Logique, ensembles, preuves mathématiques

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1 MA Université d Orléans S.Falguières Logique, ensembles, preuves mathématiques Logique Exercice. Soient les quatre assertions suivantes : a. x R, y R, x + y > 0. b. x R, y R, x + y > 0. c. x R, y R, x + y > 0. d. x R, y R, y > x.. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses?. Donner leur négation. Exercice. Soit f une application de R dans R. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent :. Pour tout x R f(x).. L application f est croissante. 3. L application f est croissante et positive. 4. Il existe x R + tel que f(x) Il existe x R tel que quel que soit y R, si x < y alors f(x) > f(y). On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d écrire le contraire d un énoncé. Exercice 3. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s impose :,,.. x R x = x = ;. z C z = z z R ; 3. x R x = π e ix =. Exercice 4. Dans R, on définit les ensembles F = {(x, y) R, y 0} et F = {(x, y) R, xy, x 0}. Évaluer les propositions suivantes :. ε ]0, + [, M F, M F, M M < ε. M F, M F, ε ]0, + [, M M < ε 3. ε ]0, + [, M F, M F, M M < ε 4. M F, M F, ε ]0, + [, M M < ε Quand elles sont fausses, donner leur négation. Exercice 5.. P Q,. P et (non Q), 3. P et (Q et R), 4. P ou (Q et R), Écrire la négation des assertions suivantes où P, Q, R, S sont des propositions.

2 5. (P et Q) (R S). Exercice 6. Nier les assertions suivantes.. Tout triangle rectangle possède un angle droit.. Dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs. 3. Pour tout réel x, il existe un entier relatif y tel que, pour tout entier z, la relation z < x implique le relation z < y ε > 0 α > 0, x 7 < α 5x 7 < ε. 5 Exercice 7. La proposition ( P Q (Non P ) Q ) est-elle vraie? Exercice 8. Ecrire la négation des phrases suivantes :. x, n, x n.. M, n, u n M. 3. x, y, xy = yx. 4. x, y, yxy = x. 5. ε > 0, N, N, n N, u n < ε. 6. x R, ε > 0, α > 0, f F, y R, x y < α f(x) f(y) < ε. Exercice 9. Comparer les différentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...?). x, y, x y.. x, y, x y. 3. x, y, x y. 4. x, y, x y. 5. x, y, y < x. 6. x, y, y < x. 7. x, y, x = y. Exercice 0. Montrer que ε > 0, N N tel que (n N ε < n+ n+ < + ε). Exercice. Soient f, g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :. f est majorée,. f est bornée, 3. f est paire, 4. f est impaire, 5. f ne s annule jamais, 6. f est périodique, 7. f est croissante, 8. f est strictement décroissante, 9. f n est pas la fonction nulle, 0. f n a jamais les mêmes valeurs en deux points distcincts,. f atteint toutes les valeurs de N,. f est inférieure à g, 3. f n est pas inférieure à g.

3 Ensembles Exercice. Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble :. A, B P(E) (A B = A B) A = B,. A, B, C P(E) (A B = A C et A B = A C) B = C. Exercice 3. Soient E et F deux ensembles, f : E F. Démontrer que : A, B P(E), (A B) (f(a) f(b)), A, B P(E), f(a B) f(a) f(b), A, B P(E), f(a B) = f(a) f(b), A, B P(F ), f (A B) = f (A) f (B), A P(F ), f (F \ A) = E \ f (A). Exercice 4. A et B étant des parties d un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : A B = (A B) et A B = (A B). Exercice 5. Démontrer les relations suivantes : A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). Exercice 6. Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E : En déduire que : (F G F G = G) et (F G F G = E). (F G F G = F ) et (F G F G = ). Exercice 7. Soit A une partie de E, on appelle fonction caractéristique de A l application χ A de E dans l ensemble à deux éléments {0, }, telle que : { 0 si x / A χ A (x) = si x A Soit A et B deux parties de E Montrer que. χ A = χ A.. χ A χ B = χ A B. 3. χ A + χ B χ A χ B = χ A B. Exercice 8. Soit un ensemble E et deux parties A et B de E. On désigne par A B l ensemble (A B) \ (A B). Dans les questions ci-après il pourra être commode d utiliser la notion de fonction caractéristique.. Démontrer que A B = (A \ B) (B \ A).. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a (A B) C = A (B C). 3. Démontrer qu il existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E, A X = X A = A. 4. Démontrer que pour toute partie A de E, il existe une partie A de E et une seule telle que A A = A A = X. Exercice 9. Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point. I = + [ [ n= 3, 3 + n,. I = + ] n=, 4 + n], n 3. I = + [ n=, + n n[, 4. I = + [ n= +, n]. n Exercice 0. Soient A, B E. Résoudre les équations à l inconnue X E. A X = B.. A X = B. 3

4 3 Raisonnement par l absurde et contraposée Exercice. Soit (f n ) n N une suite d applications de l ensemble N dans lui-même. On définit une application f de N dans N en posant f(n) = f n (n) +. Démontrer qu il n existe aucun p N tel que f = f p. Exercice.. Soit p, p,..., p r, r nombres premiers. Montrer que l entier N = p p... p r + n est divisible par aucun des entiers p i.. Utiliser la question précédente pour montrer par l absurde qu il existe une infinité de nombres premiers. 4 Raisonnement par cas Exercice 3. Montrer que : x R, x < x x + 3. Exercice 4. Soient n, p Z. Montrer que soit np est pair, soit n p est un multiple de 8. Exercice 5. Résoudre dans R l inéquation suivante. x + > x 4. 5 Raisonnement par récurrence Exercice 6. Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 0 6n n+ + est divisible par quel que soit n N. (Indication : 000 = 9 + ). Exercice 7. Montrer :. n N n(n + ), k =. k=. n N, k n(n + )(n + ) =. 6 k= Exercice 8. Soit la suite (x n ) n N définie par x 0 = 4 et x n+ = x n 3 x n +.. Montrer que : n N, x n > 3.. Montrer que : n N, x n+ 3 > 3 (x n 3). 3. Montrer que : n N, x n ( 3 ) n La suite (x n ) n N est-elle convergente? Exercice 9. Montrer que n, ( ) n n + n!. Exercice 30.. Calculer de deux manières différentes : n+ k 3 k= (k + ) 3. k=0 4

5 . En déduire : k = 6 (n3 + 3n + 3n). k=0 Exercice 3. Démontrer par récurrence sur n que pour tout n l implication [x >, x 0] [( + x) n > + nx] est vraie. 5

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