FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

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1 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN En 64, un mathématicien écossais, John Napier (550 ; 67) cicontre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie «Mirifici logarithmorum canonis descriptio». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d un travail de 0 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs «logos» (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (56 ; 630) et William Oughtred (574 ; 660) reprennent et prolongent les travau de Neper. Les mathématiciens de l époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L intérêt d établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition (paragraphe II). Ceci peut paraître dérisoire aujourd hui, mais il faut comprendre qu à cette époque, les calculatrices n eistent évidemment pas, les nombres décimau ne sont pas d usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d effectuer des opérations de plus en plus complees. I. Définition La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R, à valeurs dans 0;+. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a de 0;+ l'équation e = a admet une unique solution dans R.

2 Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation e = a. On la note ln a. La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln : 0;+ R Remarques : ] [! - Les fonctions ep et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions ep et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =. - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log est définie par : log() = ln0 Conséquences : a) y = avec > 0 = e y b) ln = 0 ; lne = ; ln e = c) Pour tout, ln e = d) Pour tout strictement positif, e = Démonstrations : a) Par définition b) - Car e 0 = - Car e = e - Car e = e c) Si on pose y = e, alors = ln y = ln e d) Si on pose y =, alors = e y = e II. Propriété de la fonction logarithme népérien ) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels et y strictement positifs, on a : ( ) y = + ln y

3 3 e ln( y) = y = e e ln y +ln y = e y = + ln y Donc ( ) Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 6, appliquerait cette formule, soit : log(36 6) = log(36) + log(6),5563 +,794 (voir table cicontre) L addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 6) 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 3, soit : 36 6 = 3. Corollaires : Pour tous réels et y strictement positifs, on a : a) ln = b) y = ln y c) = d) n = n avec n entier relatif Démonstrations : a) ln + = ln = ln = 0 b) ln = ln = + ln = ln y y y y c) ( ) = + = = ln d) On démontre ce résultat par récurrence. L'initialisation est triviale. La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : n n n + = = + = n+ = ( n+ ). ( )

4 4 Méthode : Simplifier une epression Vidéo A = ln ( 3 5) + ln ( 3 + 5) B = 3ln + ln5 ln3 C = lne ln e ln ( 3 5) ln ( 3 5) ( )( ) A = + + = ln ( ) = ln 9 5 = ln 4 B = 3ln + ln5 ln3 = ln 3 + ln5 ln3 = ln = ln 40 9 C = ln e ln e = lne ln + lne = ln + = 3 ln III. Etude de la fonction logarithme népérien ) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur 0;+. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+ et ()' =. La fonction ln est continue sur 0;+, donc pour tout réel a > 0, on a : lim = ln a. a Donc par composée de limites, en posant X = : ln a X ln a lim = lim = lim a a X ln a e X ln a e X ln a e X e ln a X ln a Comme la fonction eponentielle est dérivable sur R, on a : lim = X ln a e X e ln a e = ln a et donc lim = ln a a a a a. X ln a Eemple : Vidéo Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+ : f( ) = ( )

5 5 ln ( ln) f '( ) = ( ) ln = = ) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+. Pour tout réel > 0, ()' = > 0. Corollaires : Pour tous réels et y strictement positifs, on a : a) = ln y = y b) < ln y < y Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation Vidéo Vidéo Vidéo a) Résoudre dans R l'équation suivante : ( ) ( ) b) Résoudre dans R l'inéquation suivante : ln 3 ln 3 + ln 9 = 0 ( ) ln( +) 0 a) Ensemble de définition : 3 > 0 et 9 > 0 > 3 < 9 L équation est définie sur ]3 ; 9[. On restreint donc la recherche des solutions à cet intervalle. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( 3)( 9 ) ln 3 + ln 9 = 0 ln 3 9 = 0 ln 3 9 = ln = + = 7 + = = = 6 et = = 6+

6 6 Les solutions sont donc 6 et 6 + car elles appartiennent bien à l ensemble de définition. b) Ensemble de définition : 3 > 0 et +> 0 < 3 > L inéquation est définie sur ]- ; 3[. On restreint donc la recherche des solutions à cet intervalle. ( ) ln( +) 0 ( ) ln( +) ln 3 ln L'ensemble solution est donc ; 3. 3) Limites au bornes Propriété : lim + = + et lim = >0 - Soit un intervalle a;+ quelconque. Démontrons que cet intervalle contient toutes les valeurs de ln dès que est suffisamment grand. > a à condition que > e a. - lim = lim ln = lim ( ln X) =. X + X X + > 0 4) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : 0 + ln'() + +

7 7 IV. Limites et croissances comparées Propriétés (croissances comparées) : a) lim = 0 et pour tout entier non nul n, lim = n b) lim = 0 et pour tout entier n, lim n = 0 >0 >0 Démonstrations dans les cas où n = : En posant X = : a) lim + = lim X X + e = 0 par croissance comparée de! et! X e. b) lim = lim e X X = 0 par croissance comparée de! et! e. X >0 Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. Propriétés : ( + ) ln lim = La fonction ln est dérivable en et ln'() =. ( h) ln + ln Donc lim = donc h 0 h ( + h) ln lim = car ln = 0. h 0 h Méthode : Déterminer une limite Vidéo Vidéo Vidéo a) lim ( ) + b) lim c) lim + a) Il s'agit d'une forme indéterminée de type " ". Levons l'indétermination : = Comme lim + = 0, on a : lim =. + Et donc lim =+ soit lim ( ) = b) Il s'agit d'une forme indéterminée de type " 0 0 ". Levons l'indétermination :

8 8 ( + ( )) ( + X ) ln ln lim = lim = comme composée de limites. X 0 X c) Il s'agit d'une forme indéterminée de type " ". Levons l'indétermination : = = Comme lim + = 0 et lim =, on a lim + + = 0 = 0. Et donc lim + = 0. V. Fonctions de la forme ln u Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction! lnu() est dérivable sur I. Sa dérivée est la fonction! u'() u(). - Admis - Eemple : Vidéo Soit la fonction f définie sur 0; par f() ln ( ) = alors f '() =. Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Les fonctions! u() et! lnu() ont le même sens de variation. On a (lnu)' = u' u. Comme u>0, u' et (lnu)' sont de même signe. Méthode : Etudier une fonction Vidéo Vidéo Vidéo + On considère la fonction f définie sur ; par f( ) = ln. a) Calculer les limites de f au bornes de son ensemble de définition.

9 9 b) Etudier la dérivabilité de la fonction f. c) Déterminer le sens de variation de la fonction f. d) Tracer sa courbe représentative. + a) - lim > + - lim < = 0 donc lim f () = comme composée de limites. > = + donc lim f () = + comme composée de limites. < b) La fonction u :! + dérivable sur ;. est strictement positive et dérivable sur ; donc f est c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u'( ) = = = Donc u'() > 0. La fonction u est donc strictement croissante sur ;, d'où : La fonction f est strictement croissante sur ;. - f '() + f () + Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L -5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation epresse de l'auteur.