Hechmi Similitudes Dans tous les exercices le plan est orienté. Exercice 1

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1 Similitudes Dans tous les exercices le plan est orienté. Exercice 1 4 eme Mathématiques Soit un triangle tel que la mesure principale de l angle +,, est un réel de : 0,. On construit à l extérieur de ce triangle trois carrés de côtés respectif, et et on désigne par, et leurs centres respectifs. Soit le symétrique de par rapport à. Soit la similitude directe de centre et qui transforme en. Soit la similitude directe de centre et qui transforme en. 1) Donner les rapports et les angles de et. 2) Préciser les images de et de par о. 3) En déduire que : et que Exercice 2 Dans la figure ci-contre, est un losange de centre tel que, 2 et 3 1) Soit la similitude directe qui envoie en et en. a) Déterminer le rapport et l angle de. b) Montrer que O est le centre de. 2) a) Soit l image de par. Montrer que est l orthocentre du triangle et que 9. b) Soit l image de par. Montrer que est un losange. 3) Soit! "#. a) Déterminer la nature de. b) Déterminer les images des points,,, et par. c) Déterminer l axe de. d) La droite coupe les droites,, et respectivement en %,(,) et &. Montrer que %& 3 (). Exercice 3 Soit un triangle rectangle en tel que :, 2 ; 3 et 1) Soit la similitude directe telle que et a) Déterminer l angle et le rapport de. b) Soit * le projeté orthogonal de sur. Montrer que * est le centre de. 2) Soit a) Montrer que apparient à la droite *. b) Construire le point. 3) Soit la similitude indirecte qui transforme en et en. On désigne par Ω le centre de. Kooli Mohamed Hechmi 4

2 a) Montrer que! 0 = 1# b) Soit 2 =. Déterminer 1# 2. Construire alors le point 2. c) Préciser la nature de!. Montrer que Ω appartient à la droite ainsi qu à la droite 2 d) Construire le point Ω et l axe de la similitude. Exercice 4 Soit un carré de centre tel que, 2 et +,, coupe en. =, la bissectrice intérieure de 1) a) Montrer qu il existe une unique similitude directe qui transforme en et en. b) Déterminer le rapport et l angle de. c) Montrer que est le centre de. d) Donner la forme réduite de. 2) Soit 4 la rotation de centre et d angle 5. a) Montrer que : 4= "# о "6 b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l application : 7= о "6 3) On pose : 2 = 1 et on désigne par la similitude indirecte qui transforme : en et en 2. a) Montrer que 2 est le rapport de en déduire que admet un centre. b) Déterminer о. En déduire que est le centre de. c) Déterminer alors l axe de. Exercice 5 Soit ) un plan muni d un repère orthonormé direct,8,9. 1) Soit l application de ) vers luis même qui à tout point % d affixe : associe le point % ; d affixe : ; tel que : : ; = 2 = : 2 = a) Montrer que est une similitude indirecte et préciser son rapport et l affixe de son centre Ω. b) Déterminer une équation cartésienne de son axe. 2) Soit l application de ) vers luis même qui à tout point % d affixe : associe le point % ; d affixe : ; tel que : : ; = = :+3. a) Montrer que est un antidéplacement. b) Soit % ;; d affixe : ;; l image de % par о, exprimer : ;; en fonction de :. c) En déduire que est une symétrique glissante et préciser l affixe de son vecteur. 3) Soit l application h de ) vers luis même qui à tout point % de coordonnées B,Ctelle que :D B; =B C+3 C ; =B+C+1 F. a) On désigne par : l affixe de % et par : ; l affixe de % ; exprimer : ; en fonction de. b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de h.

3 Exercice 6 Soit un triangle équilatéral direct ; on pose :. 1) Soit la similitude directe qui transforme en et en. a) Déterminer le rapport et l angle de. b) On désigne par ζ le cercle circonscrit au triangle. Montrer que le centre Ω de la similitude appartient à ζ et à la droite. Construire Ω. 2) Soit 7 la similitude indirecte qui transforme en et en. a) Déterminer et construire le point ; 7. b) On désigne par D la droite perpendiculaire à la droite en. Montrer que le point ; 7 est le point d intersection des droites et D. c) Déterminer le rapport de la similitude 7. 3) On désigne par G le centre de 7 et par son axe. a) Déterminer 7 о 7 et 7 о 7. b) Déduire alors une construction du point ω c) Montrer que. d) Déterminer et construire alors la droite. Exercice 7 Soit un triangle tel que : =2 et, 2. soit et les milieux respectifs des segments et. On désigne par le symétrique de par rapport à, le symétrique de par rapport à et * le projeté orthogonal de sur la droite. A/ 1) a) Montrer qu il existe un unique déplacement 4 du plan tel que 4= et 4=. b) Montrer que 4 est la rotation de centre et d angle 2) On pose : H =4*. a) Montrer que H appartient à la droite et que les droites H et sont perpendiculaires. b) Construire alors le point H. B/ Soit la similitude directe qui transforme en et en. 1) a) Déterminer le rapport et l angle de. b) Montrer que * est le centre de. c) Montrer que =, en déduire que les droites * et * sont perpendiculaires. 2) La perpendiculaire en à la droite coupe la droite * en. a) Montrer que : +,=. b) Déduire que : =. c) Montrer que :* ==. C/ Soit h= о 4 0, on désigne par I le symétrique de par rapport à. 1) Déterminer : h et h.

4 2) Montrer que h est une homothétie et préciser son rapport. 3) Déterminer son centre. Exercice 8 Le plan est muni d un repère orthonormé direct,8,9. Soit J l application du plan vers lui-même qui à tout point % d affixe : associe le point % d affixe : tel que : ; = =:+2. 1) a) Déterminer l ensemble des points invariants par J. b) Montrer que J est une symétrie glissante. c) On désigne par 8 son vecteur ; déterminer l expression complexe associée à l application J! J. En déduire l affixe de 8. d) On désigne par son axe ; déterminer l expression complexe associée à l application J! K 0L. En déduire une équation cartésienne de. 2) On désigne par,, % et % les points du plan d affixes respectives : 1, =, M NO et =M 0NO +2 a) Montrer que lorsque P, le point % varie sur un cercle fixe C que l on déterminera. b) Vérifier que J= et J% =% c) En déduire que lorsque P, le point % varie sur un cercle fixe C que l on déterminera. Exercice 9 Soit un rectangle équilatéral direct de centre. On désigne par et les milieux respectifs des segments et et par le symétrique de par rapport à et par le symétrique de par rapport à 1) Soit la similitude directe qui transforme en et en. 4 est la rotation de centre et qui transforme en. h est l homothétie de centre et de rapport a) Déterminer le rapport et l angle de b) Déterminer l angle de la rotation 4 c) Montrer que =h! 4 d) Déterminer et 2) Soit la similitude indirecte qui transforme en et en. On désigne par Ω son centre. a) Déterminer le rapport de. b) Déterminer! 0 et! 0 c) Caractériser alors! 0. d) En déduire que = 3) a) Déterminer!. b) Déterminer et construire le point Ω. c) Montrer que l axe de est la droite perpendiculaire à en Ω. Exercice 10 Soit un carré de centre tel que :, 2. Les points et sont les milieux respectifs

5 des segments et. 1) Soit la similitude directe qui transforme en et en. a) Déterminer le rapport et l angle de. b) Construire son centre Ω. 2) a) Déterminer les images des droites et par. En déduire que :. b) Montrer que. c) Caractériser l application : о. d) Déterminer о. En déduire que Ω +4Ω =0. 3) Soit σ la similitude indirecte qui transforme en et en. Et soit QR la symétrie orthogonale d axe. a) Vérifier que : 7= QR. b) Déterminer : 7. c) Déterminer les éléments caractéristique de la similitude 7. Exercice 11 On considère un rectangle de centre tels que =2 et, 2. Soient = et =. La perpendiculaire à passant par coupe en 2. Soit la similitude directe qui transforme en et en. 1) Déterminer le rapport et l angle de. 2) a) Déterminer +, et +,. b) En déduire. c) Construire alors le point T =. 3) Soit Ω le centre de. a) Soit h l homothétie de centre Ω et de rapport montrer que о =h 5 b) Montrer que о =. En déduire que Ω. c) Soit H = 2. Montrer que о =H. En déduire que Ω H. d) Construire Ω. 4) Soit 7 la similitude indirecte d axe de centre Ω qui transforme en. a) Déterminer le rapport de 7. b) Construire l axe. c) Soit le point tel que = Ω. Montrer que est la médiatrice du segment. Exercice 12 On considère un triangle isocèle et rectangle en tel que, 2. On désigne par,, et I les milieux respectifs des segments,, et. 1) Faire une figure. 2) Soit la similitude directe de centre, qui envoie sur.

6 a) Déterminer l angle et le rapport de. b) Justifier que I. c) Soit * le milieu du segment. Justifier que *. 3) On muni le plan du repère orthonormé direct +,,,. Soit J l application du plan dans lui-même qui à tout point % d affixe : associe le point % d affixe : tel que : ; > VN :@VN a) Montrer que J est une similitude indirecte de centre. b) Donner les affixes des points c) Déterminer J et J. d) Déduire alors que J! RW W.( où est la similitude directe définie dans 2* et RW est la symétrie orthogonale d axe ). 4) Soit l axe de la similitude indirecte J. a) Tracer. b) La droite coupe les droites et *I respectivement en ) et &. Montrer que J)) et en déduire que J)&. Exercice 13 Dans la figure ci-contre est un triangle rectangle et isocèle tel que et, 2 On désigne par le milieu du segment et par et les symétriques respectifs du point Soit la similitude directe qui envoie sur et sur. 1) Montrer que est de rapport 2 et d angle 2) a) Montrer que le point est l orthocentre du triangle. b) Soit le projeté orthogonal du point sur la droite. Déterminer les images des droites et par et en déduire que est le centre de la similitude directe. 3) Soit la similitude indirecte de centre, qui envoie sur a) Vérifier que est de rapport 2 et d axe. En déduire que. b) Déterminer les images des points et par 4) Soit ; et ; a) Déterminer les images des points et ; par : b) En déduire que les droites, et sont concourantes. Exercice 14,, et *. par rapport à et à. о 0. Caractériser l application о 0. о 0 Soit un triangle équilatéral tel que, 2 et soit H sons centree de gravité, on désigne par X Kooli Mohamed Hechmi

7 le symétrique de H par rapport à la droite. Soit la similitude directe tel que et. 1) a) Montrer que le rapport de est 3 et que son angle est b) Montrer que H=. 2) Soit = H, déterminer et en déduire le centre de. 3) On considère l application J= о о "#. a) Montrer que J est une similitude indirecte dont-on précisera le rapport. b) Déterminer J et JH. c) En déduire le centre et l axe de J. Exercice 15 On considère un triangle isocèle de sommet principale tel que, 2. On désigne par le milieu de et par le projeté orthogonal de sur la droite. Soit la similitude indirecte de centre qui transforme en. 1) a) Montrer que le rapport de est 3. b) Préciser l axe de. 2) Soit =. a) Préciser la nature et les élèments caractéristiques de о. b) En déduire que =3. c) Montrer que = d) En déduire que =. 3) Soit = о 1#. Déterminer la nature et les élèments caractéristiques de. X