Chapitre 8 Flexion des poutres

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1 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Chapitre 8 Fleion des poutres Les poutres sont les pièces de base des structures d où l importance du développement de la méthode d analyse de son comportement. Au point de vue pratique, une poutre doit avoir une longueur très supérieure à sa largeur (L>>b), figure 8.1. Il est présenté dans ce chapitre, l étude de la fleion des poutres constituées de stratifiés de composites. Afin de faire l étude des poutres en stratifiés de composites, il est important de passer en revue l analyse des poutres en matériau isotrope (Figure 8.1). M z O ρ Ae neutre Figure 8.1 Fleion cylindrique d une poutre La flèche w d une poutre en fleion est obtenue à partir de la relation avec le moment appliqué M et la rigidité en fleion J=EI : dw M (8.1) EI d où E est le module d élasticité du matériau et I désigne le second moment de la section de la poutre. La courbure est définie comme : 1 dw d (8.) Les deu relations conduisent à : 1

2 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 M EI J (8.3) Cette relation est valide que pour les matériau isotropes. Dans le cas des poutres en stratifié de composites (Figure 8.) le module d élasticité de chacun des plis varie selon le matériau et l orientation des renforts. Par conséquent, afin de calculer la flèche d une poutre en stratifié de matériau composites, il est nécessaire d établir sa rigidité apparente J a =E a I. L q() b h y z Figure 8. Poutre en stratifié de composite soumise à une charge transversale 8.1 Poutres en stratifié symétrique à section rectangulaire L équation constitutive d un stratifié symétrique en fleion cylindrique selon la théorie classique des stratifiées s écrit : M D D1 D 16 M y D1 D D 6 y D My 16 D6 D 66 y (8.4) où les courbures sont définies comme : w w w, y, y y y (8.5) Les courbures peuvent s obtenir en inversant l équation (8.4) : D D1 D 16 M y D1 D D 6 M y D y 16 D6 D 66 My (8.6)

3 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 où D ij sont les éléments de la matrice inverse de la matrice de rigidité en fleion-torsion [D] du stratifié de composites. Il y a deu cas distincts à considérer : les poutres étroites et les poutres larges. La distinction est basée sur le rapport b/h de la section (Voir figure 8.1). Le coefficient de Poisson implique une distorsion transversale de la section (Figure 8.3). Cet effet est localisé seulement au bords d une poutre large qui comporte comme une plaque. Poutre étroite Poutre large Figure 8.3 Distorsion de de la section : poutre à aile étroite et celle à aile large Poutre étroite (rapport b/h est faible) M Dans le cas d une fleion causée par un moment M suivant l ae ( M ), b alors : M M y (8.7) y Les équations (8.5) et (8.6) conduisent à : w w y D M D M y 1 w y y D16M (8.8) Remarque : Les courbures κ y et κ y sont fonctions du M selon la relation (8.6). Elles dépendent alors de la variable y. Cependant, l effet de de la fleion et de la torsion induites sont négligeable lorsque le rapport L/b est suffisamment élevé. C est pourquoi, la théorie des poutres considère que la flèche n est fonction que de pour une poutre dont le rapport L/b est élevé : w w () (8.9) d où : 3

4 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 dw d M DM D (8.1) b L epression du module d élasticité en fleion (E f ) du stratifié est obtenue en comparant les relations (8.1) et (8.1) : où : 1 1 M bm et que D M E 1 3 EfIyy bh f I E yy 1 (8.) f 3 Dh bh 1 3 = (8.1) et la rigidité apparente est : J b = E I= (8.13) a f D Sachant que : dw d M E I = (8.14) la flèche de la poutre en stratifié est déterminée en utilisant sa rigidité apparente à la place de la rigidité (EI) d une poutre isotrope. Par conséquent, les epressions de la flèche pour les poutres isotropes qui se trouvent dans les références disponibles sont applicables pour les poutres en stratifiés de composite à condition que la rigidité soit remplacé par la rigidité apparente du stratifié. Étant donné que les déformations dans le plan moyen géométrique sont nulles dans le cas d un stratifié symétrique, les déformations dans le e pli deviennent : f yy y z y y y (8.14) et les contraintes sont : { σ (y)} = Q { ε(y) } (8.15) 4

5 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Eemple 8.1 [Berthelot 1996] Considérons une poutre faite d un stratifié symétrique soumise à une charge concentrée P au milieu de sa longueur L. Dans le cas d appuis simples, calculez la flèche au centre de la poutre et les contraintes maimales dans le e pli. Solution P L M = dw P L = (a) d EfI Application des conditions au limites : À = : M = w = À = L/ : dw /d = L intégration de l équation (a) en considération des conditions au limites donne : PL w = 3 ( ) 48E I L La flèche au centre de la poutre où = L/ est : 3 3 PL PL w = = D 48EfI 48b et les contraintes sont : σ κ σ y = Q κy τy κ y f Eemple 8. Soit une poutre en appuis simples, faite de stratifié [/±6] S du composite carbone/époy AS351 (v f =.65), qui est soumise à une charge répartie q()=.n/mm. Sachant que les dimensions de la poutre sont L= 1mm et b = 5mm, et que les plis ont la même épaisseur de.15mm, calculez : 1. La flèche maimale;. Les contraintes au niveau supérieur du e pli. Solution Propriétés du matériau : E 1 =138MPa, E =9MPa, G 1 =6.9MPa, nu 1 =.3 5

6 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Stratifié symétrique : Pli# Direction Hauteur 1 ϴ 1 = Z=-.45mm Z1=-.3mm ϴ =6 Z1=-.3mm Z=-.15mm 3 ϴ 3 =-6 Z=-.15mm Z3=.mm Moment de fleion : ql. 1 M = = = 5N mm 8 8 M M = = = 5N b 5 1 D = ( ) 3 MPa mm b 5 4 Ja = Ef I = = = MPa mm D qL 5qL 5. 1 w ma = = = = mm 384E I 384J f Le vecteur de chargement est : [;;;5;;] T a d où les déformations et les contraintes dans le e pli sont respectivement : y z y y y { σ (y)} = Q { ε(y) } Les contraintes au niveau supérieur du e pli sont : σ σ y = MPa τy 6

7 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes Poutre large [Swanson 1997] Dans ce cas où le rapport b/h est élevé, les courbures sont considérées nulles : L équation (8.4) devient : κ y =κ y = M D D D 1 16 M y D1 D D 6 M D y 16 D6 D 66 d où M bm bd et la rigidité apparente de la poutre est : = = κ (8.16) 1D E et J bd h = = (8.17) f 3 a Eemple 8.3 Soit une poutre en appuis simples, faite de stratifié [/9/-3/3] S du composite carbone/époy AS4/351-6 (E 1 =131GPa, E =.GPa. G 1 =6.55GPa, ν 1 =.8), qui est soumise à une charge répartie q()=.38n/mm. Sachant que les dimensions de la poutre sont L= 54mm et b = 1.7mm et que les plis ont la même épaisseur de.4mm, calculez : 1. La flèche maimale;. Les contraintes au niveau supérieur du e pli. Solution L épaisseur totale du stratifié h = 8(.4)=3.mm. Le rapport largeur/épaisseur de la poutre est : b/h=(1.7mm)/3.mm= 3.97 la qualifie entre deu catégories : étroite et large. L étude suivante est réalisée suivant deu hypothèses pour fin de comparaison. Pli# Direction Hauteur 1 ϴ 1 = Z=-1.6mm Z1=-1.mm ϴ =9 Z1=-1.mm Z=-.8mm 3 ϴ 3 =-3 Z=-.8mm Z3=-.4mm 4 ϴ 4 =3 Z3=-.4mm Z4=mm 7

8 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 ql M = = = N mm 8 8 M M = = = 41.3N mm b 1.7 { N M} T = { ;;; 41.3;;} [D] MPa-mm 3 = 1.e+5 * [D] -1 = 1.e-4 * T Poutre étroite : b 1 J = E I = = MPa mm = a f D qL 5qL w ma = = = = mm 384E I 384J f a.4 1.e 3*. 1/ mm.38 Contrainte au niveau supérieur du e pli (ϴ=9 o ) : σ σ y = MPa τy Poutre large : J = bd = = MPa-mm a 4 8

9 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 w ma qL 5qL 5. 1 = = = = mm 384E I 384J f a w w mm mm = = w mm (étroite) (large) ( )% ( )1.19% (étroite) Poutre en sandwich Eemple 8.4 Soit une poutre en en sandwich en appuis simples dont les peau se constituent de stratifié [ /45 /-45 ] S des plis d épaisseur t =.15mm du composite carbone /Époy AS-351 (v f =.65, E 1 =138GPa, E =9 GPa,G 1 =6.9GPa, nu 1 =.3). Le noyau d une épaisseur de 6mm est en matériau isotrope (E=7MPa, G 1 =.9GPa, nu 1 =.). Sachant que les dimensions de la poutre sont L=58mm, b=5.8mm et que la charge répartie appliquée transversalement à la poutre est q=.14n/mm, calculez : 1. La flèche maimale;. Les contraintes au niveau supérieur du e pli. Solution Peau: AS351 [ /45 /-45 ] s Noyau: matériau Isotrope Peau: AS351 [ /45 /-45 ] s z L Pli# Matériau Direction ( o ) Hauteur (mm) 1 AS351 θ 1 = Z =-4.8 Z 1 =-4.5 AS351 θ =45 Z =-4. 3 AS351 θ 3 =-45 Z 3 = AS351 θ 4 =-45 Z 4 = AS351 θ 5 =45 Z 5 = AS351 θ 6 = Z 6 =-3. 7 Matériau isotrope θ 7 = Z 7 =-. 8 Matériau isotrope θ 8 = Z 8 =-1. 9 Matériau isotrope θ 9 = Z 9 =. 9

10 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Programme dihuitplissymv3 AS351 = matériau #1 Matériau isotrope = matériau # ql M = 8 M ql M = = = = 88.9N b 8b D =.859e 6 b 5.8 J = E I = = = MPa mm a f 6 D.859e w ma qL 5qL = = = =.6834mm 384E I 384J f a Le vecteur de chargement est: nm = [; ; ; 88.9; ; ] T σ Les contraintes au niveau supérieur du e pli sont : σ y = -.38 MPa τy 4 8. Poutres en stratifié symétrique de section en I [Swanson 1997] Il est à noter que l âme de la poutre en stratifié de composite illustrée à la figure 8.4 est constituée de plis dont l ae sont orientées perpendiculaire à l ae neutre de la poutre. ξ hâme Ae neutre de la poutre ξ1 ξ t âme Figure 8.4 Orientation des fibres dans les plis d une poutre en I faite de stratifié de composite b âme 1

11 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Plan moyen géométrique de l aile t âme Plan moyen géométrique de l âme σ âme y o ξ z (a) (N ) âme (b) y âme Figure 8.5 (a) Repères locau pour les ailes et l âme; (b) 8..1 Âme Il est à remarquer que les plis de l âme sont parallèles avec l ae z du repère global de la poutre. Par conséquent, tel que montré à la figure 8.5(a) la fleion de cette partie n est pas causée par une charge transversale au PMG de l âme comme dans la théorie classique des plaques en stratifié de composites. La matrice [D] ne joue donc, aucun rôle dans la fleion de l âme. La figure 8.5(b) illustre la contrainte aiale σ de l âme au niveau ξ à partir de l ae neutre de la poutre, qui est causée par le moment appliqué sur la poutre. Elle est engendrée, par la contrainte résultante N appliqué à la PMG de l âme. Par conséquent, la déformation aiale en membrane suivant la direction au PMG de l âme au niveau ξ à partir de l ae neutre de la poutre est : A N ε = (8.18) (âme) (âme) Cette déformation est également en fonction de la courbure de l âme en fleion dans le système de coordonné de la poutre comme : d où : ε = ξκ (8.19) 1 N (âme) ( ) A = ξκ (8.) (âme)

12 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Le moment de fleion de l âme devient : 1 M = N ξ d ξ= ( ) ξ κ d ξ h/ h/ âme h/ h/ A ou : 3 h M ( ) J = κ = κ (8.1) âme a 1A 8.. Aile étroite En considérant les ailes dans leur repère local, les déformations et les courbures sont : ε N κ M 1 1 ε y = [ A] et κ y = [ D] γy κy (8.) d où : 1 ξ 1 N = ( ) ε = ( ) κ et M = ( ) κ (8.3) 1 A A D Le moment de fleion appliqué à l aile est : ξ 1 M = b (N ξ+ M ) = b ( + ) κ (8.4) 1 aile aile 1 aile A D Le moment de fleion total pour la poutre est la somme des moments appliqués à l âme et au deu ailes : M M M J d où la rigidité apparente de la poutre est : = + = κ (8.5) poutre âme aile a h ξ 1 Ja b ( ) 1A A D 3 1 aile (âme) (aile) (aile) = + + (8.6) 1

13 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes Aile large Dans ce cas il est considéré que : La rigidité apparente de la poutre s écrit : κ y =κ y = h ξ J b ( D ) 3 1 a aile (aile) 1A(âme) A(aile) = + + (8.7) Eemple 8.5 La poutre illustrée à la figure 8.5 est faite de stratifié de composite carbone/époy AS351 (v f =.65). Sachant que la charge répartie appliquée est 1.75N/mm et que l épaisseur des plis est.131mm, calculez : 1. La rigidité apparente de la poutre;. La flèche maimale; 3. Les contraintes aiales au e pli de l âme et de l aile. Aile [9/45/-45] s ξ q ξ1 19mm ξ Ae neutre de la poutre Âme [9/45/-45] s 1.7mm Figure 8.6 Solution Pli# Matériau Direction ( o ) Hauteur (mm) 1 AS351 9 Z= Z1= Z= Z3=. Programme siplissymv3 b aile =1.7mm 13

14 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 h=19mm ξ 1 =9.5mm+3.131mm=9.8963mm L=58mm ql M = 8 M ql M = = = = 4445N b 8b Âme: A =.4685e 4mm / N Aile: A =.4685e 4mm / N D =.15N mm 1 1 La rigidité apparente de la poutre : h ξ 1 Ja = + b ( + ) 1A A D 3 1 aile (âme) (aile) (aile) Ja = + 1.7( + ) = N mm La flèche maimale : w ma qL 5qL = = = = 3.4mm 384E I 384J f a Le moment de fleion totale : ql M = = 8 8 La courbure au centre de la poutre : M κ = = = J a La déformation au PMG de l aile supérieure : ( ε ) =ξκ = =.8557 ou.86% i 3 1 Les contraintes aiales au e pli : Âme : 14

15 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Les déformations aiales du PMG au niveau ξ de l âme sont : M ( ) au centre poutre J a Étant donné que hâme tâme y y y Les contraintes aiales au e pli deviennent : Q et y Q 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Aile étroite : Les déformations au e pli de l aile supérieure sont : M ( ) ( ) au centre poutre Ja D1 ( y) ( y) au centre poutre ( ) au centre poutre D Les contraintes aiales sont : ( ) (Q ) ( ) (Q ) ( ) ; 1 y ( ) (Q ) ( ) (Q ) ( ) y 1 y Aile large : ( y) ( y) d où : ( ) (Q ) ( ) ; ( ) (Q ) ( ) y Poutres non symétriques Dans le cas des poutres non symétriques il eiste le couplage entre les contraintes et moments résultants. La relation charges-déformations est : 15

16 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 1 = = B D M M κ(y) B D ε(y) A B N A B N (8.8) Remarque : Les matrices [A ], [B ] et [D ] ne sont pas les matrices inverses des matrices [A], [B] et [D]. Seul dans le cas des stratifiés symétriques que [A ]=[A] -1 etc.. L équation (8.8) avec N =N y =N y =M y =M y = donne les relations suivantes : ε = B M κ = D M (8.9) Dans le cas des poutres non symétriques, l ae neutre ne passe pas au milieu de la hauteur de la poutre mais se trouve à un niveau où : d où : =ε =ε + zκ = BM + zd M n n z n B D = (8.3) Eemple 8.6 Soit une poutre en appuis simples faite de stratifié [/9/-3/3] de composite unidirectionnel carbone/époy AS351 (v f =.65). Les dimensions de la poutre sont L= 1mm et b= 5mm et l épaisseur des plis est de.15mm. Sachant que la charge transverse q =.N/mm, calculez; 1. La flèche maimale;. Les contraintes au niveau inférieur du e pli. Solution Matériau AS351 (v f =.65) : E 1 =138GPa, E =9GPa, G 1 =6.9GPa, Nu 1 =.3. q=. N/mm, L=1mm, b=5mm Pli# Orientation ( o ) Hauteur (mm) 1 θ 1 = Z =-.5 Z 1 =-.375 θ =9 Z =-.5 3 θ 3 =-3 Z 3 = θ 4 =3 Z 4 =. 5 θ 1 = Z 5 =.15 6 θ =9 Z 6 =.5 7 θ 3 =-3 Z 7 = θ 4 =3 Z 8 =.5 16

17 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Programme huitplisv3 Aile étroite: D = (N-mm) b 5 J = a N mm D = = Flèche maimale : 1 w ma qL 5qL 5. 1 = = = = 7.999mm 384E I 384J f a Les contraintes au niveau inférieur du e pli : ql M = 8 M M ql. 1 = = = = 5N b 8b 8 5 Vecteur de chargement : [ 5 ] T Déformation au PMG : ε N (,y) A B (,y) = κ B D M (,y) (,y) Contraintes dans le e pli : { σ (y)} = { ε (y)} = { ε } + { } ( y) κ ( y) Q Q ( z ) Contrainte dans le e pli au niveau inférieure : σ = MPa σ = τ y y MPa = MPa 17

18 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Ae neutre passe par le niveau : B e-6 z n = = ( ) = mm D Contraintes de cisaillement τz Dans le cas de fleion cylindrique ou fleion pure considérée dans les sections précédentes le moment de fleion est considéré constant et l effort tranchant est nul. En pratique, dans une poutre soumise à une charge quelconque, le moment fléchissant passe par un etremum lorsque l effort tranchant est nul. Il est admis que lorsque la longueur de la poutre est très grande par rapport au deu autres dimensions, la formule pour calculer la contrainte aiale σ est acceptable malgré une certaine faible erreur. Lorsque l effort tranchant eiste, la contrainte σ varie par conséquent d où l eistence de la contrainte de cisaillement τ z. C est le cas de fleion normale où l effort V qui est abordé ici Section rectangulaire La figure 8.7 présente la section longitudinale d une poutre de section rectangulaire de largeur b et de hauteur h, qui est en fleion normale où la contrainte aiale σ varie et la contrainte de cisaillement τ z est engendrée afin de maintenir de l équilibre suivant la direction. Élément étudié Ligne de centre z (a) d dz σ X σ X + dσ X h/ η τ z Ae neutre (b) Figure 8.7 (a) section longitudinale de la poutre avec l élément considéré; (b) Diagramme de corps libre de l élément considéré illustrant la contrainte de cisaillement τ z dans une poutre en fleion normale, sous l effet de l effort tranchant. Au niveau z = η l équilibre des forces en donne l équation suivante : 18

19 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 d où : h/ h/ σ σ + σ =τz η η ( d)bdz bdz bd (8.31) τ = z h/ η σ dz or en négligeant γ y la contrainte aiale devient : σ = Q ε + Q ε 1 y En remplaçant l intégrale par rapport à la hauteur du stratifié par la somme des intégrales par rapport à l épaisseur de chacun des plis et l epression de σ l équation (8.31) peut s écrire comme : z τ = ( ( σ ) dz) = ( [(Q ) ε + (Q ) ε ]dz z 1 y z 1 z 1 z (8.3) de plus les déformations sont : M D ε = zκ = z et ε y = zκ y = z J a D Dans le cas des poutres à aile large : ε y = L équation (8.3) devient alors : 1 M J a z D1 z 1 z D 1 d M M τ = ( [(Q ) z + (Q ) z ]dz d J J dm 1 D = ( ( [(Q ) + (Q ) ] zdz d J D (8.33) Sachant que l effort tranchant : dm V = d L équation (8.33) a la forme finale comme : où : z z τ = + λ (8.34) V 1 z ( [(Q ) (Q 1 ) ]( ) J D1 λ= pour aile étroite et λ= pour aile large. D Eemple

20 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Soit une poutre en appuis simples, faite de stratifié [ 4 /45 4 /-45 4 ] S du composite unidirectionnel carbone/époy AS4/351-6( E 1 =131GPa, E =.GPa, G 1 =6.55GPa, nu1=.8). Les dimensions de la poutre sont L= 54mm et b= 5.8mm et l épaisseur des plis est de.15mm. Sachant que la charge transverse q =.3N/mm, calculez la contrainte τ z au PMG de la poutre. Solution La poutre est considérée comme poutre à aile large à cause du rapport : largeur/épaisseur b/h= 5.8/3 =16.9. Programme siplissymv3 donne : Groupe de pli# Orientation ( o ) Hauteur (mm) D Q Q 1 (N/mm) (N/mm) θ 1 = z =-1.5 z 1 =-1. θ =45 z = , , θ 3 =-45 z 3 = 43918, , J = bd = = N mm a ql.3 54 V = = = 38.1 N Contrainte de cisaillement τ z au niveau de PMG (Z 3 =) : V z1 z z z1 z3 z τ z = ((Q ) + 1 (Q 1 ) 1 ( )) + ((Q ) + (Q 1 ) ( )) + ((Q ) + 3 (Q 1 ) 3 ( )) Ja = MPa Commande Matlab : Tz1=V/Ja*((qb1(1,1)+qb1(1,))*.5*(z1^-z^)) Tz=V/Ja*((qb1(1,1)+qb1(1,))*.5*(z1^-z^)+(qb(1,1)+qb(1,))*.5*(z^- z1^)) Tz3=V/Ja*((qb1(1,1)+qb1(1,))*.5*(z1^-z^)+(qb(1,1)+qb(1,))*.5*(z^- z1^)+(qb3(1,1)+qb3(1,))*.5*(z3^-z^))

21 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes Section en I Âme : Pli # t âme t (σ ) hâme η ξ o N ξ Figure 8.8 Âme de la poutre en stratifié La contrainte de cisaillement (τ z ) au niveau η dans le e pli de l âme de la poutre en stratifié illustrée dans la figure 8.8 est : h/ σ ( ) ( z ) d η (8.35) τ = ξ Considérant : ( ) (Q ) (Q ) ; 1 y h t ; âme âme y y M J 1

22 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 L équation 8.35 devient : dm or : V d d où : h/ h/ (Q ) d M dm ( τ z ) = (Q ) ( ) d d d ξξ= ξξ J J d η (Q h/ ) V 1 V Q 1 h z J t η Jt 4 ( τ ) = ( )( )( ξ = ( )( η )t La contrainte de cisaillement τ z de l âme est : η ou : N N V h 1 ( τ z ) âme = ( τ z ) = ( η )( ) (Q ) t Jaâmetâme 4 A VA h τ == η (8.36) ( z ) âme ( ) Jaâmetâme 4 Aile : Dans le cas d une poutre symétrique dont aile est également un stratifié symétrique : V z z 1 ( τ ) = ( [(Q ) + (Q ) λ]( ) (8.37) J z aile 1 D1 λ= pour aile étroite et λ= pour aile large. D

23 Mécanique des structures en matériau composites par les méthodes 13 Références [1] Matériau composites-comportement mécanique et analyse des structures, J.M. Berthelot, Masson, ISBN , 1996 [] Introduction to Design and Analysis with Advanced Composite Materials, Stephen R. Swanson, Prentice-Hall Inc, ISBN X,