10. Additionner des ondes électromagnétiques

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1 10. Additionner des ondes électromagnétiques Position du problème Lorsque l on superpose des ondes électromagnétiques, ce sont les amplitudes des champs qui s ajoutent. Il s agit donc d une addition de vecteurs. Pour étudier les différents effets physiques résultant de cette addition, on est amené à se poser plusieurs questions : Quelle est la dépendance temporelle de la superposition? En particulier, que se passe t il lorsque l on superpose deux ondes monochromatiques de fréquences diférentes? Quelle est la polarisation du champ résultant? Quelle est la dépendance spatiale? Pour chacune de ces questions, nous nous intéresserons au champ électrique et à l énergie. Nous considérerons l addition de deux ondes planes progressives monochromatique E 1 et E polarisées linéairement, ) E 1 r, t) = E 1 cos k1 r ω 1 t + ϕ 1 u ) ) E r, t) = E cos k r ω t + ϕ u 10.) 10.. Battements entre deux ondes Nous considérons l effet d une différence de fréquence entre les deux ondes. Nous supposons la direction de propagation, et l amplitude et polarisation identiques : la propagation se fait selon u z, la polarisation est linéaire et alignée selon u x et les amplitudes sont E 1 = E = E 0 z ) ] z ) ]) E r, t) = E 0 cos [ω 1 c t + ϕ 1 + cos [ω c t + ϕ u x 10.3) La trigonometrie nous permet d obtenir l expression de ce champ sous la forme d un produit : E r, t) = E 0 cos [ ω1 + ω c z ct) + ϕ ] [ 1 + ϕ ω1 ω cos z ct) + ϕ ]) 1 ϕ u x c 10.4) 95

2 Addition d ondes electromagnetiques Cette onde est une fonction de z ct) c est donc une onde plane progressive. Son champ magnétique est alors : B = 1 c u z E. 10.5) Le vecteur de Poynting est donc : Π = ε 0 c E u z 10.6) Si ω 1 = ω = ω 0 les deux ondes interfèrent. Dans le cas où les deux ondes ont la même pulsation, le champ électrique est : ) [ ϕ1 ϕ ω0 E r, t) = E 0 cos cos c z ct) + ϕ ]) 1 + ϕ u x 10.7) Le résultat est une onde de même pulsation que les deux ondes que l on a ajoutées. L amplitude de cette onde est E 0 cos ϕ 1 ϕ ), cette amplitude dépend de la différence de phase ϕ 1 ϕ entre les deux ondes. Déterminons le vecteur de Poynting associé à cette onde. Puisqu il sagit d une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est directement relié au champ électrique par : ) [ Π = 4ε 0 ce0 cos ϕ1 ϕ cos ω0 c z ct) + ϕ ] 1 + ϕ. 10.8) Le vecteur de Poynting moyen sur une période) est donc Π = 4 cos ϕ1 ϕ ) ε0 ce ) AInsi, alors que les champs électriques des deux ondes s additionnent, cela n est pas le cas pour l énergie transportée : il s agit du phénomène d interférences. Nous distinguons 3 cas : Les deux ondes sont en phase : ϕ 1 = ϕ + nπ Π = 4 ε 0cE ) La puissance transportée est quatre fois la puissance d une des ondes, c est à dire le double de la somme des puissances des deux ondes. On parle d interférences constructives. Les deux ondes sont en opposition de phase ϕ 1 = ϕ + nπ : Π = ) Les deux ondes se compensent, il s agit d interférences destructives. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

3 10.. Battements entre deux ondes 97 Les deux ondes sont en quadrature ϕ 1 = ϕ + π + nπ : Π = ε 0cE ) La puissance est bien égale à la somme des puissances des deux ondes. Cela est général, quand deux ondes de même pulsation sont en quadrature de phase, leurs puissances s ajoutent en valeur moyenne), même si leurs amplitudes diffèrent. Si ω 1 ω on a un phénomène de battement. Le champ électrique apparait comme une onde de pulsation ω 1+ω qui est modulée à la pulsation ω 1 ω. Pour alleger les formules, nous suppeserons que l origine des temps est choisie à un instant où les deux ondes sont en phase soit et nous supposerons de surcroit que cette phase est nulle) E r, t) = E 0 cos [ ω1 + ω c ] [ ] ω1 ω z ct) cos z ct) u x 10.13) c On peut interpréter ces battements en considérant que la phase d une onde dérive par rapport à celle de l autre onde en écrivant : z )] z ) ]) E r, t) = E 0 cos [ω 1 c t + cos [ω 1 c t + φ z, t) u x 10.14) z ) φ z, t) = ω ω 1 ) c t ) Cette écriture n a réellement de sens que lorsque la diférence de fréquence ) est trés petite. Dans cette situation, le temps que la phase met pour évoluer π ω ω 1 est beaucoup plus grand que la période π ω 1 de l onde. On oscille alors périodiquement entre une situation ou les deux ondes sont en phase et où elles interfèrent constructivement à une situation ou elles sont en opposition de phase et où elles interfèrent destructivement. Pour déterminer le vecteur de Poynting, il est préférable de ne pas factoriser : Π = ε 0 c E = ε0 ce0 = ε 0 ce 0 [ ω1 ] [ cos c z ct) ω + cos cos [ ω 1 c z ct) ] + cos [ ω c z ct) ] + cos Le vecteur de Poynting moyen est ]) c z ct) 10.16) [ ] ω1 + ω z ct) + ω ) 1 ω z ct) c c 10.17) Π = ε 0 ce ) Lorsque l on superpose deux ondes de pulsations différentes, leurs puissances moyennes s ajoutent. Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

4 Addition d ondes electromagnetiques On peut être plus précis et discuter de ce qui se passe en fonction de la durée pendant laquelle on cherche à mesurer la puissance de l onde. En effet, si les deux ondes ont presque la même pulsation ω 0, l un des termes obtenus dans le vecteur de Poynting π ω ω 1 oscille avec un période. Par conséquent, si l on réalise une mesure sur un temps beaucoup plus court que cette période mais toujours beaucoup plus long que la période de l onde), le terme d interférence ne se moyenne pas à zéro Polarisation On suppose maintenant les pulsations des deux ondes identiques, de même que leur direction et sens de propagation Supperposition de deux polarisations linéaires Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogonales. E 1 r, t) = E 1 cos kz ωt + ϕ 1 ) u x 10.19) E r, t) = E cos kz ωt + ϕ ) u y. 10.0) Comme dans le premier cas, la somme de ces deux ondes ne dépend que de z ct). Il s agit par conséquent d une onde plane progressive et il suffit d étudier l évolution du champ élecrique en un point. De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation elliptique contenue dans le rectangle défini par E 1 < x < E 1 et E < y < E. La nature exacte de la polarisation dépend de la phase relative entre les deux ondes Ondes en phase : ϕ ϕ 1 = 0 : Les deux ondes sont en phase, le champ électrique s écrit : E 1 r, t) = cos kz ωt + ϕ 1 ) [E 1 u x + E u y ] 10.1) Les coordonnées du champ électrique vérifie l équation E x E y = 0 10.) E 1 E Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle est selon la première diagonale du rectangle. Ondes en opposition de phase ϕ ϕ 1 = π : phase, le champ électrique s écrit : Les deux ondes sont en opposition de E 1 r, t) = cos kz ωt + ϕ 1 ) [E 1 u x E u y ] 10.3) Les coordonnées du champ électrique vérifie l équation E x + E y = ) E 1 E Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire elle est selon la seconde diagonale du rectangle. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

5 10.3. Polarisation 99 Ondes en quadrature ϕ ϕ 1 = π/ Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s écrit : E 1 r, t) = E 1 cos kz ωt + ϕ 1 ) u x + E cos kz ωt + ϕ 1 + π ) u y 10.5) = E 1 cos kz ωt + ϕ 1 ) u x E sin kz ωt + ϕ 1 ) u y 10.6) Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy. L équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est ) ) Ex Ey + = ) E 1 La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à cellequi est selon Ox, autrement dit l ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique. La polarisation est elliptique gauche. Si les amplitudes E 1 et E sont égales, la polarisation est circulaire. E E 1 r, t) = E 0 cos kz ωt + ϕ 1 ) u x sin kz ωt + ϕ 1 ) u y ) 10.8) Le module du champ élelectrique reste constant au cours du temps. Le champ electrique parcours un cercle : E x + E y = E ) Ondes en quadrature ϕ ϕ 1 = π/ Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s écrit : E 1 r, t) = E 1 cos kz ωt + ϕ 1 ) u x + E cos kz ωt + ϕ 1 + π ) u y 10.30) = E 1 cos kz ωt + ϕ 1 ) u x + E sin kz ωt + ϕ 1 ) u y 10.31) Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy. L équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est ) ) Ex Ey + = ) E 1 C est la même équation que dans le cas qui précède, mais l ellipse est parcourue dans l autre sens. La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à cellequi est selon Ox, autrement dit l ellipse est parcourue selon le sens horaire. La polarisation est elliptique droite. Si les amplitudes E 1 et E sont égales, la polarisation est circulaire. E Energie Nous avons une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est donc Π = ε 0 c E 1 + E = ε 0 c E1 ) + E1 + E1 E 10.33) 10.34) Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

6 Addition d ondes electromagnetiques Puisque les deux polarisations sont orthogonales, le terme croisé est nul. Il n y a pas d interférence et l intensité du faisceau est la somme des intensités des deux faisceaux incidents. Ce résultat ne dépent pas de la phase relative des deux faisceaux Polarisation circulaire Somme de deux ondes circulaires Nous considérons maintenant deux polarisations circulaires de même amplitude, mais de sens inverse. Pour simplifier les calculs, nous nous plaçons à l origine et nous prenons la phase de la première onde égale à zero soit : E 1 t) = E 0 [cos ωt) u x + sin ωt) u y ] 10.35) E t) = E 0 [cos ωt + ϕ) u x sin ωt + ϕ) u y ] ) La somme de ces deux polarisations est : E t) = E 0 [cos ωt) + cos ωt + ϕ)] u x + [sin ωt) sin ωt + ϕ)] u y ) 10.37) = E 0 [cos ωt + ϕ ) cos ϕ u x cos ωt + ϕ ) sin ϕ ] u y 10.38) = E 0 cos ωt + ϕ ) [ cos ϕ u x sin ϕ ] u y 10.39) La somme de deux polarisations circulaires de sens opposé et de même pulsation est une polarisation linéaire dont l orientation dépend du déphasage entre les deux ondes. Notation complexe La circulaire gauche est Par conséquent : E g t) = E 0 [cos kz ωt) u x sin kz ωt) u y ] 10.40) ] = E 0 R [e ikz ωt) u x + ie ikz ωt) u y ) E g t) = E 0 e ikz ωt) u x + i u y ) 10.4) La circulaire droite est E d t) = E 0 u x i u y ) 10.43) Polariseurs Polariseur parfait Un polariseur parfait projette le champ électrique de l onde sur une direction particulière n appelée axe du polariseur. L onde en sortie est ) E t) = E0 t) n n 10.44) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

7 10.4. Interférences 101 Dans le cas ou la polarisation incidente est linéaire et fait un angle θ avec l axe du polariseur, l amplitude du champ électrique est multipliée par le facteur cos θ et donc l intensité est multiplié par le caré de ce cosinus. C est la loi de Malus. I 1 = I cos θ 10.45) La partie non transmise de la lumière est absorbée par le polariseur. Si l axe du polariseur est orthogonal avec la polarisation incidente, aucune lumière n est transmise. Séparateur de polarisation Un séparateur de polarisation est un dispositif optique qui sépare la lumière incidente en deux composantes de polarisation orthogonales. Si l on envoie une polarisation linéaire sur un tel dispositif, on peut appliquer la loi de Malus à chacune des sorties, les intensités de ces deux sorties sont alors : I 1 = I 0 cos θ 10.46) I = I 0 sin θ 10.47) la somme des deux intensités est bien l intensité initiale, autrement dit le séparateur de polarisation répartit la lumière entre les deux sorties. Polariseurs imparfaits La reflexion de la lumière sur un dioptre ou la diffusion par des molécules polarise en partie la lumière Lumière naturelle Une lumière parfaitement monochromatique est polarisée. Par contre, dès que l on ajoute des ondes de fréquence différentes, la situation est analogue à celle des battements : l état de polarisation évolue au cours du temps et si on regarde sur une durée longue devant ce temps d évolution, on voit une lumière qui peut être non polarisée. La lumière des sources à incandescence ou à décharge, de même que la lumière solaire ne sont pas polarisées. La lumière diffusée par le ciel est polarisée. La lumière d un laser est en général polarisée linéairement Interférences Superposition de deux ondes Nous sommes maintenant parés pour étudier la supperposition de deux ondes planes ) E 1 r, t) = E 1 cos k1 r ω 1 t + ϕ 1 u ) ) E r, t) = E cos k r ω t + ϕ u 10.49) Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

8 Addition d ondes electromagnetiques Nous savons que : si les deux ondes ont des fréquences différentes, il n y a pas d interférences on a éventuellement des battements). si les deux ondes ont des polarisations orthogonales, leurs intensités s ajoutent et il n y a pas d interférences. Nous supposerons donc dans la suite que les deux ondes ont même fréquence et même polarisation. Par contre, nous ne supposerons pas qu elles sont planes et nous écrirons E 1 r, t) = E 1 cos ϕ 1 r) ωt) u 10.50) E r, t) = E cos ϕ r) ωt) u 10.51) ϕ 1 r) et ϕ r) sont les phases de chacune des ondes. Pour une onde plane Pour une onde sphérique où r i est la distance du point consiréré à la source de l onde i Amplitude du champ électrique ϕ i r) = k i r 10.5) ϕ i r) = kr i 10.53) Pour ce calcul il est beaucoup plus simple de travailler en notation complexe. E r, t) = E 1 r) e iϕ1 r) ωt) u + E r) e iϕ r) ωt) u 10.54) ) = E 1 r) e iϕ1 r) + E r) e iϕ r) e iωt. u 10.55) Plutot que de s embarasser en permanence avec les facteurs numériques du vecteur de Poynting moyen, on utilise l intensité du faisceau lumineux défini comme la moyenne temporelle du carré du champ électrique : I = 1 E 1 r) e iϕ1 r) u + E r) e iϕ r) 10.56) = 1 E 1 r) + E r) + R E )) 1 r) E r) e iϕ 1 r) ϕ r)) 10.57) = I 1 + I + I 1 I cos ϕ 1 r) ϕ r)) 10.58) En chaque point de l espace on retrouve un résultat analogue à ce que l on avait trouvé pour deux ondes planes de même direction et de même pulsation. L intensité n est pas la somme des intensités des deux ondes : il y a des interférences. Le fait que ces interférences soit constructives ou destructives dépend de la différence de phase des deux ondes. Cette différence de phase dépend de la position du point étudié. Dans le cas ou les amplitudes des deux ondes sont les mêmes, l intensité est I = I cos ϕ 1 r) ϕ r))) 10.59) = 4I 0 cos ϕ 1 r) ϕ r)) 10.60) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

9 10.4. Interférences 103 Si les amplitudes sont différentes le résultat s écrit I = I 1 + I ) 1 + C cos ϕ 1 r) ϕ r))) 10.61) C = I 1 I I 1 + I 10.6) Il n y a pas d interférences destructrices totales. Le coefficient C est appelé contraste ou visibilité des interférences Propriétés générales des interférences entre deux ondes Reprenons l expression générale que nous avons obtenue : I = I 1 + I ) 1 + C cos ϕ 1 r) ϕ r))) 10.63) C = I 1 I I 1 + I 10.64) Le phénomène d interférence est associé à la différence ϕ 1 r) ϕ r) entre les phases des deux ondes. Quelle que soit l amplitude des deux ondes, c est cette différence de phase qui détermine la position des maxima et des minima d intensité. Toute étude de l interférence entre deux ondes commence donc impérativement par la détermination de la différence de phase. Il est alors souvent très utile de déterminer la position des maxima et minima d intensité. L amplitude des ondes détermine le contraste des interférences. Il détermine l enveloppe des oscillation spatiale de l intensité lumineuse due à la différence de phase Addition d ondes planes Nous analysons les interférences de deux ondes planes de même amplitude dont les direction de propagation font un angle θ. Surfaces d intensité maximale Nous considérons une situation ou les deux vecteurs d ondes sont dans le plan yoz k 1 = k sin θ u y + cos θ u z ) 10.65) k = k sin θ u y + cos θ u z ) 10.66) On en déduit les phases des deux ondes ϕ 1 x, y, z) = k sin θ y + k cos θ z + φ ) ϕ x, y, z) = k sin θ y + k cos θ z + φ 10.68) où φ 1 et φ sont les phases des deux ondes à l origine. L intensité est I x, y, z) = 4I 1 cos ky sin θ + ϕ ) 1 ϕ Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

10 Addition d ondes electromagnetiques Les surfaces d intensité maximale appelées franges brillantes) sont les surfaces pour lesquelles l argument du cosinus est égal à mπ où m est entier c est à dire y = λ m + ϕ ) ϕ 1 sin θ π Ce sont des plans parallèles à xoz, c est à dire au plan bissecteur des vecteurs k 1 et k. Ces plans sont équidistants : la distance i entre ces plans correspond à un accroissement de m égal à 1, soit i = λ sin θ Lorsqu on introduit un écran parallèle à xoy par exemple, on observe donc une alternance de franges linéaires brillantes et de franges linéaires sombres. La distance i entre franges brillantes ou sombres) est appelée interfrange. i peut être beaucoup plus grand que λ, et donc facilement observable à l oeil, si θ est petit. Par exemple : y 1mm si θ 10 3 rd et λ = 1µm. De telles interférences sont utilisées pour impressionner des surfaces sensibles afin de fabriquer des réseaux. Ce type d interférence est aussi utilisé dans les techniques de vélocimétries. Une particule en mouvement dans une zone ou interfèrent deux ondes planes passe successivement dans des maxima et minima d intensité lumineuse. Une mesure de la fréquence du clignottement de la lumière qu elle diffuse permet de déterminer sa vitesse Addition d ondes sphériques Cette situation correspond à deux antennes mises côte à côte sur l axe Oz et distantes de a. Ces dipôles sont pacés de part et d autre de l origine aux points a 1 = a u z et a = a u z. On ne prejugera pas de l orientation de ces antennes, la seule hypothèse et que leurs directions sont parallèles. On indiquera par α l angle entre la direction d observation et l axe de l antenne qui ne sera pas confondu avec l angle θ que fait le rayon vecteur r avec l axe Oz). Les champs électriques de ces deux antennes sont : avec E 1 = ω 4πε 0 c p e ikr1 ωt) 1 sin α 1 u α ) r 1 E = ω 4πε 0 c p e ikr ωt) sin α u α 10.70) r r i = r a i 10.71) Lorsque l on se trouve loin des sources, on peut trouver une approximation de r i : r 1 = x + y + z + a ) = x + y + z + az + a 10.7) 4 = r 1 + az r + a 4r r + az ) r J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

11 10.4. Interférences 105 Quels facteurs diffèrent entre les deux ondes? L amplitude qui décroit en 1 r. Par conséquent la différence des amplitudes décroit en 1. L amplitude intervient uniquement dans le contraste des interférences, elle r ne joue aucun rôle dans leur existance. Dans notre cas, le contraste est quasiment 1 des que l on est loin des sources. La polarisation. L angle entre les deux polarisations est le même que celui qui existe entre les deux rayons vecteurs, cet angle tend vers zéro des que l on s éloigne. On notera que le facteur sin α associé au diagramme de rayonnement est le même pour les deux ondes des que l on est assez loin. La différence de phase qui intervient dans les interférences ϕ 1 r) ϕ r) = kr 1 + φ 1 ) kr + φ ) 10.74) ay r + φ 1 φ ) = a cos θ r, u z ) 10.75) cette différence de phase ne tend pas vers zero ou vers une constante quand on s éloigne de l origine. L intensité est donc Lieux des interférences constructrices I r) = I 0 r) cos k r1 r ) + φ ) 1 φ 10.76) I 0 r) = 1 r ω 4 3π ε 0 c4 p 1 sin α r, p 0 ) 10.77) Les surfaces d intensité maximales sont les lieux où les ondes provenant des deux sources arrivent en phase. Fig : Deux sources de rayonnement sont placées côte à côte. Elles émettent en phase un rayonnement monochromatique. Les deux familles de cercles concentriques représentées sur le schéma correspondent chacun à l ensemble des points distant de chacune des sources d un nombre entier de longueurs d ondes. Ces points oscillent donc tous en phase. A l intersection de ces familles de cercles, les interférences sont donc constructives. Tous ces points se trouvent sur une famille d hyperboles dont les foyers sont les deux sources. Dans l espace, les interférences sont constructives quand les deux ondes arrivent en phase, c est à dire lorsque la différence des distances r 1 et r qui séparent le point Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

12 Addition d ondes electromagnetiques d observation de chacune des deux sources est un multiple de la longueur d onde r 1 r = pλ où p est un entier relatif. Ces surfaces sont des hyperboloïdes de révolution. Fig. 10..: Les points de l espace où les interférences sont constructives sont des hyperboloides de révolution dont les foyer sont les deux points sources Pour un point situé sur la droite reliant les deux sources abscisse z, et se trouvant entre les sources la différence des distance qui le sépare de chacune des sources est : r 1 r = z + a z a = z les nappes d intensité maximale coupent donc le segment reliant les deux sources aux points d ordonnée z = mλ + λφ 1 φ ). 4π Surfaces d intensité maximale Lorsque l on n est pas très éloigné des sources, la différence d intensité entre les champs provenant des deux sources peut être notable. Le contraste des interférences n est donc pas l unité. Toutefois, les points où les interférences sont constructives correspondent aux "crêtes" d intensité : voir la figure suivante Diagramme de rayonnement par conséquent A grande distance on peut faire un développement r 1 r + az ) r r 1 r = az r = a cos θ 10.79) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

13 10.4. Interférences 107 Soit une intensité Fig : Les zones de même teinte correspondent aux points pour lesquels le module du champ électrique est compris entre deux valeurs. La zone est d autant plus sombre que le champ électrique est intense. Nous pouvons constater que les "crêtes" de la surface ou l altitude correspond à l amplitude du champ et dont nous voyons ici les courbes de niveau) sont les hyperboles correspondant aux interférences constructives. ka π ) I r, θ) = I 0 r) cos sin θ + φ ) 1 φ ) A grande distance, comme attendu pour raisons énergétiques, l intensité décroit en 1 r. A chaque hyperboloide correspond un lobe d émission. Fig : Diagramme de rayonnement en trois dimension de deux dipôles verticaux placés côte à côte. Les maxima des lobes correspondent aux angles θ m qui vérifient πa π ) ) λ sin θ φ1 φ + = mπ ou encore π ) sin θ = m λ a φ 1 φ λ π a Pour les lobes dont les directions sont proches du plan équatorial θ proche de π ) l écart endre deux lobes est θ = λ a Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

14 Addition d ondes electromagnetiques A grande distance, on peut chercher à déterminer les zones pour lesquelles le champ électrique ou le vecteur de Poynting) est supérieur à une valeur donnée. Ces zones sont homothétique du diagramme de rayonnement. Fig : En grisé : représentation à grande échelle des zones pour lesquelles le champ électrique est supérieur à une valeur donnée. En trait plein : diagramme de rayonnement du système dilaté. Ce diagramme de rayonnement correspond à l ensemble des points qui reçoivent une même puissance de l antenne composite. Image sur un écran Après avoir observé la position des interférences dans l espace, nous pouvons essayer de les oserver sur un écran. Plan perpendiculaire à l axe Ox. L écran est le plan perpendiculaire à l axe Ox situé à une distance D de l origine. Nous considérons les points proches de l axe 0x y,z << r ). r D, distance au plan d observation. que fait la droite qui joint l origine au point d observation avec le plan équatorial plan xoy ) est π θ) = z D. Les franges brillantes sont alors données par z = λd m + ϕ ) ϕ 1 a π Elles sont, comme dans le cas des ondes planes, situées dans des plans parallèles au plan médiateur de O 1 O. L interfrange i est la séparation entre deux plans d intensité maximale m et m + 1, soit i = λd a. Plan perpendicualire à l axe Oz 1 r 1 z x +y. D où z 3 x,y << z = D. Dans ce cas, r = z 1 + x +y, donc z r 1 r a 1 x + y ) z J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

15 10.4. Interférences 109 Les franges brillantes ont pour équation x + y z = 1 λ a m + ϕ ) ϕ 1 π Dans un plan parallèle à xoz situé à une distance y = D de O, les franges brillantes sont des cercles dont le centre est sur l axe O 1 O et de rayon R = x + y donné par R = D 1 λ m + ϕ )) ϕ 1 a π On obtient des anneaux alternativement brillants et sombres. La dernière formule montre que ces anneaux ne sont pas équidistants : Les anneaux se resserrent lorsque le rayon augmente. Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty