1. Une cible est composée de trois disques concentriques, de rayons respectifs 1 dm, 2 dm

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1 Corrigé EXERCICE 1 1. Une cible est composée de trois disques concentriques, de rayons respectifs 1 dm, 2 dm et 3 dm, qui délimitent trois zones (numérotés 1, 2 et 3). Soient A 1 l aire de la zone 1, A 2 celle de la zone 2, et A 3 celle de la zone 3, exprimées en dm². A 1 est l aire du disque de rayon 1 dm : A 1 = 1² =. A 2 est la différence entre l aire du disque de rayon 2 dm et celle du disque de rayon 1 dm : A 2 = 2² 1 = 4 = 3. A 3 est la différence entre l aire du disque de rayon 3 dm et celle du disque de rayon 2 dm : A 3 = 3² 2 = 9 4 = 5. La probabilité d obtenir une zone est proportionnelle à l aire de cette zone, et on atteint toujours la cible, donc la somme des probabilités de ces trois zones doit être égale à 1. On peut présenter les probabilités dans un tableau de proportionnalité : Aire de la zone (dm²) Probabilité Pour obtenir la probabilité de la zone 1, on effectue une règle de trois : = AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 1

2 CRPE MATHÉMATIQUES Et on fait de même pour les deux autres zones. La probabilité d obtenir la zone 2 est donc de soit et non de. L affirmation 1 est donc fausse = = 2 ( ) = 7 2 pour tout n 2 est un nombre entier donc le nombre est un multiple de 7, pour tout n. L affirmation 2 est donc vraie. 3. Soit DM la distance en km entre Luz-Saint-Sauveur et le sommet du col et DD la distance en km entre le sommet du col et Campan. Pour Jean-Luc, on a : DM = 20 TM JL Jean-Luc. où TM JL est la durée de la montée de Et : DD = 48 TD JL où TD JL est la durée de sa descente. La distance parcourue par les deux cyclistes est la même à la montée et à la descente. Pour Patrice, on a : DM = 15 TM P Et : DD = 60 TD P où TM P est la durée de la montée de Patrice. où TD P est la durée de sa descente. De plus, pour aller de Luz-Saint-Sauveur à Campan (soir la montée et la descente), Jean-Luc a mis 1h 24 min soit (1 + Par conséquent, on a : " " ) heure, soit 1,6h. T" + T" = 1,4 T + T = 1,6 et 20 TM JL = 15 TM P 48 TD JL = 60 TD P AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 2

3 CRPE MATHÉMATIQUES Résolvons par combinaison ce système en commençant par le 2ème système, et en multipliant la 1ère équation par 4 : 80 T" = 60 T 48 T" = 60 T On ajoute ces deux équations : 80 T" + 48T" = 60 T + 60 T 80 T" + 48T" = 60 (T + T ) 80 T" + 48T" = 60 1,6 80 T" + 48T" = 96 On divise par 16 : 5 T" + 3T" = 6 Ainsi : T" + T" = 1,4 5T" + 3 T" = 6 En procédant toujours par combinaison et en multipliant par (-3) la 1ère équation, on a : 3T" 3 T" = 4,2 5T" + 3 T" = 6 On ajoute ces deux équations : 2T" = 1,8, T" = = 0,9 Jean-Luc a mis 0,9 h pour aller de Luz-Saint-Sauveur jusqu au sommet du col, à la vitesse moyenne de 20 km/h. La distance parcourue est donc : DM = 0,9 x 20 = 18 km L affirmation 3 est donc vraie. AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 3

4 4. Les nombres qui s écrivent avec les chiffres 1, 2 et 3, utilisés qu une seule fois sont : Leur somme S vaut : S = = 1332 = S est donc toujours un multiple de 2 et de 111. L affirmation 4 est donc vraie. 5. Calculons les différents volumes, sachant que le trou est un parallélépipède rectangle, le volume d eau est lui aussi le volume d un parallélépipède rectangle et la bille est une boule de diamètre 1,4 cm donc de rayon 0,7 cm : Vtrou = 3 1,6² = 7,68 Veau = 2 1,6² = 5,12 Vbille = 0,7 1,437 le trou a donc un volume de 7,68 cm3. l eau a donc un volume de 5,12 cm3. la bille a donc un volume de 1,437 cm3, au millième près. Par conséquent, l eau et la bille ont un volume d environ : 5,12 + 1,437 = 6,557 cm 3 6,557 < 7,68 Donc la bille ne fera pas déborder l eau de ce trou. L affirmation 5 est donc fausse. 6. Le bilan des ventes de ses menus est donné en pourcentage. Prenons, par exemple, un nombre total de menus vendus égal à 100. Il y a donc 14 menus enfants vendus au prix de 4, 36 menus normaux vendus à 6,50, 29 menus grande taille vendus à 8 et 21 menus géants vendus à 12. La moyenne est donc : " "," " " "" = " "" = 7,74 Le prix moyen dépensé pour un menu est de 7,74 et non de 7. L affirmation 6 est donc fausse. AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 4

5 EXERCICE 2 1. x est la longueur AM où M est un point de [AC] ( M n est pas situé en A, ni en C), donc 0 < x < AC 0 < x < 8 2. AMIE est un rectangle donc ses côtés opposés (AE) et (MI) sont parallèles. De plus, E est un point de [AB] donc (AB) et (MI) sont parallèles. Les points C, I, B d une part et C, M, A d autre part sont alignés dans le même ordre, on peut donc appliquer la propriété de Thalès, et on a : " " = " " = " " Or AB = 6 cm, CA = 8 cm et CM = CA AM = 8 x Donc MI = " " " MI = = = " = " MI =. AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 5

6 3. a. P(x) = 2AM + 2MI P(x) = 2x + 2(6 ) P(x) = 2x + 12 P(x) = 12 + b. D après la question précédente, le périmètre de AMIE en fonction de x est une fonction affine, donc le périmètre de AMIE n est pas proportionnel à la longueur AM. Une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire et non affine. c. Pour x = 1,5 : P(1,5) = ,5 x 1,5 = ,75 = 12,75 Pour une longueur AM de 1,5 cm, le périmètre de AMIE est de 12,75 cm. Pour x = 6,75 : P(6,75) = ,5 x 6,75 = ,375 = 15,375 Pour une longueur AM de 6,75 cm, le périmètre de AMIE est de 15,375 cm. d. On veut obtenir un périmètre égal à 8 cm, on a donc P(x) = 18. Il faut donc résoudre l équation : 12 + = 18 = = = 12 Or d après la question 1., est un nombre strictement compris entre 0 et 8, donc il ne peut pas valoir 12. Par conséquent, on ne peut pas avoir un périmètre de 18 cm. AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 6

7 4. a. AMIE est un rectangle donc (EI) est perpendiculaire à (AE) et donc aussi à (BE). Le triangle BEI est donc rectangle en E, d où : A1(x) = " " Or EI = AM = x (ce sont deux côtés opposés du rectangle) et EB = AB AE (car les points B, E, A sont alignés dans cet ordre) EB = 6 MI EB = EB = Donc A1(x) = = ² A1(x) = ² De même que pour BIE, on montre que MIC est un triangle rectangle en M, d où : A2(x) = " " Or MI = 6 et MC = 8 x Donc A2(x) = (6 )(8 ) A2(x) = ( ) A2(x) = ( ) A2(x) = 24 " + AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 7

8 b. Déterminons la valeur de x pour laquelle l aire du triangle BEI est égale à celle du triangle MIC. Il faut donc résoudre l équation : A1(x) = A2(x) ² = ² = 24 6 = 24 = 4 et 0 < 4 < 8 Les aires des triangles BEI et MIC sont égales pour x = 4 cm. EXERCICE 3 1. a. Cette spirale qui a pour base un triangle équilatéral ABC est composée de 3 arcs de cercle. ABC est équilatéral donc ses angles valent tous 60, les points A, A et B sont alignés Donc " = 180 donc " = "" "# = = 120 De même, on a : = 120 et = 120. AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 8

9 Ainsi, la spirale est composée des arcs de cercle : b. Un cercle entier a un angle de 360, les arcs de cercle ont un angle de 120, donc cela représente : On utilise donc 1/3 de chaque cercle = 1 3 c. 1/3 est une fraction irréductible, dont le dénominateur n est pas un produit de puissances de 2 et/ou de 5, donc cette fraction n est pas un nombre décimal. 2. Programme de construction d une spirale à base carrée, de côté a : AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 9

10 3. Calculons la longueur LT de la spirale à base triangulaire : LT = CA + A B + B C D après la question 1., chaque arc de cercle correspond à 1/3 du cercle entier. Le périmètre d un cercle de rayon a est 2" donc : LT = 2" LT = (2" + 4" + 6") LT = " AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 10

11 LT = 4" La longueur de la spirale à base triangulaire est 4". Calculons la longueur L C de la spirale à base carrée : LC = DA + A B + B C + C D Les angles d un carré mesurant 90, chaque arc de cercle aura un angle de 90, ce qui correspond à 1/4 du cercle entier ( " "# = ) donc : LC = 2" LT = (2" + 4" + 6" + 8") LT = 20" LT = 5" La longueur de la spirale à base carré est 5". 4. La longueur de la spirale construite à partir d un triangle équilatéral de côté 10 cm vaut : LT = 4" = 4 10 = 40 On souhaite que la longueur de la spirale construite à partir d un carré de côté a est elle aussi une longueur de 40, il faut donc que : 5" = 40 = " = 8 Il faut donc que le côté du carré soit de 8 cm pour que les deux spirales aient la même longueur. AFADEC Nathalie N Diaye Droits de reproduction réservés 11