Graphique 1 : Illustration des séries cointégrées. La définition précédente peut être généralisée (à plus de deux séries) comme suit :

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1 Cointégration et Modèle à correction d erreur One Pager Octobre 2013 Vol. 8 Num. 003 Copyright Laréq Cointégration et Modèle à CorreCtion d erreur Jean Paul K. Tsasa Vangu & Yves Togba Boboy "L'homme n'est content de rien sauf de son intelligence ; moins il en a, plus il est content." August Von Kotzebue, Friedrich Ferdinand ( ) Résumé Ce papier présente un aperçu de la théorie classique de la cointégration, et par ailleurs, analyse la connexion entre les modèles de cointégration et les modèles à correction d erreur. Mots clé : Racine unitaire, cointégration, modèle à correction d erreur. Abstract This paper focuses on the cointegration and error correction models. Introduction Depuis près d un demi siècle, il a été démontré que la non stationnarité semble être le propre des séries macroéconomiques et financières [Granger (1966), Nelson et Plosser (1982)]. En effet, des nombreuses séries économiques sont, ou du moins apparaissent être, intégrées d ordre 1. Pour rendre compte de ce problème, la tendance habituelle est d utiliser les différences premières et de ce fait, régresser les variables stationnarisées. Cependant, cette démarche implique malheureusement une perte importante d information 1 de long terme sur les variables aux travers des relations existantes entre leurs niveaux. Pour rendre compte de ce problème, l économétrie des séries non stationnaires a connu de nombreux développements à travers notamment la théorie de la cointégration, proposée par Granger et Weiss (1983), formulée par Granger (1981) et développée par la suite par Engel et Granger (1987) et Johansen (1988, 1991). L intérêt croissant de ce concept réside dans le fait qu il autorise l estimation et les tests de relations d équilibre de long terme entres les variables. Ainsi, nous en présentons dans cette écriture, la démarche substantielle. Il sera donc question de décrire les principe et tests de cointégration, ainsi que la stratégie d estimation correspondante. En plus de l approche à deux pas proposée par Granger et Engel (1987), une brève mention de procédure d estimation de modèle à variables cointégrées (Johansen, 1991) sera également décrite. 1 Selon la littérature économétrique, le long terme est considéré comme un état où chaque variable converge vers sa valeur potentielle et cette-ci reste constant (. Ainsi, la différence première de chacune des variables donne zéro. Et donc, en régressant en différences premières, ces considérations présagent que le modèle construit ne rend pas compte de l équilibre ou relation de long terme et de ce fait, ne permet pas une solution de long terme. 31

2 Ce papier se structure en trois sections. La première fait une brève mention de principes de la cointégration. La deuxième propose un aperçu des tests de cointégration linéaire à deux et séries et enfin la troisième présente les techniques d estimation du système cointégré, en lien avec le modèle à correction d erreur. Principe de la cointégration En scrutant les relations d équilibre de long terme des variables, l analyse de la cointégration permet d identifier l existence de séries suivant un même sentier d équilibre de long terme (l existence d un éventuel vecteur de cointégration) et d éliminer son effet le cas échant. Deux séries et sont cointégrées d ordre lorsque pour : (i) et sont intégrés d ordre et respectifs : et ; (ii) il existe tel que où est le vecteur de cointégration, on note alors. Graphique 1 : Illustration des séries cointégrées xt yt La définition précédente peut être généralisée (à plus de deux séries) comme suit : Soit le vecteur de séries chronologiques, les composantes de sont dites cointégrées d ordre si : (i) toutes les composantes de sont (ii) il y a au moins 1 un vecteur de coefficients tel que : 1 Il peut y avoir vecteurs co-intégrant un ensemble de N séries. Ce vecteur joue un rôle de l écart à la cible de long terme. 32

3 Alors on note avec. Cette définition suggère que la combinaison linéaire de composantes du vecteur se ramene à une serie d intégration d ordre inferieur. Test de cointégration Pour identifier l existence d un éventuel vecteur de cointégration, plusieurs méthodes peuvent être utilisées, notamment les approches proposées par : Granger Engel (1987), Johansen (1988, 1991), Stock Watson (1988), Phillips Ouliaris (1990) et Bierens and Martins (2010). Dans cette écriture, nous décrivons l algorithme à deux pas proposé par Engel et Granger (1987) et celui de Johansen (1988) appliqué en cas de séries co-intégrées. Test de Engel et Granger Ce test est construit en deux étapes : Etape 1 Tester l ordre d intégration des variables pour voir si les séries sont intégrées d un même ordre (Cf. Tsasa, 2013b). Etape 2 Si et : estime par les MCO la relation de long terme : En réécrivant l équation (1) comme suit, on a : Ainsi, le test valide la présence de cointégration si le vecteur résiduel issu de cette estimation est stationnaire. Test de cointégration à N cointégrant Le test de Engel - Granger à deux pas décrit ci haut ne permet pas d appréhender les relations de cointégration dans le cas de variables c est à dire lorsque le vecteur de cointégration n est pas unique. À cet effet, Johansen (1988) propose deux tests (test de la valeur propre maximale et test de la trace) pour combler ce déficit. Nous en proposons la représentation VAR. Soit l ensemble de variables considérées comme et pouvant être cointégrées. La représentation VAR 1 correspondante se présente comme suit : avec le vecteur de dimension avec N variables et matrice de dimension 1 Nous avons considérons une représentation VAR sans tendance déterministe. 33

4 Pour illustrer le test de Johansen, le VAR(2) doit être transformé en VEMC (Modèle à correction d erreur vectoriel). Ainsi, après manipulation, nous obtenons le modèle à correction d erreur vectoriel suivant : où La matrice peut s écrire en produits de deux matrices de dimensions respectives,, soit : où le vecteur est la force de rappel vers l équilibre et le vecteur de paramètres d ajustement (vecteur de coefficients des relations de long terme). Le test de Johansen sera donc centré sur l examen de la matrice de coefficients de long terme. À l équilibre, tous les sont nuls et de ce fait, Dans cette optique de croissance équilibrée, le test de cointégration à la Johansen est calculé en cherchant le rang de la matrice via ses valeurs propres. Ainsi, à aide de la méthode de maximum de vraisemblance 1, Johansen parvient à proposé deux tests pour déterminer les valeurs propres non nulles correspondant aux relations de cointégration : et où est le nombre de vecteur de cointégration sous l hypothèse nulle et est la valeur estimée de la ième valeur propre de la matrice. La statistique est associée au test où l hypothèse nulle que le nombre de vecteur de cointégration est inférieur ou égal à r contre l hypothèse alternative qu ils sont supérieurs à r (pour le test de la valeur propre maximale, contre ) : 1 Cf. Togba et Tsasa (2013). 34

5 Dans l hypothèse où les variables ne sont pas cointégrées, le rang de différent de zéro, alors. sera significativement Ainsi, l hypothèse nulle sera rejetée si la statistique ou est supérieure à la valeur lue dans la table simulée par Johansen et Juselius (1990) 1. Ce test s effectue par séquence. Ainsi, si est rejeté, on teste, si de nouveau celle-ci est rejetée, on test et ainsi de suite. Le test accroit, continuellement, au fur à mesure que est rejetée. Ainsi, si nous testons contre et que l on soit amené à rejeter de nouveau, nous pouvons conclure en faveur de l inexistence de relation de cointégration. Par contre, pour, il existe vecteur de co-intégration, alors le rang de sera. Dès lors, la lecture de l expression présage que l équation en cause est spécifiée d une part sans tendance déterministe, sans saisonnalité, et ni constante dans les relations de cointégration et d autre part, sans constante dans la représentation VAR. Cependant, les résultats des tests construits par Johansen, sont fortement influencés par la spécification de l équation À cet effet, l auteur suggère un examen préalable des propriétés stochastiques des séries. Pour les détails de ce type d étude, nous renvoyons à Tsasa (2013b). Estimation du système de cointégration et Modèle à correction d erreur (vectoriel) Une fois les relations de cointégration révélées, deux cas de figure sont généralement envisagées pour estimer le système de cointégration : l un lorsqu il existe un vecteur de cointégration et l autre en cas de plus d un vecteur de cointégrations. Le théorème de représentation de Granger (Engel et Granger, 1987) établit l'équivalence entre système cointégré et modèles à correction d'erreur. De ce fait, toutes les chroniques cointégrées peuvent être représentées par un ECM. Ainsi, estimer le système de cointégration revient à estimer le modèle à correction d erreur (ECM) dans le premier cas et un modèle à correction d erreur vectoriel (VECM) dans le second cas. Vecteur cointégrant Supposons deux séries cointégrées et de vecteur de cointégration. Alors toutes les trois variables, à noter, et sont De ce fait, il existe une représentation à correction d erreur 2 : avec : où est un bruit blanc ; le terme de correction d erreur (dynamique à court terme) et un coefficient rendant compte d une force de rappel vers l équilibre de long terme. 1 Voir Ericsson MacKinnon (2002) et Boswijk Franses (1992). 2 Les détails de la transformation de la dynamique à court terme en MCE sont fournis annexe. 35

6 L équation peut être généralisée à une représentation à variables en introduisant l opérateur de décalage : où et sont des polynômes de l opérateur de décalage (avec Pour estimer ce modèle, Engel et Granger (1987) propose une démarche à deux étapes. Primo, régresser par MCO et estimer le résidu. Secundo, estimer l équation suivante : In fine, avant de procéder à l analyse du cas de plusieurs vecteurs co-intégrant, il y a lieu de comparer les différentes approches développées précédemment. Tableau 1 Comparaison des procédures de Engle Granger, Johansen & ECM pour tester la cointégration ASPECT Statistique PROCEDURE Engle - Granger Johansen ECM Statistiques de valeurs propres maximales et de trace Statistique de Harbo, Johansen, Nielsen & Rahbek (1998) Hypothèses Restriction de facteur commun Système très bien spécifié Exogénéité faible de zt pour bêta Avantages Intuitive. Estimateur de "beta" Super - consistant Maximum likelihood of full system. Détermination de (le nombre de vecteurs de cointégration); "beta" et "alpha" Point de départ pour la modélisation ECM ; Dynamique sans restriction. Exogénéité faible est souvent empiriquement valide. Robuste à l'indication du traitement marginal. Inconvénients Comfac est souvent non valide. L inférence sur "beta" n est pas appropriée. Biais dans l'estimation Beta. imposé (habituellement). La normalisation affecte l estimation. la dynamique peut être d'intérêt. Le système complet doit être bien - spécifiée. L exogénéité faible est assumée. imposé (habituellement). Sources pour les valeurs critiques et des valeurs p Engle & granger (1987), MacKinnon (1991, 1994, 1996). Source : Tiré de Ericsson MacKinnon, Johansen and Juselius (1990), Osterwald - Lenum (1992), Johansen (1988, 1995), Doornik (1998), MacKinnon et al. (1999). Banerjee, Dolado, Galbraith & Hendry (1993), Banerjee, Dolado & Mestre (1998), Harbo, Johansen, Nielsen & Rahbek (1998), MacKinnon, Haug & Micellis (1999), Pesaran, Shin & Smith. (2000), Ericson & MacKinnon (2002). 36

7 Cas de plusieurs vecteurs cointégrant Johansen (1988, 1991) élargit l espace du théorème de représentation de Granger pour le cas multivarié en faisant appel à la représentation vectorielle à correction d erreur. Considérons la représentation VAR telle que formulée en : où nous ajoutons un vecteur de constante et remplaçons l indice muet par La différence première de l équation s écrit : Pour faire apparaitre la spécification de la dynamique à long terme, nous ajoutons et soustrayons dans l équation et après simplification, nous obtenons : Avec : l équation peut encore s écrire : En reprenant la même opération, avec il vient que : En dupliquant cette opération jusqu au terme vient que : après quelques manipulations minutieuses, il avec : où le terme capte la dynamique de court terme et renseigne sur la relation de cointégration (relation de long terme). 37

8 L équation Correspond ainsi à la représentation vectorielle à correction d erreur. Il sied de noter à ce stade qu un examen préalable de données doit être fait pour déterminer la spécification adéquate de celle ci. En effet, alors que la classe de modèles VAR repose essentiellement sur l hypothèse que les séries mobilisées sont stationnaires (théorème de décomposition de Wold, 1938), la représentation VEC parvient à modéliser les séries non stationnaires, tout en intégrant un terme supplémentaire qui permet de capter la dynamique de long terme (théorème de représentation de Engel Granger, 1987) In fine, ce papier avait l ambition d ébaucher l analyse de cointégration ainsi que le système d estimation de relations d équilibre de long terme. Pour ce faire, il s est borné à scruter essentiellement le cas linéaire. A ce titre, il pose les jalons nécessaires pour approfondir l étude de la cointégration linéaire, avec notamment une présentation plus formelle du théorème de représentation de Granger, sur lequel ce papier s est basé pour établir la connexion entre les modèles de cointégration et les modèles à correction d erreur. Aussi, ce papier constitue un point de repère pour la prochaine publication, consacrée à l étude de la cointégration non linéaire. 38

9 Bibliographie BANERJEE Anindya et David F. HENDRY (eds), 1996, The econometrics of economic policy, Special issue, Oxford Bulletin of Economics and Statistics 58, BANERJEE Anindya, Juan J. DOLADO et Ricardo MESTRE, 1998, "Error-correction mechanism tests for cointegration in a single-equation framework", Journal of Time Series Analysis, 19, BANERJEE Anindya, Juan J. DOLADO, John W. GALBRAITH et David F. HENDRY, 1993, Cointegration, Error Correction, and the Econometric Analysis of Non-stationary Data, Oxford: Oxford University Press. BIERENS Herman J. et Luis F. MARTINS, 2010, "Time Varying Cointegration", Econometric Theory, 26, BOSWIJK H. Peter et Philip H. FRANSES, 1992, Dynamic Specification and Cointegration, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 54 8,5 (3): BOSWIJK H. Peter, 1994, "Testing for an unstable root in conditional and structural error correction models", Journal of Econometrics, 63, DAVIDSON James E. H., David F. HENDRY, Frank SRBA et Stephen J. YEO, 1978, 1978, "Econometric modelling of the aggregate time-series relationship between consumers' expenditure and income in the United Kingdom", Economic Journal, 88 (352): ENGLE Robert F. et Clive W. J. Granger, 1987, Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing, Econometrica, (55) 2: ERICSSON Neil R. et James G. MacKinnon, 2002, "Distributions of Error Correction Tests for Cointegration", Econometrics Journal, 5, EVANS G. B. A. et N. E. SAVIN, 1981, Testing For Unit Roots: 1, Econometrica, 49 (3), (May, 1981), GRANGER Clive W.J., 1966, "The typical spectral shape of an economic variable", Econometrica (janvier), 34 (1): GRANGER Clive W.S. et Andrew WEISS, 1983, "Time Series Analysis of Error Correcting Models" in Studies in Econometrics, Time Series and Multivariate Statistics, Academic Press, GRANGER Clive W.S., 1981, "Some Properties of Time Series Data and their use in Econometric Model Specification", Journal of Econometrics, 16, HARBO Ingrid, Søren JOHANSEN, Bent NIELSEN et Anders RAHBEK, 1998, "Asymptotic Inference on Cointegrating Rank in Partial Systems", Journal of Business and Economic Statistics, 16, JOHANSEN Søren and Katarina JUSELIUS, 1990, "Maximum Likelihood Estimation and Inference on Cointegration, with Applications to the Demand for Money", Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 52, JOHANSEN Søren, 1988, Statistical Analysis of Cointegration Vectors, Journal of Economic Dynamics and Control, 12 (2 3): JOHANSEN Søren, 1991, Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models, Econometrica, 59, JOHANSEN Søren, 1994, "The Role of the Constant and Linear Terms in Cointegration Analysis of Nonstationary Variables", Econometric Reviews 13 (2),

10 JOHANSEN Søren, 1995, Likelihood-based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models, Oxford: Oxford University Press. MACKINNON James G., 1991, "Critical Values for Cointegration Tests", in R. F. Engle and C. W. J. Granger (eds), Long-run Economic Relationships: Readings in Cointegration, Ch. 13, pp Oxford: Oxford University Press. MACKINNON James G., 1994, "Approximate Asymptotic Distribution Functions for Unit Root and cointégration tests", Journal of Business and Economic Statistics, 12, MACKINNON James G., 1996, "Numerical Distribution Functions for Unit Root and Cointegration Tests", Journal of Applied Econometrics, 11, MACKINNON James G., Alfred A. HAUG et Leo MICHELIS, 1999, "Numerical distribution functions of likelihood ratio tests for cointegration", Journal of Applied Econometrics, 14, NELSON Charles R. et Charles I. PLOSSER, 1982, "Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Some Evidence and Implications, Journal of Monetary Economics, 10 (2): OSTERWALD-LENUM Michael, 1992, "A Note with Quantiles of the Asymptotic Distribution of the Maximum Likelihood Cointegration Rank Test Statistics", Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 54, PESARAN M. Hashem, Yongcheol SHIN et Richard J SMITH, 2000, "Structural analysis of vector error correction models with exogenous I(1) variables", Journal of Econometrics, 97, PHILLIPS Peter C.B. et Sam OULIARIS, 1990, "Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration", Econometrica, Econometric Society, 58 (1): STOCK James H. et WATSON Mark W., 1988, "Testing for Common Trends", Journal of The American Statistical Association, 83 (404): TOGBA Yves et Jean Paul TSASA, 2013, «Estimation du Maximum de Vraisemblance», One Pager Laréq (septembre), 7 (9): TSASA Jean Paul, 2013a, «Théorème de Décomposition de Wold», One Pager Laréq (avril), 6 (4): TSASA Jean Paul, 2013b, «Généralités sur les Processus TS et DS», One Pager Laréq (septembre), 7 (6): WOLRD Herman, 1938, A Study in the Analysis of Stationary Time Series, Almqvist and Wicksell, Uppsala Boktruckeri A. B., Sweden, 214p. 40

11 Annexe Dérivation du modèle à correction d erreur Soit un processus décrivant la dynamique à long terme : Nous pouvons à partir de l équation spécifier la dynamique de court terme comme suit : Nous obtenons la représentation à correction d erreur après réorganisation de l équation (A1). Ainsi, après différence première l équation, l équation devient : Afin d obtenir la représentation à correction d erreur intégrant à la fois la dynamique à long terme et à court terme, nous ajoutons et soustrayons dans comme suit : Ainsi après simplification et réorganisation, l équation s écrit : avec : Soit : avec :,. Ainsi dérive t on l équation représentant le modèle à correction d erreur. En parallèle, cette démarche s applique également à la représentation à correction d erreur du type multivarié (représentation vectorielle à correction d erreur). 41