Equations de Navier-Stokes dans un système en rotation

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Equations de Navier-Stokes dans un système en rotation"

Ghislaine Perrot
il y a 7 ans
Total affichages :

1 Equations de Navier-Stokes dans un système en rotation Soit e i un système inertiel d axes orthonormés et e i un système d axes orthonormés en rotation par rapport à e i, avec un vitesse angulaire instantannée Ω. Soit a et a r les accélérations mesurées respectivement par rapport aux axes e i et e i. 1) Montrer que a et a r sont liées par, a = a r + 2Ω v r + Ω (Ω x r ) + Ω x r, (1) où v r et x r sont les vecteurs vitesse et position dans le repère en rotation. Démonstration. Soit x r = x i e i le vecteur position relatif à l origine du système de coordonnées e i. On a alors avec x = x 0 + x r (x 0 étant le vecteur reliant les origines des système d axes), et d 2 x dt 2 d 2 x dt 2 dx dt = dx i dt e i + x de i i dt = dx i dt e i + x i(ω e i). (2) = d2 x i dt 2 e i + dx i dt (Ω e i) + dx i dt (Ω e i) + x i( Ω e i) + x i(ω (Ω e i)) (3) = d2 x i dt 2 e i + 2Ω ( dx i dt e i) + Ω (Ω (x ie i)) + Ω (x ie i). (4) 2) En déduire que les équations de Navier-Stokes s écrivent dans le repère en rotation sous la forme : t v r + (v r )v r = (p/ρ) + ν v r 2Ω v r Ω (Ω x r ) Ω x r. (5) Démonstration. En vertu de (1) et du bilan d impulsion ρa = p + µ v, on a, ρa r = ρ(a 2Ω v r Ω (Ω x r ) Ω x r ) (6) = p + µ v ρ(2ω v r + Ω (Ω x r ) + Ω x r ). (7) De plus, comme v = v r + Ω x r, on a v = v r. 1

2 3) Montrer que : Ω (Ω x) = 1 2 [(Ω x)2 ]. (8) Démonstration. On a, et [Ω (Ω x)] i = ɛ ijk Ω j [Ω x] k (9) = ɛ ijk Ω j ɛ klm Ω l x m = δ lm ij Ω j Ω l x m = Ω i Ω m x m Ω m Ω m x i. i [(Ω x) 2 ] = i [(Ω x) j (Ω x) j ] (10) = i (ɛ jlm Ω l x m ɛ jgh Ω g x h ) = i (δ gh lm Ω lω g x m x h ) = i (Ω l Ω l x m x m Ω l Ω m x l x m ) = 2Ω l Ω l x i 2Ω i Ω m x m. (11) 4) En déduire qu on peut toujours absorber la force centrifuge Ω (Ω x r ) dans une redéfinition de la pression mécanique et que dans le cas d une rotation à vitesse constante, seule la force de Coriolis subsiste explicitement. Démonstration. Comme la force centrifuge prend la forme d un gradient, elle peut être absorbée dans la redéfinition de la pression : p p 1 2 ρ [(Ω x)2 ]. De plus, à vitesse de rotation constante, le terme Ω x r disparaît bien. Evolution temporelle des fluctuations turbulentes dans la décomposition de Reynolds 1) A partir de la décomposition de Reynolds, u i = U i +u i (avec U i = u i ), déterminer l évolution temporelle des fluctuations u i. Démonstration. On a vu au cours que la vitesse moyenne évolue comme, t U i + U j j U i = i (P/ρ) + ν U i j u j u i. (12) 2

3 Si on soustrait cette équation du bilan d impulsion totale pour u i, on obtient directement, t u i + u j j U i + U j j u i = i (p /ρ) + ν u i j (u iu j u ju i ). (13) 2) Pour des fluctuations de petites amplitudes, à quoi se réduit cette équation? (NB : cette équation est le point de départ de l analyse de stabilité linéaire des solutions laminaires des équations de Navier-Stokes). Démonstration. Si les fluctuations sont de petites amplitudes, on a, t u i + u j j U i + U j j u i = i (p /ρ) + ν u i. (14) Remarque : en décomposant les fluctuations en mode normaux, u i (x, t) = e st u 0i (x), p (x, t) = e st p 0 (x), on peut étudier avec cette équation la croissance de ces modes autour de la solution laminaire fournie par le couple U i, P. 3) Déterminer l évolution temporelle de la contrainte de Reynolds, R ij =< u iu j >. (15) Démonstration. On commence par multiplier l équation (13) par u k. On additionne l équation obtenue à la même, mais dans laquelle on intervertit i et k. Ceci donne, t (u iu k ) + U j j (u iu k ) = u k u j j U i u iu j j U k j (u iu ju k ) +u k jr ij + u i j R kj u k i(p /ρ) u i k (p /ρ) + νu k u i + νu i u k. (16) On prend alors la moyenne de cette équation pour obtenir : t R ik + U j j R ik = R kj j U i R ij j U k j u i u ju k u k i (p /ρ) u i k (p /ρ) + ν u k i u + ν u i u k (17) La première ligne de (17) est une équation fermée pour la contrainte de Reynolds une fois l écoulement moyen connu au travers de (12). Malheureusement, la seconde ligne introduit une série de termes qui dépendent explicitement des fluctuations et on doit donc les modéliser si on veut obtenir un système fermé en terme de U j et R ij. 3

4 4) En déduire l évolution temporelle de l énergie cinétique turbulente k = 1 2 < u i u i >. Démonstration. En prenant la moitié de la trace de (17) et en réarrangeant les contributions visqueuses, on obtient, t k + U j j k = P E j T j, (18) où, T j = 1 u 2 k u 1 k j u + u ρ j p ν j k (19) E = ν ( j u i)( j u i) > (20) P = u k u j j U k (21) Décomposition cinématique du champ de vitesse Soit u x = ay un champ de vitesse à 2 dimensions (correspondant à un cissaillement). Montrer que localement ce champ de vitesse peut être décomposé en un mouvement de déformation pure et une rotation. Donner les caractéristiques de chacune de ces contributions. Démonstration. La vitesse relative autour du point origine peut se mettre sous la forme : u x 0 a 0 x u y = y (22) u z z Dans un répère où les axes (x, y) sont tournés de 45 0 autour de l axe z, on obtient, u x u y = a a x y (23) u 2 2 z z La première contribution est la combinaison d une dilatation d amplitude a/2 suivant x et d une contraction d amplitude a/2 suivant y (on a donc une déformation à volume constant). La deuxième contribution engendre une rotation solide autour de l axe z à vitesse angulaire a/2. La représentation graphique de cette décomposition est illustrée dans la figure ci-dessous. 4

5 5

Documents pareils

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à