14 Cinétique d'un solide en rotation

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1 Mécanique - Solide en rotation 1 14 Cinétique d'un solide en rotation Considérons un solide tournant autour d'un axe à la vitesse angulaire ω(t): Figure 8 Il est pratique, pour l'analyse, d'utiliser les coordonnées cylindriques. L'axe de rotation est confondu avec l'axe Oz', et la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de ϕ : ω = dϕ dt = ϕ Pour caractériser l'état cinétique du système à chaque instant, il suffit d'introduire un vecteur: ω=ω(t) k ayant pour direction l'axe Oz' et pour intensité la valeur de la vitesse angulaire ω. Son sens est fixé par la règle de correspondance habituelle entre les sens de rotation et de translation (règle du "tire-bouchon" ).

2 Mécanique - Solide en rotation La vitesse de la masse élémentaire dans le système s'écrit alors: v = ω r Ce système mécanique n'a qu'un seul degré de liberté, par conséquent son mouvement sera complètement déterminé par la variable ϕ : ϕ =ϕ (t) En considérant par exemple la loi des systèmes: dl Γ= dt pour l'utiliser il faudra la projeter sur l'axe Oz', ce qui nécessite d'introduire de nouvelle grandeurs attachées au système: σ, le moment cinétique par rapport à l'axe de rotation: σ k L = k r v dm = k ( r v) dm δ, le moment dynamique par rapport à l'axe de rotation: δ k Γ = k r df= k r df ( ) Pour un corps en rotation, le moment cinétique σ par rapport à l'axe peut s'écrire : σ= k r v dm = k ( r v) dm = ( k, r, v) dm les propriétés de symétrie du produit mixte: k,r,v = r,v,k = v,k,r ( ) ( ) ( ) donnent: σ= k ( r v) dm = ( k, r, v) dm = ( v,k, r) dm = v ( k r) dm en explicitant la vitesse de dm, il vient: σ = v ( k r) dm = ( ω r) ( k r) dm = ω ( k r) ( k r) dm

3 Mécanique - Solide en rotation 3 On remarque à l'aide de la figure 8 que: k r k r = k r = b ( ) ( ) ( ) Par ailleurs la vitesse angulaire est la même pour tous les éléments dm du solide: dm ω (t) = uniforme σ= ω( k r) ( k r) dm =ω ( k r) ( k r) dm =ω b dm Cette dernière intégrale ne dépend que de la position, on la nomme moment d'inertie J par rapport à l'axe: J b dm D'où la remarquable expression du moment d'inertie par rapport à l'axe: σ =ω J L'énergie cinétique K de rotation autour de l'axe se transforme comme suit: v 1 K dm = ω r ( ) dm 1 ω ω ω K = ( ω r ) dm = ( k r ) dm = b dm = b dm Là encore l'énergie cinétique s'exprime en fonction de J: 1 K= Jω

4 Mécanique - Solide en rotation 4 15 Dynamique de la rotation autour d'un axe Figure 9 Projetons le théorème du moment cinétique, appliqué au solide, sur l'axe de rotation Oz': avec δ le moment dynamique: dl k Γ= k = dt dk ( ω ) ( ω) ( L) dt dσ d J d δ= = = J = J ω= J ϕ dt dt dt δ= k Γ= k r df = k r df = df k δ= df ( k r ) = df b J = b dfϕ = b df L'équation du mouvement s'écrit: δ = J ϕ ( ) ( r ) Pour un élément de masse dm, bdfϕ = bdf représente le produit de la distance à l'axe par la force élémentaire "orthogonales".

5 Mécanique - Solide en rotation 5 11 Théorème d'huygens Le moment d'inertie d'un corps tournant autour d'un axe (O) passant par le point O sera désigné par le symbole J O : JO = b dm b étant la distance à l'axe (O) de l'élément dm. Figure 10 Considérons un axe (G) parallèle à (O) et passant par le centre d'inertie G de la distribution de matière. Le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe sera J G : = m JG b' d b' étant la distance à l'axe (G) de l'élément dm.

6 Mécanique - Solide en rotation 6 On choisit un repère trirectangle de telle sorte que l'axe Oz' soit l'axe de rotation, pour le calcul du moment d'inertie, et que le plan x'oy' contienne le centre de masse G de corps considéré. La position de la masse élémentaire dm est repérée par le vecteur: r OM et dans le repère du centre de masse G par le vecteur: r' GM La distance entre les axes est désignée par α. Entre les points O et G on définit le vecteur: α OG / α = OG = α La projection de M sur le plan x'oy' est le. Pour la démonstration on utilisera les vecteurs: b OP b = b b' GP b' = b' Sur la figure 10 on constate que: α+ b' = b α + b' + α b' = b Le moment cinétique J O se détaille alors comme suit: ( ) m JO = b dm = α + b' + α b' d = α + + α JO =α dm + b' dm + α b' 'dm JO dm b' dm b dm

7 Mécanique - Solide en rotation 7 Sur la figure 10 on remarque que: α zk etque r' = zk+ b' α b' =α r' JO = α m + JG + α r' dm Or dans le repère du centre de masse: r'dm = 0 D'où le théorème de Huygens: "Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe, est égal au moment d'inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle au précédent et passant par le centre de masse G, augmenté du produit de la masse totale par le carré de la distance entre les axes. J m = α + J O G On retiendra les moments d'inertie J G par rapport à l'axe de symétrie principal, de certains corps de masse totale m : Cerceau de rayon R : JG = mr Disque de rayon R : Cylindre creux de rayon R : Cylindre plein de rayon R : Sphère creuse de rayon R : Sphère pleine de rayon R : Tige de longueur L : 1 JG= mr JG = mr 1 JG= mr JG= mr 3 JG= mr 5 1 JG= ml 1

8 Mécanique - Solide en rotation 8 17 Formule des plaques minces Si le corps, admettant une dimension caractéristique L, présente une épaisseur e telle que: e L et que sa forme est "plane", on le classe alors dans l'ensemble des plaques minces. Figure 11 Pour une "plaque mince", prenons un système d'axes trirectangle Ox'y'z', de telle sorte que l'axe Oz' soit perpendiculaire à la plaque: Figure 1

9 Mécanique - Solide en rotation 9 Calculons le moment d'inertie autour de l'axe Oz': ( ) m Jz = b dm = x + y d puis celui autour de Ox': et enfin celui autour de Oy': Jx = b dm = y dm Jy = b dm = x dm On en tire la "formule des plaques minces": Pour 3 axes orthogonaux avec Oz' perpendiculaire à la plaque mince: Jz = Jx + Jy