Natation à faible nombre de Reynolds

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1 Natation à faible nombre de Reynolds François Alouges 1 Collaborations: A. DeSimone, A. Lefebvre-Lepot, B. Merlet, L. Heltai, L. Giraldi 1 CMAP Ecole Polytechnique Décembre 2012

2 Qu est ce que la natation? Définition: Capacité à se déplacer dans ou sur l eau avec des mouvements appropriés périodiques (une brassée), et sans force extérieure Problème de contrôle: Etant donné un corps déformable, est-il possible de trouver une loi de forces internes produisant un changement de forme périodique (une brassée) et qui induise un déplacement par réaction sur le fluide?

3 Motivation Des systèmes performants... c Speedo, c EPFL

4 Motivation...à la microtechnologie. ESPCI (2005), Monash University (Australia 2008), Spintec CEA Grenoble Conception de micro-robots nageurs : diagnostique, microchirurgie non invasive, dépôt de médicament, réparation d ADN, etc.)

5 Motivation

6 Motivation

7 Nombre de Reynolds Re = ρul ν Dans l eau ρ ν 106 m 2 s. Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans l eau, on a L 1m, U 1m/s et Re Bon modèle: Equations d Euler [ ρ ( u t + (u )u ) + p = f, divu = 0 Pour une bactérie L 1µm, U 1µm/s et Re Bon modèle: Equations de Stokes [ ν u + p = f, divu = 0

8 Nombre de Reynolds Re = ρul ν Dans l eau ρ ν 106 m 2 s. Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans l eau, on a L 1m, U 1m/s et Re Bon modèle: Equations d Euler [ ρ ( u t + (u )u ) + p = f, divu = 0 Pour une bactérie L 1µm, U 1µm/s et Re Bon modèle: Equations de Stokes [ ν u + p = f, divu = 0

9 Situations à faible nombre de Reynolds Dans l eau, des tailles et des vitesses faibles U, L 1 (un grand nombre d écoulements biologiques) A l échelle humaine, des fluides très visqueux ν 1, (miel, silicone, etc.) Des vitesses extrêmement faibles U 1 et/ou des fluides extrêmement visqueux (ex: glaciers)

10 Propriétés des fluides à faible nombre de Reynolds Re = ρul ν (Film: G. I. Taylor)

11 Le théorème de la coquille Saint-Jacques (Film: G. Blanchard, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, C. Gluza, R. Leblanc, M. Quillas-Saavedra)

12 Le théorème de la coquille Saint-Jacques Obstruction:[Purcell] En régime de Stokes, un mouvement réciproque n induit aucun déplacement global

13 Evidence du théorème de la coquille Saint-Jacques (Film: G. I. Taylor)

14 Exemple de robot nageur (Purcell) Edward Mills Purcell ( )

15 Exemple de robot nageur (Purcell)

16 Modélisation Etat = (forme, position) Forme=ξ = (ξ 1,, ξ N ) (un nombre fini de variables) Position= p( R 3 SO(3)) Le nageur change de forme = ξ(t) et pousse le fluide. Celui-ci réagit en suivant les équations (de Stokes) et déplace (et tourne) le nageur. Auto-propulsion 0 mγ = F tot = F visc + F ext = F visc La force totale et le couple total appliqués au fluide par le robot sont nuls.

17 Modélisation Etat = (forme, position) Forme=ξ = (ξ 1,, ξ N ) (un nombre fini de variables) Position= p( R 3 SO(3)) Le nageur change de forme = ξ(t) et pousse le fluide. Celui-ci réagit en suivant les équations (de Stokes) et déplace (et tourne) le nageur. Auto-propulsion 0 mγ = F tot = F visc + F ext = F visc La force totale et le couple total appliqués au fluide par le robot sont nuls.

18 Le système différentiel Or F visc = Ω f et f = DN (ξ,p) v (linéarité des équations de Stokes) v(x) = Aṗ + B ξ ) 0 = F visc = DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0, Ω ) 0 = T visc = x 0 DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0. Ω ṗ = V (p, ξ) ξ.

19 Le système différentiel Or F visc = Ω f et f = DN (ξ,p) v (linéarité des équations de Stokes) v(x) = Aṗ + B ξ ) 0 = F visc = DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0, Ω ) 0 = T visc = x 0 DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0. Ω ṗ = V (p, ξ) ξ.

20 Le système différentiel Or F visc = Ω f et f = DN (ξ,p) v (linéarité des équations de Stokes) v(x) = Aṗ + B ξ ) 0 = F visc = DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0, Ω ) 0 = T visc = x 0 DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0. Ω ṗ = V (p, ξ) ξ.

21 Le système différentiel Or F visc = Ω f et f = DN (ξ,p) v (linéarité des équations de Stokes) v(x) = Aṗ + B ξ ) 0 = F visc = DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0, Ω ) 0 = T visc = x 0 DN p,ξ (Aṗ + B ξ dx 0. Ω ṗ = V (p, ξ) ξ.

22 Résumé 1 Micro-natation Re 0 Equations de Stokes (linéaires) Ecoulements réversibles (théorème de la coquille Saint-Jacques) Linéarite + autopropulsion ṗ = V (p, ξ) ξ

23 Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001) B 1 B 2 B 3 p a x 1 x 2 x 3 ξ 1 ξ 2 En changeant ξ 1 et ξ 2, les sphères imposent des forces f 1, f 2, f 3 au fluide avec f 1 + f 2 + f 3 = 0 3 variables ξ 1, ξ 2, p et deux paramètres de contrôle Les vitesses (et donc les forces) sont linéaires en ξ 1, ξ 2, ṗ ṗ = V 1 (ξ) ξ 1 + V 2 (ξ) ξ 2

24 Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001) B 1 B 2 B 3 p a x 1 x 2 x 3 ξ 1 ξ 2 En changeant ξ 1 et ξ 2, les sphères imposent des forces f 1, f 2, f 3 au fluide avec f 1 + f 2 + f 3 = 0 3 variables ξ 1, ξ 2, p et deux paramètres de contrôle Les vitesses (et donc les forces) sont linéaires en ξ 1, ξ 2, ṗ ṗ = V 1 (ξ) ξ 1 + V 2 (ξ) ξ 2

25 Plans tangents On peut réécrire le système sous la forme ξ d ξ 2 = u 1 0 +u 2 1 = u 1 F 1 (ξ)+u 2 F 2 (ξ) dt p V 1 (ξ) V 2 (ξ) Problème Peut-on trouver ξ(t) périodique tel que p ne le soit pas? Réponse: A-t-on dim(lie(f 1, F 2 )) = 3? Ici: [F 1, F 2 ] = 0 0 ξ1 V 2 ξ2 V 1

26 Plans tangents On peut réécrire le système sous la forme ξ d ξ 2 = u 1 0 +u 2 1 = u 1 F 1 (ξ)+u 2 F 2 (ξ) dt p V 1 (ξ) V 2 (ξ) Problème Peut-on trouver ξ(t) périodique tel que p ne le soit pas? Réponse: A-t-on dim(lie(f 1, F 2 )) = 3? Ici: [F 1, F 2 ] = 0 0 ξ1 V 2 ξ2 V 1

27 Contraintes holonomiques ou pas? p = W (ξ 1, ξ 2 )

28 Contraintes holonomiques p = W (ξ 1, ξ 2 ) ṗ = V 1 (ξ) ξ 1 + V 2 (ξ) ξ 2

29 Contraintes holonomiques p = W (ξ 1, ξ 2 ) ṗ = V 1 (ξ) ξ 1 + V 2 (ξ) ξ 2 équivalent si V = ξ W c est-à-dire rot ξ V = 0

30 Le théorème de la coquille Saint-Jacques La coquille Saint-Jacques n a qu un degré de liberté ξ. Le système devient et p = ξ V (y)dy =: W (ξ) ξ = α(t) ṗ = V (ξ) ξ Si ξ est périodique, p l est aussi... La contrainte est toujours holonomique.

31 Le théorème de la coquille Saint-Jacques La coquille Saint-Jacques n a qu un degré de liberté ξ. Le système devient et p = ξ V (y)dy =: W (ξ) ξ = α(t) ṗ = V (ξ) ξ Si ξ est périodique, p l est aussi... La contrainte est toujours holonomique.

32 Un théorème de contrôle Théorème Le système de 3-sphères de Najafi et Golestanian est globalement contrôlable. Depuis n importe quel état (ξ i, p i ), on peut atteindre n importe quel autre état (ξ f, p f ) avec une loi de force appropriée (f i (t)) i telle que i f i(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des fonctions α i (t)).

33 Un théorème de contrôle Théorème Le système de 3-sphères de Najafi et Golestanian est globalement contrôlable. Depuis n importe quel état (ξ i, p i ), on peut atteindre n importe quel autre état (ξ f, p f ) avec une loi de force appropriée (f i (t)) i telle que i f i(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des fonctions α i (t)).

34 D autres sytèmes contrôlables: x1 e1,4 x4 r e B x r1,2 y p q l s x2 x3 z 3 contrôles (resp. 4), 3 crochets de Lie (resp. 6) Contrôlabilité avec un bord (thèse de L. Giraldi)

35 Efficacité de la natation Lighthill Eff 1 = = 1 T T T 0 T 0 Ω ( c ) 2 T f v dσ dt f 1 (t)v 1 (t) + f 2 (t)v 2 (t) + f 3 (t)v 3 (t) dt c 2 But: Trouver les trajectoires joignant (ξ i, c i ) à (ξ f, c f ) et maximisant l efficacité ( c est fixé).

36 Efficacité de la natation Lighthill Eff 1 = = 1 T T T 0 T 0 Ω ( c ) 2 T f v dσ dt f 1 (t)v 1 (t) + f 2 (t)v 2 (t) + f 3 (t)v 3 (t) dt c 2 But: Trouver les trajectoires joignant (ξ i, c i ) à (ξ f, c f ) et maximisant l efficacité ( c est fixé).

37 Efficacité de la natation Cinématique: Sur Ω, vitesses et forces s expriment linéairement en fonction de ξ et ṗ ṗ s exprime lnéairement en fonction de ξ Eff 1 = T T N 0 i,j=1 g ij (ξ(t)) ξ i (t) ξ j (t) dt = T T 0 (G ξ, ξ) dt G = (g ij ) définit une métrique sur l espace tangent à (ξ, c) Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannien

38 Efficacité de la natation Cinématique: Sur Ω, vitesses et forces s expriment linéairement en fonction de ξ et ṗ ṗ s exprime lnéairement en fonction de ξ Eff 1 = T T N 0 i,j=1 g ij (ξ(t)) ξ i (t) ξ j (t) dt = T T 0 (G ξ, ξ) dt G = (g ij ) définit une métrique sur l espace tangent à (ξ, c) Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannien

39 Efficacité de la natation Cinématique: Sur Ω, vitesses et forces s expriment linéairement en fonction de ξ et ṗ ṗ s exprime lnéairement en fonction de ξ Eff 1 = T T N 0 i,j=1 g ij (ξ(t)) ξ i (t) ξ j (t) dt = T T 0 (G ξ, ξ) dt G = (g ij ) définit une métrique sur l espace tangent à (ξ, c) Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannien

40 Une méthode de tir L équation des géodésiques sous-riemanniennes est une EDO du 2nd ordre (G )γ + 1 ( ) (Gξ1 γ, γ) + λcurlv (γ) γ = 0. (1) 2 (G ξ2 γ, γ) où G = (g ij ), γ = (ξ 1, ξ 2 ) t G ξ1 = G ξ 1, G ξ2 = G ξ 2

41 Natation optimale

42 Plane Swimmer

43 Le problème de la dimension infinie Que se passe-t-il lorsque les formes sont décrites par un nombre infini de variable? Contrôlabilité? Cf. Tucsnak, Lohéac Crochets de Lie? Géodésiques optimales EDO -> EPDP? Résolution numérique

44 Eutreptiella