2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques. Lemme (Axiome du choix) Pour tout ensemble non vide X il existe une fonction :

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1 Chapitre 2 Opérateurs bornés 2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques Relations d ordre Soit une relation d ordre sur un ensemble X. Si Y X on définit les majorants (resp. minorants) de Y (dans X). La relation d ordre est filtrante croissante si toute paire {x, y} de X (et donc toute partie finie) a un majorant. (X, ) est un ensemble réticulé si toute paire {x, y} a un plus petit majorant noté x y et un plus grand minorant noté x y. (X, ) est totalement ordonné si pour toute paire {x, y}, soit x y, soit y x. (X, ) est bien ordonné si tout sous ensemble non vide Y de X a un plus petit élément. (X, ) est inductivement ordonné si tout sous ensemble totalement ordonné de X a un majorant dans X. Lemme (Axiome du choix) Pour tout ensemble non vide X il existe une fonction : c : P(X) \ {φ} X avec c(y ) Y, Y P(X) \ {φ}. Lemme (Principe de Cantor) tout ensemble X peut être muni d une relation de bon ordre. Lemme (Lemme de Zorn) Tout ensemble inductivement ordonné a un élément maximal. Ces trois assertions sont équivalentes, bien qu on utilise le plus souvent le lemme de Zorn Suites généralisées Définition Un ensemble filtrant croissant est un ensemble I muni d une relation d ordre qui est filtrante croissante. Soit X un espace topologique. Une suite généralisée (ou famille filtrante) est une application i : I X où I est un ensemble filtrant croissant. 9

2 Les exemples typiques d ensembles filtrants croissants sont IN, IR, ou l ensemble des voisinages d un point dans un espace topologique, ordonné par l inclusion. Pour mettre en évidence l analogie avec les suites on note une suite généralisée sous la forme {x α } α I. Définition Une suite généralisée {x α } α I converge vers x X si N voisinage de x, β I telle que x α N, α > β. On écrit : lim x α = x. α I Une suite généralisée {x α } α I, a x X comme valeur d adhérence si N voisinage de x, β I, α > β telle que x α N. Théorème ) Soit A X. Alors x A ssi suite généralisée {x α } α I telle que lim x α = x. 2) Soit X 1, X 2 deux espaces topologiques, f : X 1 X 2. Alors f est continue ssi pour toute suite généralisée {x α } α I on a : lim x α = x lim f(x α ) = f(x). 3) Soit X un espace topologique séparé. Alors une suite généralisée peut avoir au plus une limite. Dans les espaces X de type dénombrable (i.e. tel que tout point a une base dénombrable de voisinages), comme par exemple les espaces métriques, on peut remplacer les suites généralisées par des suites dans ce théorème. Définition Soit {x α } α I, {y β } β J deux suites généralisées. {x α } α I est une sous-suite généralisée de {y β } β J si il existe F : I J tel que 1) x α = Y F (α), α I. 2) β J, α I tel que F (α) > β si α > α. Proposition Un point x X est une valeur d adhérence de {x α } ssi une sous-suite généralisée de {x α } converge vers x. Un ensemble A X est compact ssi toute suite généralisée {x α } dans A admet une sous suite généralisée qui converge vers un point de A. 2.2 Topologies sur les opérateurs bornés Soient E, F deux espaces de Banach. On note par L(E, F ) l espace des opérateurs bornés de E dans F. C est un espace de Banach muni de la norme T := sup T e F. e E =1 La topologie induite par sur L(E, F ) est appelée topologie de la norme ou topologie uniforme. La limite pour cette topologie se note lim. Si E = F, L(E) := L(E, F ) est une algèbre de Banach pour la composition, et (A, B) A B est continue (conjointement). On peut introduire d autres topologies sur L(E, F ), dont les deux suivantes sont les plus importantes : 10

3 Définition La topologie forte sur L(E, F ) est la topologie la plus faible qui rend continue les applications : L(E, F ) T T e F, e E. Une base de voisinages de 0 est donnée par les ensembles {T L(E, F ), T e i F < ε, e i E, 1 i n}, ε > 0, n IN. Si E = F, (A, B) AB est séparément continu, mais pas conjointement. La limite pour la topologie forte se note s- lim. Dans la suite on note par F le dual topologique de F. Définition La topologie faible sur L(E, F ) est la topologie la plus faible qui rend continue les applications : L(E, F ) T f, T e C, e E, f F. Une base de voisinages de 0 est donnée par les ensembles {T L(E, F ) f j, T e i ε, e i E, f j F, ε > 0, 1 i n, 1 j m}. Si E = F, (A, B) AB est séparément continu, mais pas conjointement. La limite pour la topologie faible se note w lim. L(E, F ) est de type dénombrable seulement pour la topologie de la norme.il faut donc utiliser la notion de suites généralisées si on veut prouver des résultats de continuité pour les topologies forte ou faible. Pour les topologies fortes et faibles, si {T α } α I est une suite généralisée on écrira : s- lim T α = T, w lim T α = T pour les convergences fortes et faibles, et s- lim T α = T ssi lim T α e = T e, e E, w lim T α = T ssi lim f, T α e = f, T e, e E, f F. Exemple Soit E = F = ρ 2 (IN). Consdérons les applications suivantes : Alors on a T n u := ( 1 n u, S n u = 0,..., 0, u }{{} n+1 ( n W n u = 0,..., 0, u }{{} 1, u 2 n ), ). lim T n = 0, S n = 1, s- lim n S n = 0 W n u = u, w lim n W n = Opérateurs et formes quadratiques, adjoints Au vu du formalisme de la mécanique quantique pour les valeurs moyennes, il semble qu il soit plus naturel de considérer des formes sesquilinéaires (v, Au) que des opérateurs A. Le problème avec les formes quadratiques est qu il est difficile de les composer, à moins de manier des matrices infinies. L idée de travailler systématiquement avec des opérateurs est due à von Neumann. Le lien entre formes quadratiques et opérateurs (bornés) est simple. 11

4 On rappelle que si H est un espace de Hilbert, on pose B(H) = L(H, H), Q(H) est l espace des formes sesquilinéaires bornées avec la norme Q := sup Q(u, v). u = v =1 Théorème Il existe une bijection isométrique entre B(H) et Q(H), T Q T définie par : Démonstration on a Q T = Q T (v, u) := (v, T u), v, u H. sup (v, u) T. u, v =1 T u 2 = (T u, T u) = Q T (T u, u) Q T T u u Q T T u 2 T Q T. Si Q Q(H), v Q(v, u) H pour tout u H. Par le lemme de Riesz il existe un vecteur w unique tel que Q(v, u) = (v, w) i.e. Q(v, u) = (v, w), v H. L application T : u w est C-linéaire et T Q par le point 1). Théorème i) Pour tout T B(H), il existe un unique T B(H) tel que (v, T u) =: (T v, u), u, v H. ii) l application B(H) T T B(H) est C-antilinéaire, isométrique et on a : T = T, (AB) = B A, T T = T 2 = T 2. iii) l application T T est continu pour les topologies faibles et uniformes. On dit que T est l adjoint de T. Définition T B(H) est auto-adjoint si T = T, normal si [T, T ] = 0. Remarque T B(H) est auto-adjoint ssi (u, T u) IR, u H. (Utiliser l identité de polarisation q(u, v) = i k q(u + i k v, u + i k v), valable pour toute forme sesquilinéaire q, appliquée à q T ). k=0 T T n est pas continu pour la topologie forte : dans l exemple précédent W n = S n, W n n a pas de limite forte. Proposition i) Ker T = (Im T ). ii) Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) T est inversible (i.e. T 1 B(H)), 2) T inversible, on a alors (T ) 1 = (T 1 ), 3) ε > 0 tel que T u ε u, T u ε u, u H, 4) T et T sont injectifs, Im T est fermé, 5) T injective, Im T = H. Démonstration i) immédiat. ii) Comme T T 1 = 1, (T ) 1 = (T 1 ), donc 1) 2). 1) 3) : u T 1 T u, u (T 1 ) T u. 3) 4) : T et T sont évidemment injectifs. De plus comme T u T v ε u v, on voit que si {T u n } est de Cauchy, {u n } est de Cauchy et donc Im T est fermé. 4) 5) : évident, Im T fermé et dense. 5) 1) : théorème de l application ouverte. 12

5 2.4 Racines carrée d un opérateur positif Définition T B(H) est positif si T = T et (u, T u) 0, u H. On écrit T 0. Le cône des opérateurs positifs introduit une relation d ordre (partiel) sur les opérateurs auto-adjoints : si T 1, T 2 B sa (H), on dit que T 1 T 2 si T 2 T 1 0. Proposition i) Si T 1 T 2, A T 1 A A T 2 A, A B(H) ; ii) Si 0 T 1 T 2, T 1 T 2. Démonstration i) évident. ii) Par Cauchy-Schwarz pour la forme quadratique (, T 1 ) on a : (v, T 1 u) 2 (v, T 1 v)(u, T 1 u) (v, T 2 v)(u, T 2 u) T 2 2 u 2 v 2. Théorème (racine carrée des opérateurs positifs) Soit T B sa (H), T 0. Il existe un unique S B sa (H), S 0 tel que S 2 = T. On note S = T 1/2 et on l appelle la racine carrée de T. Lemme La série de Taylor de z (1 z) 1/2 converge absolument sur {z C z 1}. Démonstration Soit (1 z) 1/2 = cṅ zṅ la série entière de (1 z) 1/2, qui converge absolument 0 pour z < 1 (car z (1 z) 1/2 est holomorphe dans { z < 1}). Toutes les dérivées de (1 z) 1/2 en 0 sont 0, donc c n 0, si n 1. Donc N cṅ = 2 N N cṅ = 2 lim c n x n 0 0 x lim x 1 (1 x)1/2 = 2. T Démonstration du théorème On peut supposer que T 1, (remplacer T par T ). On a 0 1 T 1 1 T 1 par la Proposition ii). La série c n (1 T ) n converge normalement vers un opérateur S, par le lemme Comme la convergence est normale on peut prendre le carré de c n (1 T ) n et réarranger les termes pour obtenir que S 2 = T. 0 Montrons que S 0 : comme 0 1 T 1, on a 0 (1 T ) n 1 T n 1, n pair, et 0 (1 T ) n 1, n impair par la proposition i). Puis (u, Su) = u 2 + c n (u, (1 T ) n u) 1 u 2 + c n u 2 (c n 0!) 1 = 0 car c n = (1 1) 1/2 1 = 1. 1 Il reste à montrer l unicité : si S 0, S 2 = T. S T = T S donc S commute avec T et aussi avec S. Puis (S S ) S(S S ) + (S S ) S (S S ) = (S 2 S 2 )(S S ) = 0. Comme les deux termes sont positifs ils sont nuls et aussi (S S ) 3 = 0 = (S S ) 4. Puis si A est auto-adjoint A 4 = A A A A = A A 2 = A 4, donc S S 4 = 0 et S = S. 13 0

6 Proposition i) T 0 est inversible ssi T ε1, ε > 0. On a alors T 1 0 et (T 1 ) 1/2 = (T 1/2 ) 1. ii) Si 0 T 1 T 2, (ε + T 2 ) 1 (ε + T 1 ) 1, ε > 0. Démonstration i) Si T ε 1, T ε, T + ε sont positifs et commutent donc T 2 ε 2 = (T ε)(t + ε) = (T + ε) 1/2 (T ε)(t + ε) 1/2 0 i.e. ε u T u. Par la proposition 2.3.4, T est inversible. Puis (T u, T 1 T u) = (T u, u) = (u, T u) 0 donc T 1 0. Si T 0 est inversible, T u ε u par la proposition et donc T 2 ε 2. De plus T +ε ε donc T +ε est inversible et T ε = (T 2 ε 2 )(T + ε) 1 0. Donc T ε. Itérant cet argument on obtient T 1/2 ε 1/2 et donc T 1/2 inversible (T 1/2 ) 1 0. Comme (T 1/2 ) 1 (T 1/2 ) 1 = T 1, (T 1/2 ) 1 = (T 1 ) 1/2 par unicité. ii) En remplacant T i par T i + ε, on suppose que ε T 1 T 2. On a alors T 1/2 2 T 1 T 1/2 2 T 1/2 2 T 2 T 1/2 2 = 1. Par la Proposition ceci entraine et donc comme on obtient T 1/2 1 T 1/2 2 2 = T 1/2 2 T 1 T 1/2 2 1, (T 1/2 1 T 1/2 2 ) = T 1/2 2 T 1/2 1, T 1/2 2 T 1/2 1 2 = T 1/2 1 T 1 2 T 1/2 1 1 et donc finalement T 1/2 1 T2 1 T 1/2 1 1l T2 1 T1 1. A l aide de la Proposition 2.4.5, on peut montrer le fait suivant : si 0 T 1 T 2, 0 T1 α T 2 α, 0 α Décomposition polaire Définition Soit T B(H). On pose T := (T T ) 1/2. On n a pas en général T = T, T 1 T 2 = T 1 T 2 ou T 1 + T 2 < T 1 + T 2. Définition U B(H) est une isométrie si Uu = u. U B(H) est une isométrie partielle si U Ker U est une isométrie. Exemple : W n est une isométrie, S n est une isométrie partielle. Proposition Soit U une isométrie partielle. Alors U U est la projection sur Ker U, U U la projection sur Im V, U est unitaire entre Ker U et Im U. Inversement si U B(H), tel que U U est une projection, U est une isométrie partielle et U U est aussi une projection. Remarque Il suit de cette proposition que si U est une isométrie partielle il en est de même de U. La notion d isométrie partielle est donc l extension naturelle de celle d isométrie qui est stable par adjonction. Démonstration Soit X = Ker U = U H par la proposition 2.3.4, P = U V. (u, P u) = U u 2 = u 2, u X P u = u si u X. De plus P u = 0 si u Ker U P = projection orthogonale sur X. 14

7 Inversement si U B(H) avec U U = P, P projection, X := Im P, on a Uu 2 = (u, P u) U isométrique sur X, U = 0 sur X. Puis on a (U U ) 2 = U U U U = U P U = U U, donc U U est une projection orthogonale, i.e. U est aussi une isométrie partielle. U U est la projection orthogonale sur Ker U = Im U = Im U car Im U est fermé, U X étant isométrique. Théorème (Décomposition polaire) Soit A B(H). Il existe une unique isométrie partielle U telle que A = U A, et Ker A = Ker U. De plus Im U = Im A. Démonstration Soit U : Im A Im A. U est bien définie car A ψ Aψ. A ψ = 0 A ψ 2 = (ψ, A 2 ψ) = (ψ, A Aψ) = Aψ 2 = 0 Aψ = 0. Par l identité précédente U est isométrique sur Im A, on l étend à une isométrie de Im A sur Im A. Puis U s étend à une isométrie partielle sur H en notant que Im A = Ker A = Ker A et en posant U Im A := 0. Si V est une autre isométrie partielle avec A = U A, Ker A = Ker V, on a V = U sur Im A, V = U = 0 sur Ker A = Im A V = U. 2.6 Opérateurs compacts Soient E, F deux espaces de Banach. T L(E, F ) est de rang fini si dim Im T <. On note L f (E, F ) l idéal des opérateurs de rang fini. Définition Soit T L(E, F ). T est compact si T envoie les ensembles bornés de E sur des ensembles précompacts de F. De manière équivalente T est compact si {x n } E suite bornée, {T x n } a une sous suite convergente, ou T (B E (0, 1)) est compact dans F. On notera L 0 (E, F ) l espace des opérateurs compacts de E dans F. La boule unité étant compacte dans les espaces de dimension finie, on a L f (E, F ) L 0 (E, F ). Théorème i) L 0 (E, F ) est fermé en norme. ii) Si T L 0 (E, F ), S L(E 1, E), V L(F, F 1 ), alors iii) Si E = F = H, T B 0 (H) T B 0 (H). T S L 0 (E 1, F ), V T L 0 (E, F 1 ). iv) Si T B 0 (H), T transforme des suites faiblement convergentes en suites convergentes. Remarque iii) reste vrai entre espaces de Banach (T devient T L(F, E )). Démonstration i) est laissé en exercice (utiliser le procédé diagonal de Cantor), ainsi que iv). ii) : évident. iii) : soit T compact, alors par ii) T T est compact. Par le théorème 15 et sa preuve (T T ) 1/2 est une série convergente en norme de puissances de T T, donc par i), T = (T T ) 1/2 est compact. On a T = U T, T = T U est compact par ii). On se restreint dans la suite au cas où E = F = H, H espace de Hilbert. 15

8 Proposition B 0 (H) est la fermeture en norme de B f (H). Démonstration Clairement la fermeture en norme de B f (H) est dans B 0 (H), par le théorème i). Il reste à montrer l autre inclusion. Soit {e j } j J une base orthonormée de H et Λ l ensemble filtrant croissant des parties finies de J, ordonné par l inclusion. Pour λ Λ, on note P λ la projection orthogonale sur Vect{e j j λ}, {P λ } λ Λ forme une suite généralisée dans B f (H). De plus comme {e j } j J est une base orthonormée de H, on a lim λ Λ P λ u = u, pour tout u H. Soit maintenant T B 0 (H). Alors P λ T B f (H). Montrons que T = lim λ Λ P λ T. Si ce n est pas le cas il existe ε > 0 et, après extraction d une sous suite, une suite généralisée u λ, u λ = 1 tel que (P λ T T )u λ > ε. Comme T est compact, après extraction d une sous suite, on peut supposer que {T u λ } converge vers y H. On a alors ε (1 P λ ) T x λ (1 P λ )(T x λ y) + (1 P λ )y T x λ y + (1 P λ )y. On en déduit une contradiction car la limite du membre de droite sur la famille filtrante Λ est nulle. 2.7 Diagonalisation des opérateurs normaux compacts Théorème (rayon numérique) Pour T B(H), on pose On a : i) 1 2 T T T, ii) T 2 T 2, iii) T = T si T normal. T := sup (u, T u). u 1 Démonstration Clairement est une semi norme, dominée par. Soit u, v H, u = v = 1. On a Pour v = 2(v, T u) + 2(u, T v) = (u + v, T (u + v)) (u v, T (u v)) 2(v, T u) + 2(u, T v) T ( u + v 2 + u v 2 ) 2 T ( u 2 + v 2 ) 4 T. T u T u, on obtient En remplacant T par αt, α = 1, on obtient T u + T u 1 Re(u, T 2 u) 2 T. (2.7.1) T u + T 1 u (u, T 2 u) 2 T, et donc T 2 T comme u = 1. On a donc montré i). 16

9 Pour montrer ii), on déduit de (2.7.1) que : 0 2 T T u T u 2 (u, T 2 u) = ( T T u ) 2 + T 2 (u, T 2 u) T 2 (u, T 2 u), et donc T 2 T 2. iii) : si T est normal, (T T ) 2n = T 2n T 2n. On a donc, en utilisant l identité A 2 = A A : T 2n = ( T T 2n ) 1/2 = (T T ) 2n 1/2 = T 2n T 2n 1/2 = T 2n 2 T 2n 2 T 2n, par i) et ii). En faisant n, on obtient T T et donc T = T. Théorème Soit T B(H) normal et compact. Alors il existe λ σ(t ) avec λ = T. Démonstration Par le Théorème 2.7.1, on a T = sup (u, T u). u 1 Soit u n B(0, 1) une suite maximisante., i.e. telle que T = lim n (u n,t un ). Comme la boule unité dans un espace de Hilbert est compacte pour la topologie faible, on peut supposer, après extraction d une sous suite, que w lim u n = u, et donc que T u n v = T u, par le Théorème Par un argument de ε 2, on a finalement lim(u n, T u n ) = (u, T u). Il existe donc u B(0, 1) tel que T = (u, T u) T u u T. Donc (u, T u) = T u u et donc u et T u sont proportionnels. On a donc T u = λu, λ C et T = λ u 2 T λ T, i.e. T = λ. Théorème (diagonalisation des opérateurs normaux compacts) Tout opérateur normal compact sur H admet une base orthonormale de vecteurs propres {e j } j J. Si {λ j } j J est la suite des valeurs propres associées (avec multiplicité), alors {λ j } j J C 0 (J). De plus si dim H =, 0 σ(t ), 0 est le seul point d accumulation possible de σ(t ). Rappel Soit X est un espace topologique. On note par C 0 (X) l espace des fonctions à valeurs dans C continues sur X à support compact sur X. Précisément C 0 (X) est l espace des fonctions f C(X) telles que pour tout ɛ > 0 l ensemble {x f(x) ɛ} est compact. De manière équivalente C 0 (X) est l espace des fonctions qui, une fois prolongées par 0 en sont continues sur le compactifé X = X { } de X. Ici X = J est équipé de la topologie discréte, et on voit que les ensembles compacts de J sont les parties finies de J. Si J est fini C 0 (J) est l ensemble de toutes les fonctions sur J, et si #J = IN, C 0 (J) est l ensemble des suites sur IN tendant vers 0 à l infini. Démonstration Montrons d abord que deux vecteurs propres de T associés à 2 vecteurs propres différents sont orthogonaux : si T e i = λ i e i, i = 1, 2, (T λ i 1l) = T λ i 1l et si A est normal Au 2 = (u, A Au) = (u, A A u) = A u 2. Donc e i est un vecteur propre de T pour λ i et λ j (e i, e j ) = (e i, T e j ) = (T e i, e j ) = λ i (e i, e j ) (e i, e j ) = 0. 17

10 Considérons maintenant l ensemble des systèmes orthonormés formés de vecteurs propres de T, ordonnée par l inclusion. On voit que cet ensemble est inductivement ordonné. En effet tout sous ensemble totalement ordonné possède un majorant (prendre le système orthonormé formé de la réunion des systèmes orthonormés de ce sous ensemble). Par le Lemme de Zorn, il existe un élément maximal, i.e. une famille orthonormée maximale de vecteurs propres, {e j } j J avec les valeurs propres {λ j } j J. Soit P la projection sur Vect{e j, j J}. On a P T = T P et donc (1 P )T est normal et compact. Si P 1l, soit (1 P ) T = 0 et tout vecteur dans (1 P ) H est vecteur propre de T pour la valeur propre 0, soit (1 P ) T 0. Dans ce cas par le Théorème T (1 P )H possède une valeur propre. Dans les deux cas on contredit le caractère maximal de {e j } j J. Donc P = 1l, {e j } est une base orthonormée de H. Si 0 / σ(t ), T inversible et donc 1l B 0 (H) ce qui entraine que dim H <. Soit {λ j } j IN σ(t ) tel que lim λ j = λ 0 0. Pour j IN, soit e j, e j = 1, T e j = λ j e j, et j E j = Vect({e 1,..., e j }). On voit que e j / E j 1 : si e j = j 1 α k e k, on a j 1 (λ j λ k ) α k e k = 0 e j = 0. On peut donc prendre f j E j, f j E j 1, f j = 1. On a T f j = λ j f j + r j, r j E j 1, et donc dist(t f j, E j 1 ) = λ j, donc pour k < j, T f k T f j λ j. Comme λ j λ 0 0, on a λ j c 0 > 0 pour j assez grand, ce qui contredit le fait qu une sous suite de {T f j } converge

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