MODÉLISATION DES ACTIONS MÉCANIQUES. 7.1 Actions mécaniques Définition Nature et classification des actions mécaniques

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1 MDÉLISATIN DES ACTINS MÉCANIQUES Après avoir étudié le comportement cinématique des solides, avoir modélisé les liaisons entre solides, d un point de vue cinématique, nous allons étudier les actions mécaniques et leur effet sur le comportement et l équilibre des solides. Dans cette première partie, nous allons identifier et modéliser les actions mécaniques. 7.1 Actions mécaniques Définition n appelle action mécanique toute cause susceptible de : Maintenir un solide au repos : STATIQUE (Solide indéformable Créer ou modifier le mouvement d un solide : DYNAMIQUE Déformer un solide : RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Nature et classification des actions mécaniques n distingue deux grandes familles d actions mécaniques suivant leur mode d action : Actions mécaniques de contact : on retrouve ce type d actions dans toutes les actions entre solides et entre un fluide et un solide. Ces actions agissent sur la surface du solide. Actions mécaniques à distance : les actions mécaniques à distance caractérisent les actions mécaniques transmises sans contact et agissant principalement sur tout le volume du solide. Les actions à distance sont principalement dues à l effet de la gravité sur les corps, mais on retrouve aussi ce type d action avec les phénomènes électromagnétiques Actions mécaniques de contact Compte tenu de la rugosité, des défauts de forme et de la déformation des matériaux (figure 7.1, il est généralement impossible de caractériser exactement le contact réel entre deux solides et la nature 75

2 76 7 Modélisation des actions mécaniques des actions transmissibles par ce contact. (a Contact réel (b Contact ponctuel réel (c Contactsurfaciqueparfait (d Contact ponctuel parfait FIGURE 7.1 Contacts réels et contacts théoriques Nous considèrerons généralement que les contacts entre deux solides sont réalisés par des surfaces parfaites. Les contacts seront donc : des contacts surfaciques : au travers d une surface de contact (plan/plan, cylindre/cylindre, sphère/sphère,..., des contacts linéïque : au travers d une ligne (cylindre/plan, sphère/cylindre,..., des contacts ponctuels : au travers d un point de contact (sphère/plan,.... n remarquera, que les deux derniers sont parfaitement théoriques, un contact véritablement ponctuel impliquerait une pression de contact infinie et donc la destruction des solides!. Faire l hypothèse d un contact ponctuel, c est supposer que la surface de contact est petite par rapport aux autres dimensions des solides. 7.2 Modèle local / modèle global Action mécanique à contact surfacique Définir l action mécanique transmise à travers un contact surfacique nécessite de définir la nature de la surface de contact, la normale au plan tangent de contact en chaque point P de la surface de contact (par convention, on oriente la normale vers l extérieur du solide étudié, l allure de la pression de contact en chaque point P de la surface. Remarque : dans cette première partie, nous supposerons que les contacts sont parfaits, sans frottements. La figure 7.2 montre l allure deux répartitions possibles de l action mécanique élémentaire du solide S 2 sur le solide S 1. n note df 1 2 (P, l action mécanique élémentaire agissant entre le solide S 1 et le solide S 2. Cette action est orientée vers le solide isolé (ici S 2, elle dépend de la valeur de la pression de contact en chaque point P de la surface de contact. avec n(p : la normale en P, df 1 2 (P = p(p ds n(p

3 7.2 Modèle local / modèle global 77 p(p : la pression au point P [N/m 2 ], ds : l élément de surface infinitésimal autour du point P sur lequel agit la pression. n 2 surface de contact n 2 S 1 P P S 2 S 2 P (a contact plan/plan n 2 df 1 2 : action élémentaire ds : élément de surface (b normale au contact P n 2 S 2 S 2 (c répartition de pression uniforme (d répartion de pression variable FIGURE 7.2 Contact surfacique plan : action mécanique du solide S 1 sur le solide S 2 La figure 7.3 montre deux possibilités de répartition de pression entre deux cylindres, la première qui suppose une répartition uniforme est très certainement fausse, la seconde est certainement plus proche de la réalité mais beaucoup plus difficile à déterminer. FIGURE 7.3 Répartition de la pression entre deux cylindres Pour déterminer l action mécanique globale agissant de S 1 sur S 2, il suffit d intégrer sur la surface de contact. F 1 2 = P S df 1 2 (P = p(p ds n(p P S

4 78 7 Modélisation des actions mécaniques il reste à définir l élément de surface, en fonction de la forme de la surface, on préfèrera les coordonnées cartésiennes ou les coordonnées polaires (figures 7.4 : en coordonnées cartésiennes : ds = dx dy en coordonnées polaire : ds = r dθ dr y y Y 2 dx y + dy θ 2 dr r dθ + P Y 1 X 1 x X 2 x θ 1 θ R 1 r R 2 x (a coordonnées cartésiennes (b coordonnées polaires FIGURE 7.4 Element de surface dd Pour ces deux cas, l action globale devient en coordonnées cartésiennes : en coordonnées polaire : F 1 2 = F 1 2 = F 1 2 = df 1 2 (P = P S y=y2 x=x2 y=y 1 r =R2 θ=θ2 r =R Action mécanique à contact linéîque p(p ds n(p P S x=x 1 p(p dx dy n(p θ=θ 1 p(p r dθ dr n(p Le contact linéïque est défini comme le contact surfacique. la pression est une pression linéïque p λ (P:[Nm 1 ], l élement d intégration est homogène à une longueur dl, df 1 2 (P = p λ (P dl n(p De la même manière on détermine l action mécanique globale en intégrant le long de la ligne de contact F 1 2 = df 1 2 (P = p λ (P dl n(p P L P S

5 7.3 Action mécanique à distance 79 S 1 n 2 ligne de contact n 2 ligne de contact P P S 2 S 2 FIGURE 7.5 Contact linéïque Action mécanique à contact ponctuel parfait Le contact ponctuel parfait n existe pas, en effet le contact entre deux corps ne peut se réaliser sans déformation de la zone de contact et sans frottements. n modélise par un contact ponctuel, les contacts dont la surface d action est très réduite L action mécanique ponctuelle est directement représentable par un vecteur au point de contact : F 1 2 = F 1 2 n ns 21 point de contact F 1 2 n 2 point de contact P P S 2 S 2 FIGURE 7.6 Contact ponctuel 7.3 Action mécanique à distance Modèle local Une action à distance est une action telle la gravité ou le champ magnétique terrestre qui s applique sur chaque élément de matière qui constitue le corps E. n peut ainsi en chaque point Q et pour l élément de volume élémentaire dv associé du solide S, définir l action élémentaire auquel il est soumis, avec f (Q : la fonction qui décrit la répartition de l action à distance en chaque point de l espace, u(q : le vecteur directeur de cette action.

6 80 7 Modélisation des actions mécaniques z 0 y 0 dz dx Q dy x 0 f (Q u(q FIGURE 7.7 Action à distance df f S (Q = f (Q u(q dv L action globale est donc : F f S (Q = f (Q u(q dv Q S L élément de volume (figure 7.8 dv est défini, soit en coordonnées cartésiennes, soit en coordonnées cylindriques ou sphériques : coordonnées cartésiennes : dv = dx dy dz, coordonnées cylindrique : dv = r dθ dr dz, coordonnées sphériques : dv = r sinϕ dθ r dφ dr Modélisation de l action de pesanteur L action de la pesanteur est une action à distance, le poids représente l action de la pesanteur sur le solide S. l élément d intégration sur lequel agit la gravité est un élément de masse dm. P g S (Q = g (Q dm = g (Q ρ(q dv P g S (Q = Q S Q S ρ(q g (Q z 0 dv Q S g (Q : la gravité au point Q, ρ(q : la masse volumique au point Q, z 0 : vecteur unitaire vertical orienté vers le haut. Si la gravité et la masse volumique sont constantes dans le solide, alors : P g S (Q = ρ g z 0 dv = ρ g V z 0 = M g z 0 et V le volume du solide et M sa masse. Q S

7 7.3 Action mécanique à distance 81 y y 0 dy dx dz x x 0 y 0 θ 2 dz + P dr r dθ θ 1 θ R 1 r R 2 x 0 z z 0 z 0 (a coordonnées cartésiennes (b coordonnées cylindriques (c coordonnées sphérique FIGURE 7.8 Élément de volume dv Centre d inertie n appelle centre d inertie du système matériel Σ, le point G défini par : GP dm = 0. P Σ En faisant intervenir le point, la relation devient ( G + P dm = 0 Σ G dm + P dm = 0 avec m Σ G = Σ P dm et finalement Σ G = 1 Σ m Σ P Σ P dm Dans un repère cartésien, on note ( x G, y G, z G les coordonnées de G et ( x, y, z les coordonnées de P, on peut donc écrire : x G = 1 x dm, y G = 1 y dm, z G = 1 z dm. m Σ Σ m Σ Σ m Σ Σ Remarques : Si le système matériel est un solide indéformable, le centre d inertie est un point fixe du solide ; Si le système matériel possède un élément de symétrie matérielle, plan ou axe de symétrie, aussi bien du point de vue géométrique que du point de vue de la répartition des masses, le centre d inertie appartient à cet élément de symétrie ;

8 82 7 Modélisation des actions mécaniques Le centre d inertie est confondu avec centre de gravité dans le cas d un champ de pesanteur uniforme. a Centre d inertie d un ensemble de corps Un ensemble matériel Σ est composé de n sousensembles matériels Σ i. À chaque sous-ensemble Σ i est associé sa masse m i et son centre d inertie G i, alors G Σ = 1 m Σ n i=1 m i G i. Le centre d inertie d un ensemble de corps est le barycentre des centres d inertie. Si les corps sont des solides indéformables immobiles les uns par rapport aux autres, le centre d inertie de l ensemble est fixe dans un repère lié à cet ensemble. G i Σ i G G 1 Σ 1 G n Σ n G 2 Σ Σ 2 b Théorèmes de Guldin FIGURE 7.9 Centre d inertie d un ensemble de corps Énoncé (Centre d inertie d une courbe plane Soient (C unecourbeduplan (Π et (Δ unedroitedu plan ne coupant pas (C. L aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe (C autour de la droite (Δ est égal au produit de la longueur de la courbe L par le périmètre décrit par son centre d inertie 2π r G. S = 2π r G L (Δ (Δ Π (C dl P r G r G Π (C r ds r G G r r (a centre d inertie d une courbe plane (b centre d inertie d une surface plane FIGURE 7.10 Théorèmes de Guldin

9 7.3 Action mécanique à distance 83 n associe à la courbe (C une masse linéïque λ constante, dm = λ dl d où la masse totale de la courbe m c = λ L. La position du centre d inertie de la courbe est calculée par la relation générale : m c G = P dm ici cette relation devient : S λ L G = 0 C C P λ dl. Après simplification puis en ne prenant que la projection suivant r : L G = P dl L r G = r dl C C Calculons maintenant la surface engendrée par la rotation de la courbe 2π S = r dθ dl = dθ r dl = 2π r dl C C En substituant r dl = L r G dans cette égalité on retrouve bien le résultat cherché. C Énoncé (Centre d inertie d une surface plane homogène Soient (S une surface du plan (Π et (Δ une droite du plan ne coupant pas (S. Le volume engendré par la rotation de la surface plane tournant autour de l axe (Δ est égal au produit de l aire de la surface par la longueur du périmètre décrit par son centre d inertie. V = 2π r G S n démontre cette égalité comme la précédente. n associe à (S une masse surfacique dm = σ ds constante et m S = σ S. Par définition : m S G = P dm soit en projection suivant r S G = S S P ds S r G = r ds S Le volume engendré par la rotation de la surface (S s écrit : V = v r dθ ds = 2π 0 dθ r ds= 2π S r ds S

10 84 7 Modélisation des actions mécaniques d où la relation cherchée : V = 2π r G S. Remarque : l utilisation des théorèmes de Guldin permet de simplifier le calcul de position du centre d inertie dans la mesure où l on connaît les caractéristiques du volume et de la surface balayée. 7.4 Moment d une action mécanique Moment d une action ponctuelle La détermination de la résultante d une action mécanique, ne suffit pas pour la caractériser. y 1 z 0 1 d A y 0 a B F p 2 z 2 x 0 θ y x 0 FIGURE 7.11 Moment d une action mécanique Ainsi, l action du pied sur la pédale F p 2 en B ne suffit pas pour décrire le mouvement de rotation de la pédale. n appelle moment en de l action F p 2 la quantité M,Fp 2 = B F p 3 [N m] Ce vecteur permet de définir l effet de l action mécanique à distance du point d application. Pour l exemple du pédalier, on trouve ( M,Fp 2 = A + AB F p 3 0 = ( d y 1 + a x 0 Fp 3 0 = d cosθ F p 3 x 0 + a F p 3 y 0 La composante du moment en projection sur x 0 représente l action mécanique qui va entraîner la roue arrière. Remarque : le moment d une action ponctuelle en son point d application est nul.

11 7.5 Torseur d action mécanique Moment d une action de pression Dans le cas d une action mécanique de pression, le moment est défini par M,F1 2 = P S Il est souvent utilise de déterminer un point B tel que M B,F1 2 = 0 P df 1 2 en ce point, l action mécanique est modélisable uniquement par la résultante de l action de pression Moment du poids au centre d inertie Si g (Q est constant, alors : P g S (Q = M,g S = Q S Q M,g S = g (Q dm Q g # (Q» dm Q Q dm g en calculant ce moment au centre d inertie G : M G,g S = Q GQ dm g on retrouve sous l intégrale, la définition du centre d inertie Q GQ dm = 0, finalement M G,g S = 0 le moment du poids est nul au centre d inertie. Cette propriété aussi vraie si g (Q n est pas constant. 7.5 Torseur d action mécanique Cas d une action mécanique ponctuelle n vient de voir qu une action mécanique doit être représentée à la fois par sa résultante F 1 2 et son moment M A,F1 2 = A F 1 2. Déterminons, le moment en B.

12 86 7 Modélisation des actions mécaniques M B,F1 2 = B F 1 2 ( M B,F1 2 = A + BA F 1 2 M B,F1 2 = A F BA F 1 2 M B,F1 2 = M A,F1 2 + BA F 1 2 La relation entre le moment en B et le moment en A est la relation de changement de point d un torseur. n peut donc décrire une action mécanique à partir d un torseur, le torseur des actions mécaniques : { } { } F 1 2 A1 2 = M A,F1 2 = A n note : F 1 2 : la résultante de l action mécanique de l action de 1 sur 2, M A,F1 2 = A F 1 2 : le moment de l action mécanique de 1 sur 2 au point A. Si B est le point d application de l action ponctuelle, alors le moment est nul en ce point : { } { } F 1 2 A1 2 = M B,F1 2 = 0 B F 1 2 Le torseur d une action ponctuelle est un torseur glisseur en son point d application B Cas d une action de pression L action mécanique peut être représentée par F 1 2 = df 1 2 (P = P S M,F1 2 = P df 1 2 = P S le torseur d une action de pression s écrit donc : { A1 2 } = F 1 2 = M,F1 2 = P S A p(p ds n(p P S P S P S ( P p(p ds n(p df 1 2 (P P Il existe un point B tel que M B,F1 2 = 0, en ce point : { } { } F 1 2 A1 2 = M B,F1 2 = 0 en ce point, le torseur est un glisseur. df 1 2

13 7.6 Exercices de synthèse Cas de la gravité Le torseur du poids s écrit au centre d inertie G : C est aussi un torseur glisseur. {P g S } = { } P g S M G,g S = 0 G Torseur couple Tous les torseurs d efforts ne peuvent pas être représentés par un torseur glisseur. Ainsi, l action mécanique transmise par le stator d un moteur sur le rotor est un torseur couple. 7.6 Exercices de synthèse { { } } 0 Cs r = C s r = C sr u P Exercice 14- Barrage poids - exercice de cours Corrigé page?? A. Barrage poids la figure 7.12 modélise de façon simple un barrage poids. Un barrage poids, doit pouvoir retenir par son propre poids l eau accumulée en amont. n se propose de caractériser l action mécanique de l eau, l effet de la gravité, puis l action du sol sur le barrage et définir les conditions de l équilibre. e : eau 0 x n z df e b H Q b : barrage s : sol FIGURE 7.12 barrage poids n note : df e b (Q = p(h ds n, l action élémentaire de la pression de l eau sur le barrage avec

14 88 7 Modélisation des actions mécaniques p(h = h ρ g la pression à la profondeur h,(ρmasse volumique de l eau et g = 9,81ms 2, ds l élément de surface sur lequel agit la pression, n la normale à la surface du barrage orientée vers l extérieur du solide. le point est à la surface de l eau, au milieu du barrage, H : la hauteur d eau, H t : la hauteur du barrage, b : la largeur de la base, L : la largeur du barrage, Q = ( 0, y, z. A.1. Action mécanique de l eau sur le barrage L action élémentaire de l eau sur le barrage s écrit : df e b = p(h ds n, l action totale s écrit donc : F e b = [N] df e b Q S Q1. Tracer l allure de la pression le long de la paroi du barrage. Q2. Déterminer F e b n note : M,e b = Q df e b [N m] Q S le moment de l action mécanique de l eau Q3. Déterminer M Q,e b en fonction de h, ρ, g et des coordonnées du point Q = ( 0, y, z. Q4. Montrer qu il existe un point B = ( 0, y I, z I de la paroi tel que : M I,e b = 0, Préciser les coordonnées en fonction de H. n note : { } { } F e b Ae b = M Q,e b le torseur de l action mécanique de l eau sur le barrage. Q5. Justifier que l action mécanique de l eau sur le barrage peut être représentée par un torseur. Q6. Écrire alors { A e b } en B, Quelle est la forme de ce torseur? Représenter l action mécanique de l eau sur le barrage en I. A.2. Action de la gravité L action élémentaire de la gravité sur un élément de masse du barrage s écrit : dp g b = g dm avec dm = μ d v (μ masse volumique du barrage supposée constante. L action totale de la gravité s écrit donc : P g b = dp g b P Q

15 7.6 Exercices de synthèse 89 Q7. Préciser les bornes d intégration de l intégrale Q8. Déterminer P g b n note : M P,e b = P df e b [N m] P S le moment de l action mécanique dû à la gravité sur le barrage. Q9. Déterminer M P,e b en fonction, de g, μ et des coordonnées de P = (x P, y P, z P. Q10. Montrer qu il existe un point G dit centre de gravité tel que M G,e b = 0. Préciser les coordonnées en fonction de H t la hauteur du barrage, L et b la largeur de la base du barrage. Q11. Écrire en G le torseur de l action mécanique de l action mécanique de la gravité. Quelle est la forme de ce glisseur? A.3. Étude de l action du sol sur le barrage L action mécanique du sol sur le barrage doit être telle que le barrage reste immobile sous l action de l eau et du poids. Si on note : { } { } F s b As b = M R,b s le torseur de l action mécanique en un point R, alors la condition d équilibre s écrit : { } } Ae b + {A g b + { } { } A s b = 0 Q12. Déterminer { A s b } en G. Q13. Montrer qu il existe un point J de la base du barrage tel que le torseur de l action mécanique du sol sur le barrage a la forme d un torseur glisseur. R Exercice 15- Barrage voute Corrigé page?? A. Barrage voute n considère maintenant un barrage voute (figure 7.13, le barrage a une forme demi cylindrique de rayon R, et de hauteur d eau H. Le barrage est en appui sur les cotés en A et B. n note df e b l action élémentaire de l eau sur un élément de surface ds du barrage. n considère que l origine du repère (, x, y, est au centre de la voute et à la surface de l eau. Q1. préciser les coordonnées du point P de la surface en contact avec l eau du barrage en coordonnées cylindrique Q2. Déterminer df e b en fonction de n,ds, ρ,etz P la coordonnée suivant de P. Q3. Déterminer F e b, préciser les projections suivant x et. Q4. Déterminer les actions mécaniques nécessaire en A et B pour que le barrage tienne.

16 90 7 Modélisation des actions mécaniques eau n P θ A x y B FIGURE 7.13 Barrage voute Exercice 16- Quart de disque Adapté du Concours National DEUG - CCP Soit une plaque (P en forme d un quart de disque de rayon a et d épaisseur négligeable devant le rayon a. n note μ la masse surfacique du matériau constituant la plaque (P. Le référentiel terrestre R 0 est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère (, x 0, y 0, z 0. Q1. Déterminer la masse M de la plaque (P en fonction de μ et a. Q2. Déterminer la position du centre d inertie G de la plaque y 0 Corrigé page?? x 0 FIGURE 7.14 Quart de disque

17 7.7 Prise en compte des frottements Prise en compte des frottements Le contact réel entre deux solides ne peut se faire sans frottements. Ils sont souvent néfastes si on considère l énergie dépensée pour les vaincre mais nécessaire pour assurer la stabilité (pneus sur route! Contact ponctuel réel Soient deux solides S 1 et S 2 en contact ponctuel en I (figure Le torseur des actions transmissibles par la liaison ponctuelle réelle en I du solide S 1 sur le solide S 2 s écrit : { { } R 1 2 = N 12 n + } T 12 A1 2 = M I,1 2 = Mp 12 n + Mr 12 avec n, la normale au plan tangent au contact orientée de S 1 vers S 2, N 12, la projection sur n de la résultante du torseur R 1 2, T 12, la composante dans le plan tangent de R 1 2 (la direction est à priori inconnue, Mp 12, la projection sur n du moment du torseur (moment de pivotement autour de l axe ( I, n, Mr 12, la composante dans le plan tangent (moment de roulement. I Cône de frottement V I 2/1 S 2 n t S 1 n FIGURE 7.15 Contact ponctuel réel Le mouvement de S 2 par rapport S 1 est définie par le torseur cinématique suivant : { { } Ω 2/1 = Ωp 21 n + } Ωr 21 V2/1 = V I 2/1 I I R 1 2 t Ωp 12 : composante de pivotement autour de ( I, n, Ωr 12 : composante de roulement dans le plan tangent, V I 2/1 n = 0 : condition nécessaire au maintien du contact entre S 2 et S 1.

18 92 7 Modélisation des actions mécaniques Lois de Coulomb - Détermination de la résultante Les lois de Coulomb permettent de déterminer la résultante de l action réelle entre deux solides en contact ponctuel, en fonction des trois cas suivant : Absence de frottement : alors la résultante ne comporte qu une composante normale, la composante tangentielle est nulle quelque soit le mouvement : R 1 2 R 1 2 = N 12 n T 12 = I 0 1 Frottement et glissement : la vitesse de glissement est non nulle ( V I 2/1 0et V I 2/1 n = 0. Les lois de Coulomb précisent alors que la composante tangentielle de la résultante est colinéaire au vecteur V I 2/1 mais de sens opposé (les frottements s opposent au déplacement, que le module de l effort tangentiel est proportionnel à la composante normale, 2 soit : n note : V I 2/1 T 12 = 0 V I 2/1 T 12 < 0 T 12 = f N12 génératrices du cône de frottement R 1 2 N 12 I T 12 f = tanϕ 1 ϕ 2 V I 2/1 f est le coefficient(facteur de frottement entre les deux solides, il dépend de la nature des matériaux en contact, de la qualité des surfaces frottantes et de la lubrification. La résultante de l action de contact entre les deux solides est sur le cône de frottement(figure n note φ le demi-angle au somment du cône de frottement. La résultante ne peut se trouver que sur le cône.

19 7.7 Prise en compte des frottements 93 Frottement sans mouvement V I 2/1 = 0, le module de la composante tangentielle n est alors connu que par une inégalité, T 12 fa N 12 génératrices du cône de d adhérence R 1 2 N 12 et sa direction ne peut être déterminée (la résultante est dans le cône de frottement. ϕ a 2 I T 12 f a > f avec f a = tanϕ a 1 n constate expérimentalement que l effort nécessaire pour initier le déplacement d un corps sur un autre est supérieur à l effort nécessaire pour maintenir le glissement. Dans le cas de l adhérence, on ne connaît pas l effort tangentiel, si ce n est par sa borne supérieure, pour étudier les efforts on suppose alors que le mouvement va se déclencher. n suppose que le solide est à la limite du glissement dans une direction supposée déduite des des efforts appliqués, avec V I 2/1 la vitesse supposée en I entre les deux solides. n détermine alors l effort tangentiel comme dans le cas précédent : génératrices du cône de d adhérence R 1 2 N 12 V I 2/1 T 12 = 2 0 V I 2/1 T 12 < 0 T I T 12 = fa N ϕ a V I 2/1 Roulement sans glissement : le cas précédent avec V I 2/1 = 0, si les frottements ne sont pas nuls, alors on se trouve dans T 12 fa N 12. n détermine la composante tangentielle en se mettant à la limite du glissement (dérapage, et on applique les conclusions précédentes. À ce frottement, peut se rajouter un frottement de roulement, décrit plus loin. Quelques valeurs de f et f a Les deux coefficients sont déterminés expérimentalement.

20 94 7 Modélisation des actions mécaniques Surface en contact f a f Acier sur acier (sec 0,60 0,40 Acier sur acier (visqueux 0,10 0,05 Acier sur bois 0,20 à 0,60 - Acier sur glace 0,04 - Aluminium sur aluminium 1,10 - Aluminium sur acier 0,6 0,5 Bois sur bois 0,25 à 0,50 - Câble en acier sur poulie en acier 0,20 0,15 Caoutchouc sur acier 0,40 0,30 Caoutchouc sur béton 0,50 à 0,90 - Caoutchouc sur glace 0,05 à 0,30 - Pneus en bon état sur pavage sec 0,90 0,80 Pneus usés sur pavage humide 0,10 à 0,20 0,05 à 0,10 Téflon sur téflon 0,04 - Téflon sur acier 0,04 0,04 Plusieurs paramètres influent sur ces coefficients, entre autres : la nature des surfaces ; la rugosité des surfaces ; la lubrification ; la déformation locale ; la vitesse. Tous ces paramètres font que les valeurs de ces coefficients ne sont que des valeurs moyennes à manipuler avec précaution. De manière générale et compte tenu de la remarque précédente, dans les calculs, on ne considère qu un seul type de coefficient, le coefficient de frottement Détermination du moment M I,1 2 Par analogie avec le frottement de glissement, on définit un couple de résistance au pivotement et un couple de résistance au roulement. Ces couples résistants interviennent dès que le contact ne peut plus être considéré comme ponctuel mais suivant une surface localisée (écrasement, la répartition non homogène des actions élémentaires de contact créant alors ces moments résistants. Les lois de contact entre deux solides sont complexes, et des lois semblables aux lois de Coulomb pour les frottements de glissement ont été formulées pour modéliser ces phénomènes. Résistance au roulement : si Ωr 21 0, alors si Ωr 12 0, alors Mr 12 = h N12 avec h le coefficient de frottement de roulement ; 2 II R I1 n R 1 2 Ω 2/1 1 Répartition symétrique de la pression de contact : h = 0 Répartition asymétrique de la pression de contact : h = II

21 7.7 Prise en compte des frottements 95 Résistance au pivotement : si Ωp 12 0, alors Mp12 = k N12 avec k le coefficient de frottement de pivotement.. Remarque : les deux coefficients h et k sont homogènes à une longueur Frottements fluides - visqueux Le modèle des lois de Coulomb pour les frottements est parfois insuffisant pour décrire la nature du contact entre deux solides. Il est parfois nécessaire de remplacer ou de compléter ce modèle par la prise en compte d un effet dû à la vitesse de déplacement. F 1 2 = f v V I 2/1 avec f v en [N s m 1 ]. Dans ce modèle, l action mécanique d un solide sur l autre est inversement proportionnelle à la vitesse de déplacement relative.

22 96 7 Modélisation des actions mécaniques 7.8 Actions mécaniques particulières Action mécanique développée par un ressort de traction-compression Soit deux solides (1 et (2 liés par un ressort de traction-compression : delongueuràvide:l 0 [m] ; de raideur : k [N m 1 ]; A et B, les points d application de l action du ressort sur les solides 1 et 2 ; d axe ( A, u. L action mécanique développé par le solide (1 sur le solide (2 par ressort est proportionnelle à variation de longueur du ressort : R 1 2 = k (l l 0 u L action mécanique développée par le ressort est donc modélisable par un torseur glisseur : {R 1 2 } = { } R B longueur à vide :l A l A l B B R 1 2 = 0 u l l 0 R 1 2 = k (l l 0 u u Action mécanique développée par un ressort spiral L action mécanique appliquée par le ressort spiral, du solide 1 sur le solide 2 (figure 7.16 est un couple proportionnel à la différence angulaire. C 1 2 = k c (θ θ 0 1 avec : k c la raideur du ressort [N rad 1 ]. Le torseur associé à l action mécanique d un ressort spiral est un torseur couple { { } } 0 C1 2 = C 1 2 P Action mécanique d un moteur De la même manière l action mécanique appliqué par le stator d un moteur sur le rotor est modélisée par un torseur couple : { { } } 0 Cs r = C m = C m u P avec u l axe de rotation du rotor.

23 7.8 Actions mécaniques particulières 97 y 1 y 1 x 2 θ x 1 x 1 θ 0 θ 0 FIGURE 7.16 Ressort spiral Action transmissible par un engrenage a Engrenage droit dans le cas d un engrenage droit à dentures parallèles, l action mécanique transmise par une roue dentée sur l autre se fait suivant la droite d action. Elle est représentable par un torseur glisseur en I. Ligne de pression α = 20 y 1 F 2 1 x 1 1 I 2 FIGURE 7.17 Action mécanique dans un engrenage Le torseur de l action mécanique de la roue 2 sur la roue 2 s écrit en I : { { } } F 2 1 A2 1 = 0 soit en projection dans la ( x1, y 1, z 1 { { } } F 2 1 A2 1 = 0 I I ɛ 1 F 2 1 sinα 0 = ɛ 2 F 2 1 cosα I ( x 1, y 1, z 1

24 98 7 Modélisation des actions mécaniques avec ɛ 1 =±1etɛ 2 =±1 en fonction du repère et du sens de rotation de la roue 1. Dans le cas de la figure 7.17, on a : { { } } F 2 1 A2 1 = 0 I +F 2 1 sin20 0 = F 2 1 cos I ( x 1, y 1, z 1 b Engrenage hélicoïdal Pour un engrenage droit à denture hélicoïdale, il est nécessaire de prendre en compte l angle d hélice. FIGURE 7.18 Action mécanique sur une denture hélicoïdale (crédit Pierre Provot Action transmissible par un système vis-écrou 7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées Dans cette partie nous traiterons que le cas des liaisons parfaites, c est-à-dire sans frottements Liaison Sphère-Plan (ponctuelle parfaite Nous avons déjà vu que le torseur de l action ponctuelle parfaite s écrit en I, le point de contact entre les deux solides : { A1 2 } = { F 1 2 M I,F1 2 = 0 } I

25 7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées 99 ( n,?,?, le torseur de l action trans- Dans toute base contenant le vecteur normal au plan tangent : missible par une liaison ponctuelle est de la forme : { } F A1 2 = Cette forme est valable en tout point P de l axe ( I, n { } F A1 2 = ( I n,?,? P (I, n ( n,?,? S 2 S 1 n F 1 2 t I v = n t n S 1 t P v = n t S 2 df 1 2 (Q ds (a Contact Spère-Plan (b Contact Appui plan FIGURE 7.19 Modélisation des contacts parfaits Le torseur cinématique d une liaison sphère-plan s écrit : { } ω 1 0 V2/1 = ω 2 V 2 ω 3 V 3 P (I, n ( n,?,? n remarque que { V2/1 } { A1 2 } = 0 Le( comoment des deux torseurs est nul. n,?,? : indique que cette forme est valable dans toute base contenant le vecteur n, P ( I, n précise que le torseur à la forme proposée en tout point de l axe ( I, n. n rema

26 100 7 Modélisation des actions mécaniques Liaison Appui-Plan Le torseur d un contact surfacique plan de normale n s écrit en un point : { } F 1 2 = A1 2 = M,F1 2 = P S Q S df 1 2 (Q Q df 1 2 n considère que la surface de contact est rectangulaire : S = 2 a 2 b, que la pression de contact est uniforme : p(q = p 0 constant Le torseur s écrit donc : { A1 2 } = F 1 2 = p P S M,F1 2 = p ds n = p S n Q ds n Déterminons le moment en, on pose Q = x t +y v avec ( n, t, v une base orthonormée directe. n pose : M t ( = p 0 M v ( = p 0 Q S Q S y ds x ds M,F1 2 = p 0 M,F1 2 = p 0 M,F1 2 = p 0 Q S Q S Q S Q S Q ds n ( x t + y v ds n x ds v p 0 Q S y ds t Le torseur de l action transmissible par la liaison appui plan s écrit donc : { { } F 1 2 = F 1 2 } n A1 2 = M,F1 2 = M t ( t + M v ( v F = 0 M t ( 0 M v ( ( n, t, v Montrons que cette forme est vraie en tout point P = (n, t, v de l espace.

27 7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées 101 Déterminons le moment en P de l action de pression : Le torseur s écrit donc en P : M P,1 2 = M,1 2 + P F 1 2 n M P,1 2 = M t ( t + M v ( v + ( n n + t t + v v F 1 2 n M P,1 2 = M t ( t + M v ( v t F 1 2 v + v F 1 2 t M P,1 2 = (M t ( + v F 1 2 t + (M v ( t F 1 2 v M P,1 2 = M t (P t + M v (P v { { } F 1 2 = F 1 2 } n A1 2 = M P,F 1 2 = M t (P t + M v (P v P F = 0 M t (P 0 M v (P P ( n, t, v Le torseur a bien la même forme en tout point de l espace, la forme canonique de ce torseur est donc : { { } F 1 2 = F 1 2 } n F A1 2 = M P,F 1 2 = M t t + M v = 0 M v t P 0 M v P ( n, t, v Remarque 1 : : on comprend bien ici que même forme n implique pas même valeur, le torseur en P à la même forme que le torseur en mais les moments en P et en sont différents. Remarque 2 : : définir le torseur d une liaison sous sa forme la plus générale laisse la liberté de choisir le point et la base de réduction les plus judicieux pour les calculs, mais une fois que ce point est choisi, les valeurs sont imposées. Remarque 3 : : on note en général le torseur de l action mécanique transmissible par la liaison sous la forme : { } 12 L 12 A1 2 = Y X 12 M 12 Z 12 N 12 P ( x, y, Relation entre torseur cinématique et torseur des efforts transmissibles par un liaison Reprenons l exemple de l appui plan de l exemple précédent. Dans la base ( x, y, le torseur des actions transmissibles par une liaison appui plan de normale s écrit : { } 0 L 12 A1 2 = 0 M 12 = Z 12 0 P ( x, y, { R 1 2 = Z 12 M P,1 2 = L 12 x + M 12 y } P

28 102 7 Modélisation des actions mécaniques Le torseur cinématique de cette même liaison s écrit : { } 0 V x { Ω 2/1 = ω z } z V2/1 = 0 V y = V ω z 0 P 2/1 = V x x + V y y P P ( x, y, Calculons le comoment des deux torseurs : { } { } A1 2 V2/1 = R 1 2 V P 2/1 + Ω 2/1 M P,1 2 { } { } ( A1 2 V2/1 = Z12 (V x x + V y y + ( ω z (L 12 x + M 12 y { } { } A1 2 V2/1 = 0 Le comoment du torseur cinématique et du torseur des efforts transmissible d une liaison parfaite est nul. Le torseur cinématique et le torseur des efforts transmissibles d une liaison sont deux torseurs duaux.

29 7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées Tableau des liaisons normalisées n retrouve dans chaque tableau : n c : le nombre d inconnue cinématique ; n s : le nombre d inconnue statique ; les symboles normalisés plans ; le symbole 3D. (?, Remarque : dans les tableaux qui suivent,?, se lit toute base comportant le vecteur.

30 104 7 Modélisation des actions mécaniques Torseur cinématique ω x 0 0 0, n c = P (, ( x x,?,? Liaison Pivot Liaison Pivot d axe (, x Torseur des actions transmissibles X 0 Y M, n s = 5 Z N P (, ( x x,?,? y x x y Liaison Glissière Liaison Glissière de direction x 0 V x 0 L 0 0, n c = 1 Y M, n s = Z N ( P x ( P,?,? x,?,? y x x y ω x V x P (, ( x x,?,? Liaison Hélicoïdale Liaison Hélicoïdale d axe (, x V x = p 2 π ω X L x Y M n c = 1 Z N P (, ( x x,?,? L = p 2 π X n s = 5 y x x y ω x V x P (, ( x x,?,? Liaison Pivot Glissant Liaison Pivot Glissant d axe (, x, n c = Y M, n s = 4 Z N P (, ( x x,?,? y x x y

31 7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées 105 ω x 0 ω y 0 ω y 0 C B, n c = 3 Liaison Sphérique Liaison Sphérique de centre C X 0 Y 0 Z 0 C B, n s = 3 x x y Liaison Sphérique à doigt Liaison Sphérique à doigt de centre C et de doigt a xex ω x 0 X 0 ω y 0, n c = 2 Y 0, n s = Z N C B C B x x y Liaison Appui Plan Liaison Appui Plan de normale 0 V x 0 L 0 V z, n c = 3 0 M, n s = 3 ω z 0 Z 0 ( P?, ( P?,?, z?, x x y Liaison Sphère Cylindre - Linéaire Annulaire Liaison Sphère Cylindre de centre C et d axe ( C, x ω x V x 0 0 ω y 0, n c = 4 Y 0, n s = 2 ω z 0 Z 0 ( C x ( C,?,? x,?,? y x x y

32 106 7 Modélisation des actions mécaniques Liaison Cylindre Plan - Linéaire Rectiligne Liaison Cylindre Plan de normale et de droite ( I, x, I un point de la droite de contact ω x V x 0 V y, n c = 4 ω z 0 P (I, x ( x, y, M, n s = 2 Z 0 P (I, x ( x, y, y x x y Liaison Sphère Plan - ponctuelle liaison Sphère Plan de normale ( I,, I point de contact ω x V x 0 0 ω y V y, n c = 5 0 0, n s = 1 ω z 0 P (I, ( Z 0 z?, P (I, (?,?, z?, x x y