POLYGONES REGULIERS ARCHIMEDE SIMPLIFIE ET TABLEUR

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1 THEME : POLYGONES REGULIERS ARCHIMEDE SIMPLIFIE ET TABLEUR Comment calculer les décimales du nombre π? C'est à Archimède ( 287 av. JC av. JC) que l on doit les premiers calculs méthodiques ( c'est-àdire sous forme d algorithme, sous forme de répétitions ) des décimales de ce nombre π. Cette méthode ( dite d Archimède ) consiste à calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle en augmentant le nombre de côtés. Circonférence d un cercle de rayon 0,5 : 2 π 0,5 = π A partir de ce cercle, Archimède l a encadré entre un polygone régulier inscrit ( intérieur au cercle ) et un polygone régulier circonscrit ( extérieur au cercle ), ces deux polygones ayant même nombre de côtés. Il a commencé avec des hexagones inscrits et circonscrits ( 6 côtés ), puis à Le rayon de 0,5 est utilisé pour avoir une circonférence «intéressante» : π Mais il est possible de prendre toute autre valeur. Si le rayon est 1, la circonférence est 2 π et tout encadrement de ce nombre permet aisément d avoir, en divisant ici par 2, un encadrement de π. partir de ces hexagones, en partageant chaque arc de cercle en deux, il a obtenu des dodécagones ( 12 côtés), puis des polygones à 2, 8, et 96 côtés. Le périmètre du cercle ( ici π ) était donc encadré entre le périmètre du polygone inscrit ( intérieur )et le périmètre du polygone circonscrit ( extérieur ). Périmètre Polygone intérieur π Périmètre Polygone extérieur Alors qu Archimède n avait pas de machine pour faire les calculs, nous allons, à l aide d un tableur tenter de retrouver une valeur approchée de π, en n utilisant que les polygones inscrits ( intérieurs )

2 Exercice 1: Longueur d un côté Considérons un polygone ABCDEF à 6 côtés ( hexagone ) inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R ( nous prendrons un peu plus tard R = 0,5 ) Traçons sur un côté ( [AB] par exemple ) la médiatrice. Passant par O, elle coupe le segment [AB] en son milieu ( et perpendiculairement ) en H et l arc de cercle en M. 1) Montrer que OH = 2)Calculer HM. 3) En utilisant le triangle HMA, rectangle en H, montrer que : 2R² 2R R²- Ce résultat donne, en fonction de la longueur du côté (AB) d un polygone, la longueur du côté (AM) d un polygone ayant deux fois plus de côtés. Exercice 2: Calcul d une valeur approchée de π : Considérons un hexagone ( 6 côtés ) dans un cercle de rayon R = 0,5. La longueur du côté d un hexagone de diamètre R est R, donc le côté [AB] de l hexagone mesure 0,5.. 1) Nombre de côtés : Dans le tableur, créons trois colonnes : Nombre de côtés Longueur du côté Périmètre du polygone. Dans la première colonne, nous commencerons avec un nombre de côtés égal à 6 ( hexagone )( Cellule A3 ) Puis nous doublerons à chaque nouvelle ligne ce nombre de côtés. Inscrivons donc, dans la cellule A : 2*A3, puis validons.

3 Pour généraliser cette formule, tirons ( croix noire ) sur le coin inférieur droit de la cellule A vers le bas sur un certain nombre de cellules. 2) Longueur d un côté : Dans la cellule B3, inscrivons la longueur du côté du polygone choisi ( ici 0,5 ). Pour un polygone à deux fois plus de côtés ( 12 = 2 x 6 ), le côté AM est donné par la formule déterminée dans l exercice 1 : 2R² 2R R²- = 2 0,5² 2 0,5 Rentrons la formule dans la cellule B ( la valeur de AB étant donné par la cellule B3) =RACINE(2*0,5*0,5-2*0,5 *RACINE(0,5*0,5 - B3*B3/)) 0,5²- Puis, comme précédemment, en tirant sur le coin inférieur droit de cette cellule, nous recopions dans les cellules situées en dessous, cette formule. 3) Périmètre du polygone régulier : Il suffit de multiplier la longueur d un côté par le nombre de côtés, A3*B3 Puis, encore une fois, en tirant sur le coin inférieur droit, recopiez dans les cellules suivantes.

4 Il est possible d améliorer cette présentation rapide, en ajoutant, par exemple, la différence entre la valeur réelle de la circonférence du cercle et le périmètre du polygone utilisé. Il était certainement plus simple d utiliser des formules trigonométriques pour déterminer les longueurs des côtés d un polygone régulier, mais les tableurs n utilisent pas les degrés, mais les radians!

5 CORRECTION EXERCICE 1 : R² ²= OH² + 1) Calcul de OH : La droite (OH) est la médiatrice duu segment [AB], donc ( OH) est perpendiculaire à (AB) et par suite AHO est un triangle rectangle en H AB H est le milieu de [AB] et donc AH = 2 Dans le triangle AHO rectangle en H Nous avons, d après le théorème dee Pythagore : OA² = OH² + AH² AB R²= OH² + ( )² 2 R²= OH² + 2² 2)Calcul de HM : H est un point du segment [OM] Donc OM = OH + HM 3)Calcul de AM : HM = OM OH = R - R² ²- OH²= R²- Dans le triangle AHM rectangle en H Nous avons, d après le théorème de Pythagore : AM² = HM² + AH² AM² = (R - AM² = ( 2R AM² = 2R AM² = 2 2R AB )² + ( )² = OH² ) + 2 R² 2 R et par suite OH = R²- EUREKA