BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. 21 décembre 2015 SPECIFIQUE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL 1 décembre 015 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à 6 SPECIFIQUE L emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur. Le candidat doit traiter les quatre exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 1

2 Exercice 1 4 points Les questions numérotées de 1 à 4 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, trois affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte. Chaque réponse devra être justifiée. Une réponse exacte et justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, une réponse non justifiée ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Questions 1. La partie imaginaire de (+i) 4i 4 5 Réponses. z z +1 a pour racine aucune 1+ 3i 1+ 3i 3. Le conjugué de i i+1 est égal à +i i i 1 3 i 4. Dans l ensemble des nombres complexes, z z + 4i = 0 admet aucune solution une unique solution deux solutions distinctes

3 Exercice 5 points Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,0001 près. Lors d une épidémie chez des bovins, on s est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d animaux dont 1% est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85% des cas; si un animal est sain, le test est négatif dans 95% des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : M l évènement : «l animal est porteur de la maladie»; T l évènement : «le test est positif». 1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.. Un animal est choisi au hasard. a) Quelle est la probabilité qu il soit porteur de la maladie et que son test soit positif? b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0, Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu il soit porteur de la maladie? 4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d animaux ayant un test positif. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X? b) Quelle est la probabilité pour qu au moins un des cinq animaux ait un test positif? 5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l abattage d un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1000 euros. On suppose que le test est gratuit. D après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant : Coût Probabilité 0, , ,001 5 a) Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. b) Un éleveur possède un troupeau de 00 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d engager? 3

4 Exercice 3 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 5 points et telle que pour tout entier naturel n, 1. a) Calculer u 1 et u. u n+1 = 3u n 1+u n b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < u n.. On admet que pour tout entier naturel n, u n < 1. a) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. b) Démontrer que la suite (u n ) converge. 3. Soit (v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n 1 u n. a) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 3. b) Exprimer pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 3n 3 n +1. d) Montrer que pour tout en entier naturel n, En déduire la limite de la suite (u n ). 3 n 3 n +1 = 1 ( ) n

5 Exercice 4 6 points A. Étude d une fonction auxiliaire. Soit g la fonction définie sur R par 1. Étudier le sens de variation de g. g(x) = e x (1 x)+1.. Démontrer que l équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle [1,7 ; 1,8]; on note α cette solution. 3. Déterminer le signe de g(x) sur ] ; 0[. Justifier que g(x) > 0 sur [0 ; α[ et g(x) < 0 sur ]α ; + [. B. Étude de la fonction f définie sur R par : f(x) = x e x La courbec f représentative de la fonctionf dans le plan muni d un repère orthogonal (O; ı, j) est donnée en annexe. 1. a) On admet que lim f(x) =. Interpréter graphiquement ce résultat. x + b) Soit (d) la droite d équation y =. Étudier la position de C f par rapport à (d).. Déterminer la limite de f en. 3. a) Montrer que pour tout réel x, f (x) = g(x) (e x +1). b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 4. Déterminer l équation de la tangente à C f au point d abscisse Tracer (d) et sur l annexe qui sera remise avec la copie à la fin de l épreuve. 5

6 Nom :... Prénom :... Classe :... ANNEXE Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. Exercice 4 4 y 3 C f O x

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