =V 0 (1+r T ) 2011 EFREI Finances 7

8 Pourquoi une rémunération? 1 aujourd'hui 1 demain Inflation (pas vraiment une réponse) Abandon de la liberté d'utiliser son argent Prise en compte des risques : De perdre son argent ; De ne pas pouvoir vendre au moment désiré ; Etc EFREI Finances 8

9 Taux période Application du taux sur le période adapté V T =V 0 (1+r T ) Adaptation du taux pour d'autres périodes Taux simple Taux composé V nt =V 0 (1+nr T ) V nt =V 0 (1+r T ) n Unité commune de mesure taux annuel 2011 EFREI Finances 9

10 Taux simple v.s. taux composé La différence capitalisation des intérêts Intérêts simples des intérêts non capitalisés : V 2T =V 0 +2V 0 r T =V 0 +V 0 r T +V 0 r T Intérêts composés des intérêts capitalisés : V 2T =V 0 (1+r T ) 2 =V 0 +V 0 r T +V T r T 2011 EFREI Finances 10

11 Taux d intérêt dans la réalité Taux simple durées inférieurs à 1 an Date de versement de la rémunération : À terme échu (postcompté) À terme à échoir (précompté) Date de valeur quinzaine des banques Calcul de la durée : Exact, sur 360/365 jours, en mois, en semaines... Taux commercial EFREI Finances 11

12 Taux équivalent Taux nominal r pour une période d'un an L'année est divisée en k périodes Taux appliqué à chaque période r/k Taux composé Taux équivalent : r e (k) =( 1+ r k )k 1 Taux continu : lim k r e (k ) =e r EFREI Finances 12

14 Actualisation Valeur actuelle Actualisation et capitalisation Annuités Taux de rendement actuarielle Cas des annuités constantes 2011 EFREI Finances 14

15 Valeur actuelle Valeur actuelle (present value) V 0 en date 0 Avec taux r donne V n en n années Date de départ commune pour les flux futurs 2011 EFREI Finances 15

16 Actualisation et capitalisation Actualisation : V 0 = V n (1+r) n Capitalisation est inverse à l'actualisation : V n =V 0 (1+r) n La même utilisation : mettre les montants sur une base commune de comparaison 2011 EFREI Finances 16

17 Exercice : actualisation Sachant le taux d'actualisation de 4% Quel est le montant préférable : 100 immédiatement 108 dans 2 ans 5000 dans 100 ans Comparer 100 aujourd'hui avec 200 dans 20 ans En ramenant les deux montants à la date 0 En ramenant les deux montants à la date dans 20 ans En ramenant les deux montants à la date dans 10 ans 2011 EFREI Finances 17

18 Séquence des flux et annuités Chaque flux j est défini par : Son montant F j Sa date de versement t j Annuités versements périodiques Souvent annuels, mais pas obligatoirement Synonymes en fonction du contexte : «arrérage» dans les rentes ; «coupon» dans les obligations, etc. ; 2011 EFREI Finances 18

19 Exercice : des annuités constantes Séquence des flux : n Flux Du montant identique a Des dates équidistantes (flux annuels) Premier flux à la date t = 1 Le taux d'actualisation r Donner une expression pour la valeur actuelle VA d'une séquence des flux = somme des VA des flux Idem pour une séquence infinie 2011 EFREI Finances 19

20 Solution d'exercice En mettant v= 1 1+r En utilisant les propriétés de la progression géométrique : n V 0 = j=1 a (1+r) =a j j=1 Pour une rente perpétuelle : V 0 = av 1 v = a r 2011 EFREI Finances 20 n v j =av 1 vn 1 v

21 Taux de rendement actuariel (TRI) Séquence finie des flux F j, t j Valeur actuelle : V 0 = j F j (1+r) t j TRI = taux d'intérêt qui annule la valeur actuelle Solution existante et unique si le signe du premier flux est différent des signes des autres Applicable aux certaines séquences infinies 2011 EFREI Finances 21

22 Exercice : TRI simple Soit le taux d'actualisation de 4% La personne A investi 100 Dans 10 ans elle reçoit 150 Calculer la valeur actuelle de la séquence Calculer le TRI Avec le même taux d'actualisation La personne B investi 120 Pendant 9 ans qui suivent elle reçoit les flux de 15 Les mêmes questions que pour la personne A 2011 EFREI Finances 22

23 Notes suite à l'exercice La somme simple des flux n'a pas de sens Avant de comparer les flux il faut les ramener à la même date TRI mesure (caractéristique) de la séquence Comprendre les signes de VA 2011 EFREI Finances 23

24 Exercice : TRI général Soient les flux suivants : Date Flux Soit le taux d'actualisation de 4% Calculer la valeur actuelle de cette séquence Calculer le TRI 2011 EFREI Finances 24

26 Emprunt indivis Définition d'un emprunt indivis Tableau d'amortissement Différentes schémas de remboursement : Zéro coupon In fine Par annuités constantes 2011 EFREI Finances 26

27 Emprunt indivis Emprunt auprès d'un seul prêteur Montant prêté S 0 Taux d'intérêt i Remboursements Remboursements périodiques F 0 F n Différentes schémas de remboursement possibles 2011 EFREI Finances 27

28 Remboursement zéro coupon Une seule annuité à la fin d'emprunt S n =S 0 (1+i) n Exercice : démontrer que TRI = i 2011 EFREI Finances 28

29 Correction de l'exercice L'actualisation du flux aux taux r donne : j {0, n} F j (1+r) = S 0+ S n 0(1+i) j (1+r) n =0 (1+i) n =(1+r) n i=r 2011 EFREI Finances 29

30 Remboursement in fine Chaque annuité (sauf la dernière) rembourse uniquement les intérêts de la période passée La dernière annuité rembourse le capital en plus 0 j=0 F j ={ S S 0 i 0< j<n S 0 (1+i) j=n Exercice : démontrer que TRI = i 2011 EFREI Finances 30

31 Correction de l'exercice L'actualisation des flux aux taux r donne : n j=0 F j n 1 (1+r) j = S 0+ j=1 S 0 i (1+r) + S 0(1+i) j (1+r) =0 n n 1 S 0 +S i 0 j=1 n v j +S 0 (1+i)v n = S 0 +S i 0 j=1 v j +S 0 v n =0 1+iv 1 vn 1 v +vn =0 iv 1 vn 1 v =1 vn i= 1 v v =r 2011 EFREI Finances 31

32 Tableau d'amortissement Représentation visuelle d'emprunt : Date de situation Montant d annuité Dont les intérêts depuis la dernière situation Dont le remboursement du capital Capital restant dû Les cas plus complexes plus de champs 2011 EFREI Finances 32

33 Exercice : tableau d'amortissement Capital emprunté : 1000 Taux d'intérêt : 4% Durée d'emprunt : 10 ans Différé de payement : 3 ans Périodicité des annuités : annuelle Première annuité (dans 4 ans) : 50 Les annuités augmentent de 50 chaque année Calculer la dernière annuité 2011 EFREI Finances 33

34 Rbt par des annuités constantes Chaque annuité a est composé de : Remboursement des intérêts Remboursement d'une partie de capital F j =a=s j 1 i intérêts Exercice 1 : trouver la formule pour a m j rbt. capital Exercice 2 : démontrer que TRI = i 2011 EFREI Finances 34

35 Correction de l'exercice 1 I On peut remonter à partir du dernier flux : S n 1 =m n F n =S n 1 i+m n =m n (1+i)=a m n = a 1+i De même manière (en introduisant u) : a m j = (1+i) a n+1 j un+1 j 2011 EFREI Finances 35

36 Correction de l'exercice 1 II Alors nous avons pour le remboursement : m j =a u n+1 j Sachant qu'à la fin on rembourse tout le capital n S = 0 j=1 n m j =a j=1 a=s 0 1 u n u n 1 j =a j=1 1 u 1 u n=s 0 i 1 u n u j =au 1 un 1 u 2011 EFREI Finances 36

37 Correction de l'exercice 2 La VA de n annuités constantes : VA a =av 1 v 1 v n Le montant de l'annuité : a=s 0 1 u 1 u n 1 u Pour une telle séquence il existe toujours un TRI et qu'un seul, donc u = v, donc TRI = i 2011 EFREI Finances 37

38 Application numérique Les taux de marché d'emprunt immo sont : Durée 10 ans 15 ans 20 ans 25 ans 30 ans Taux 3,75% 4,00% 4,25% 4,40% 4,85% Les prix d'un appartement 1P 20m² sont : Ville Paris 5ème Paris 20ème Villejuif Saint-Denis Treignac Prix 345 K 230 K 140 K 85 K 28 K Calculer les annuités pour un achat Périodicité annuelle et mensuelle Les taux inférieurs d'un an taux simple 2011 EFREI Finances 38

39 Exercice Excel / VBA Créer une mini-application de calcul Des fonctions VBA Fonction annuité(montant, taux, durée) Fonction mensualité(montant, taux, durée) Une table récapitulant des offres et des durées Une liste de choix de sortie Fonction sortie(montant, taux, durée, typesortie) 2011 EFREI Finances 39

40 Emprunt immobilier dans la réalité Assurance décès / invalidité d'emprunteur Frais de notaire Frais de dossier Frais de garantie (partiellement récupérables) Possibilité de revente du bien Possibilité de rachat du crédit Etc EFREI Finances 40

42 Obligations Définition Principales caractéristiques Cotation en bourse Risque de crédit (spread) Risque de taux (sensibilité) Obligations dans la réalité 2011 EFREI Finances 42

43 Définition d'une obligation Valeur mobilière Représente une dette fractionnée Cessible, cotation possible en bourse Donne droit au intérêts Remboursable selon les modalités du contrat 2011 EFREI Finances 43

44 Principales caractéristiques I Identifiant (ISIN) Valeur nominale (faciale, pair) V N Taux d'intérêt nominal (taux facial) i On va étudier principalement les taux fixes Coupon (intérêt à verser) C N = i V N Prix d'émission (en ou en % du nominal) E Prix de remboursement R Durée de vie d'emprunt (échéance, maturité) 2011 EFREI Finances 44

45 Principales caractéristiques II Date de règlement (souscripteur est débité) Date de jouissance (base pour les intérêts) Périodicité des coupons Annuelle ou trimestrielle Tableau d'amortissement Zéro coupon In fine Annuités constantes 2011 EFREI Finances 45

46 Exercice : Le TRI d'un emprunt Faire un synthèse d'emprunt obligataire EDF Calculer les TRI : Souscripteur et émetteur, hors fiscalité Calculer les TRI en cas de vente : La date de cession est 09/09/2011 Le prix de cession et 107,12% Vendeur a acheté à l'émission Acheteur garde jusqu'à l'échéance 2011 EFREI Finances 46

47 Indices pour l'exercice Les TRI d'émetteur et de souscripteur sont différents suite à la commission que l'émetteur verse à l'organisme placeur à la souscription Le changement de souscripteur pour une obligation est transparent pour l'émetteur Le prix donné dans l'exercice est le prix final payé par l'acheteur 2011 EFREI Finances 47

48 Cotation des obligations Les prix sont exprimés en %age (du nominal) Choc du cours à la date de tombé du coupon Lissage du choc avec le coupon couru CC CC= fc N =[ p.e.]= t t j 1 t j t j 1 C N Le coupon couru est en %age (du nominal) 2011 EFREI Finances 48

49 Exercice : collecte des cotations Les résultats de la cotation d'une obligation à la bourse sont donnés sous la forme des fichiers Excel quotidiens qui sont stockés dans un répertoire donné ; Écrire un programme VBA qui collecte l'information contenue dans ces fichiers et la met sous une forme synthétique : Colonnes «date», «prix de clôture», etc... ; Les données sont triées par date ; 2011 EFREI Finances 49

50 Exercice : calcul du coupon couru A partir des données du tableau collecté par l'exercice précédent, calculer le CC et le prix total pour chaque date Utiliser les fonctions de manipulation des dates pour retrouver la date du prochain coupon 2011 EFREI Finances 50

51 Valorisation d'une obligation Valeur d'obligation VA des flux futurs L'actualisation se fait avec quel taux? 1 approche : taux unique 2 approche : courbe des taux «marché» 3 approche : courbe corrigée de risque 2011 EFREI Finances 51

52 Valorisation d'une obligation I Valorisation avec un taux unique n V =VA = j=1 F j 1 t j Risque de taux si le taux monte, le prix de l'obligation baisse Sensibilité du cours d obligation S S= 1 V dv d 1 V V 2011 EFREI Finances 52

53 Exercice : valorisation d'obligation Calculer la valeur d'obligation EDF La date de valorisation est 09/09/2011 Avec un taux d'actualisation de 2% Utiliser la convention des dates réel/réel Calculer la sensibilité d'emprunt EDF A la date d'émission de l'obligation A la date de cession de l'exercice précédent Choisir Δτ à 0,10% L'utilisation de la fonction TRI.PAIEMENT autorisée 2011 EFREI Finances 53

54 Valorisation d'une obligation II Valorisation avec une courbe des taux n V =VA { j } = j=1 F j 1 j t j Dans la pratique on fait une interpolation linéaire pour obtenir des taux aux dates voulues 2011 EFREI Finances 54

55 Exercice : valorisation d'obligation Calculer la valeur d'obligation EDF La date de valorisation est 09/09/2011 Avec une courbe des taux suivante : Maturité 25/04/12 25/10/12 25/04/13 25/10/13 25/04/14 25/10/14 Taux 0.69% 0.58% 0.72% 0.82% 0.92% 1.08% Utiliser la convention des dates réel/réel Écrire une fonction d'interpolation linéaire 2011 EFREI Finances 55

56 Obligations dans la réalité Option de sortie au gré du porteur Le porteur a droit à un remboursement anticipé à la date définie dans le contrat L'exercice payant on rembourse moins Taux de privation, supérieur au taux nominal Option symétrique pour l'émetteur Obligation convertible possibilité d'échanger contre X actions Obligations variables taux lié à un indice 2011 EFREI Finances 56

57 Exercice : options de rachat Soit une obligation de maturité 5 ans Taux nominal est de 5% Taux de privation du porteur est de 6% Taux de privation de l'émetteur est de 4% Calculer le prix minimum et maximum 2011 EFREI Finances 57

58 Risque de crédit Risque de ne pas être remboursé rémunération plus importante Appellation «sans risque» pour les emprunts d'état (point de départ des autres taux) Spread le surplus de rémunération par rapport au «sans risque» Notation des titres pour faciliter la lecture Les agences de notation Codes de notation selon agence 2011 EFREI Finances 58

59 Exercice : calcul de spread Montant emprunté : 1000 Durée d'emprunt : 2 ans Taux «sans risque» : 2% Probabilité de défaut : 1% Taux de recouvrement : 30% Le recours est effectué à la date de la fin d'emprunt Calculer le spread de taux Le spread est exprimé en bp : 1 bp = 0,01% 2011 EFREI Finances 59

60 Valorisation d'une obligation III Valorisation avec une courbe des taux corrigée de risque (spread constant) n V =VA { j }, s = j=1 Exercice : trouver le spread d'obligation EDF qui permet de retrouver la valeur % au 09/09/2011 avec la courbe des taux «sans risque» de l'exercice précédent F j 1 j s t j 2011 EFREI Finances 60

61 Taux sans risque Taux d'intérêts sans risque de crédit Ne pas confondre avec l'absence de risque de taux, voire absence de tout risque! Définitions simplistes : Taux d'emprunt d'état Taux auquel on prête et on emprunte sans risque (en négligeant la friction du marché) 2011 EFREI Finances 61

62 Arbitrage Opération assurant un gain certain Exemple d'arbitrage : Emprunter au 3% Investir (sans risque) au 4% Marché efficient pas d'arbitrage possible L'hypothèse d'absence d'arbitrage permet de valoriser les produits financiers : Par exemple, dans les exercices de spread 2011 EFREI Finances 62

64 La courbe des taux Courbe des taux fonction taux(durée) Taux d'intérêt zéro coupon d'une maturité t Pas d'observations directes, mais possible de les déduire à partir d'une série des obligations 2011 EFREI Finances 64

65 Exercice : calcul de courbe des taux A partir des données des 8 obligations : Calculer les TRI de chaque obligation Construire la courbe des zéro-coupons associés : La méthode de bootstrapping : Taux ZC = TRI pour l'obligation n'ayant qu'un flux futur Sachant les taux ZC pour tous les flux d'une obligation sauf un, on peut calculer le taux ZC de dernier flux La base exact/360 est à utiliser L'utilisation de TRI.PAIEMENT est autorisée Comparer les deux courbes obtenues 2011 EFREI Finances 65

66 Données pour l'exercice ISIN Échéance Taux nominal Cours de 09/09/2011 FR /10/2011 5,00% 100,40% FR /04/2012 5,00% 102,63% FR /10/2012 4,75% 104,60% FR /04/2013 4,00% 105,25% FR /10/2013 4,00% 106,64% FR /04/2014 4,00% 107,92% FR /10/2014 4,00% 108,92% FR /04/2015 3,50% 107,99% 2011 EFREI Finances 66

67 Indices pour l'exercice Soit une série des obligations La valeur d'une obligation : N V = i=1 ZC 1 peut être calculé avec obligation d'une maturité d'un an Flux i (1+ZC i ) δ t i Ayant les ZC 1 ZC n et une obligation de n+1 an, on peut calculer le ZC n EFREI Finances 67